专题系列应用题教师版.doc

审清题（数据，单位，关系）、删去无用信息、排除干扰信息、挖掘隐含信息，将文字数学符号化
专题系列应用题
[考情分析 把握方向]
函数不等式应用题江苏高考主要考查建立函数关系式，进而求函数的最值.近年具体情况如下表：
年份
试题
知识点
备注
2010
第14,17题
分式函数、基本不等式、导数、解三角形
最值问题
2011
第17题
二次函数、三次函数、导数等
最值问题
2012
第17题
二次函数、基本不等式[来源:学&科&网]
最值、有解问题
2013
第17题
三角函数、解三角形、基本不等式
函数建模&（]追急问题
追急问题，最值问题
范围问题

由上表不难看出，在江苏近几年的高考中，主要考查根据题意建立函数关系式进而研究函数的最值或其他相关问题.10,11年主要根据图形（平面或空间）建立函数关系，共同点是给出函数自变量，12年在实际背景下研究与含参数二次函数有解、最值问题.13年以生活背景体现数学应用，研究最值、和范围问题。
[备考策略 提升信心]
在2014年的备考中，需要重点关注以下几方面问题：
1. 掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数）、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；
2. 加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；
3. 对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视；
4. 应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题
5. 熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答.
[核心问题 聚焦突破]
1、某园林公司计划在一块为圆心,(为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.(1) 设,,分别用,表示弓形的面积;
(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? (参考公式:扇形面积公式)

观赏样板地

花木地

草皮地
草皮地

19.（1），,
.--------------------------------- 3 分
又，,
.------------------------------------- 6 分
(2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为
，，, -------------9分
.
.----------------------------------------------------------10分
设 .
, ……-------------------------------12分
上为减函数；
上为增函数. -----------------------14 分
当时，取到最小值,此时总利润最大.
所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大. --------------------------16 分[来源:Zxxk.Com]
【说明】本题考查导数，函数性质，考查运算能力和分析问题和解决问题的能力
[变式拓展 分类解密]
N
M
P
F
E
D
C
B
A
（例1图）
考点1：导数求解类模型
例1：如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为m，m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)．
(1) 用x的代数式表示AM；
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
解：（1）． …………………2分
（2）． …………………………4分
∵， ∴．
∴． …………………6分
定义域为． ……………………………8分
（3）=，………11分
令，得（舍），. …………………13分
当时，关于为减函数；
当时，关于为增函数；
∴当时，取得最小值． …………………15分
答：当AN长为m时，液晶广告屏幕的面积最小．…16分
考点二：基本不等式类模型
例2：如图，已知矩形油画的长为，宽为.在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为，上下两边金箔的宽为，壁画的总面积为(1)用，，，表示；
(2)若为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的，的值.

变式训练：在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为(为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.
(1)将表示为的函数;
(2)设0<≤5,试确定下潜速度,使总的用氧量最少.

考点3：分段函数模型
例3：(2011·湖南)如图，长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1) P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；(2) 其他面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d＝100，面积S＝时．
(1) 写出y的表达式；(2) 设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
解析：(1) 由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|v－c|＋，(2分)
故y＝＝(3|v－c|＋10). (6分)
(2) 由(1)知，当0<v≤c时，y＝(3c－3v＋10)＝－15
当c<v≤10时，y＝(3v－3c＋10)＝＋15.
故y＝( 8分)
① 当0<c≤时，y是关于v的减函数．故当v＝10时，ymin＝20－. (10分)
② 当<c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数；故当v＝c时，ymin＝. (12分)
考点4：三角形及三角函数模型
例4：某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，，
AB＝2百米，BC＝1百米．
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA
上取点D，E，F，使得EF‖AB,,在△DEF喂食，
求△DEF 面积S△DEF的最大值；
（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点
D，E，F，建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，
且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．

变式训练：如图，是沿太湖南北方向道路，为太湖中观光岛屿，为停车场，.某旅游团旅游完岛屿后，乘游船回停车场，已知游船以的速度沿方位角的方向行驶，.游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到湖滨大道处，然后乘出租车到点（设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车）.假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租车的速度为.
（1）设，问小船的速度为多少时，游客甲才能和游船同时到达点；（2）设小船的速度为，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划一最短时间到达.

