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斜拉桥拉索单元模型及其计算模拟施溪溪?李鸿晶(南京工业大学 生命线工程研究所?南京?210009)摘?要?斜拉索的模拟有许多种方法,而应用最为普遍的则属等效弹性模量法,运用 Ernst 公式进行弹性模量的修正。然而,对于跨度日渐增大的斜拉桥的拉索,此方法是否还能保证其模拟的精确性还需要进一步的探讨。为此,讨论了斜拉索的非线性特征,建立斜拉索的状态方程,并介绍了几种常见的索模型及其特点,其中详细介绍了等效弹性模量法的原理。算例中运用 Ernst 公式对苏通大桥 6 根长短索进行修正,计算主梁竖向位移,并与悬链线模型算出的结果进行精度比较,分析得出等效弹性模量法的适用范围。关键词?索单元?等效弹性模量法?非线性分析CABLE MODEL AND COMPUTINGSIMULATION OF CABLE-STAYED BRIDGESShi Xixi?Li Hongjing(Institute of L ifeline Engineering,Nanjing University of T echnology?Nanjing?210009)ABSTRACT?Many methods are available to simulate bracing cables,of which the equivalent elastic modulus method isthe most common one.T he elastic modulus can also be corrected by Ernst formula.The nonlinear characteristics of thebracing cables are discussed and the state equation for the bracing cables is also established.Several common cable modelsand their features are presented,of which the principle of the equivalent elastic modulus method is described in detail.T aking Suzhou-Nantong Bridge for example,whose six long and short cables are corrected by Ernst formula;thecalculated vertical displacement of the main girder is compared with the result by the catenary model,and the applicablescope of the equivalent elastic modulus method is also got by the analysis.KEY WORDS?cable element?equivalent elastic modulus method?nonlinear analysis?斜拉桥体系是索结构成功应用的一个典型实例。在斜拉桥体系中,拉索为桥梁提供弹性支撑,使得桥梁可以实现比较大的跨径,跨度在 200 600m范围内具有明显的优势。斜拉桥是一种自锚结构,它具有结构新颖、受力合理、能充分利用高强度钢材的优点,是大跨度桥梁最主要的桥型之一。我国的斜拉桥建设在世界上居于领先水平,目前已经建成的跨度排名前十位的斜拉桥中我国占有六座,苏通大桥建成后将成为世界上跨度最大的斜拉桥。在斜拉桥体系中,索的状态对整个结构体系的力学性能影响非常大。索结构为单向承拉构件,由于垂度的存在,呈现出很强的非线性性质。索模型及其分析方法、垂度效应影响、施工阶段索张拉力确定及调节、成桥状态索力优化等问题,都是斜拉桥分析中比较突出的问题。斜拉桥的分析在很大程度上依赖于对斜拉索的分析,因而建立合理的