[来源:学#科#网Z#X#X#K]
考点5：图形位置变化类模型
例5：如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离。D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x（km），点D对跑道AB的视角为。[来源:学科网]
（1）将表示为x的函数。
（2）求点D的位置，使取得最大值。

变式训练：如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数y＝的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l(宽度不计)，直线l与曲线段MN相切(切点记为P)，并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f(t)表示该地块在直路l左下部分的面积．
(1)求f(t)的解析式；
(2)求面积S＝f(t)的最大值．
解：(1)因为y＝，所以y′＝－，
所以过点P的切线方程为y－＝－(x－t)，即y＝－x＋.(2分)[来源:Z&xx&k.Com]
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝2t.
所以切线与x轴交点E(2t,0)，切线与y轴交点F.(4分)
①当即≤t≤时，切线左下方的区域为一直角三角形，
所以f(t)＝×2t×＝；(6分)
②当即＜t≤时，切线左下方的区域为一直角梯形，
f(t)＝·1＝；(8分)
③当即≤t＜时，切线左下方的区域为一直角梯形，
所以f(t)＝·1＝2t－t2.
综上f(t)＝(10分)
(2)当≤t＜时，f(t)＝2t－t2＝－2＋＜，(12分)
当＜t≤时，f(t)＝＝－2＋＜，(14分)
所以Smax＝.(16分)

类题：33套A8第19题
考点6：含字母分类讨论
F
E
b
a
B
D
C
A
例6：第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图．设，△的面积为．
（1）求关于的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块的面积最大，并求出的最大值．
解：（1）设，则，整理，得．………3分
，． …………………………………4分
（2）
当时，，在递增，故当时，；
当时，在上，，递增，在上，，递减，故当时，.
变式训练：某企业实行裁员增效，已知现有员工人，每人每年可创纯利润万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工可多创收万元，但每年需付给下岗工人万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，该企业裁员人后纯收益为万元.
(1) 写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）
（3）若，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？

中档题3第7题第（3）问
考点7：不等式恒成立或有解模型
例7：为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：。现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。
（1）若，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值
（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数的取值范围

变式训练：某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2+4x+8)作为报销方案；
(2)若该单位决定采用函数模型y＝x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(参考数据：ln2»0.69，ln10»2.3)
【解】(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分
当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分
但当x=3时,y=<,即y³不恒成立,不满足条件②,
故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分
(2)对于函数模型y=x-2lnx+a，设f(x)= x-2lnx+a，则f ´(x)=1-=³0.
所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x-2lnx+a³，即a³2lnx-在xÎ[2，10]上恒成立，
令g(x)=2lnx-，则g´(x)==，由g´(x)>0得x<4，
\g(x)在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.
\a³g(4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分
由条件③，得f(10)=10-2ln10+a£8，解得a£2ln10-2. ……………………12分
另一方面，由x-2lnx+a£x，得a£2lnx在xÎ[2，10]上恒成立,
\a£2ln2,
综上所述，a的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，
所以满足条件的整数a的值为1. ……………14分:
类题：中档题3第7题第（2）问（不等式有解问题）；33套B8第17题
考点8：空间几何体模型
例8：(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2) 求该容器的建造费用最小时的r.
5. 解：(1) 因为容器的体积为π立方米，所以πr3＋πr2l＝π，
解得l＝－r＝，
由于l≥2r，因此0<r≤2，
所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，
因此y＝－8r2＋4πcr2，定义域为(0,2]．
(2) y′＝－－16r＋8πcr＝，
由于c>3，所以c－2>0，当r3＝时r＝，
令＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋mr＋m2)．
①当0<m<2即c>时，
当r＝m时，y′＝0；
当r∈(0，m)时，y′<0；
当r∈(m,2)时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点，
②当m≥2，即3<c≤时，
当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，
所以r＝2是函数y的最小值点．
综上，当3<c≤时，建造范围最小时r＝2；
当c>时，建造费用最小时r＝.

考点9：建系模型
某隧道设计为双向四车道，车首总宽22米，要求通过车辆取高4.5米，隧道全长2500米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高设定为6米，则隧道 的拱宽应如何设计?
（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计隧道的拱高和拱宽，才能使椭圆隧道的土方工程量（半个椭圆的面积与隧道长度的乘积）最小？并求出最小值。（注半个椭圆的面积公式为）h
4.5米

考点10：数列模型
解题策略：在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.
例9. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．
　（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；
　　（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，＝1.4774）
解. 依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．
　　（1）设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．
　　依题意有　…．
　　化简得．
　　∴　．
　　两边取对数整理得．∴　取n＝12（年）．
　　∴　到2014年底可全部还清贷款．
　　（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，
　　依题意有…．
　　化简得．
∴　（元）
　　故每生每年的最低收费标准为992元．
变式训练：某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第个月的利润率为，例如．
（1）求；
（2）求第个月的当月利润率；
（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．
17．解：（1）依题意得，
． ----------------------------------4分
（2）当时，．
当时，，则
，
而也符合上式，故当时，．
当时，
，
所以，第个月的当月利润率为．--------------------------10分
（3）当时，是减函数，此时的最大值为．
当时，，
当且仅当，即时，有最大值为．
，当时，有最大值为， ----------------------------------13分
即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为．-------14分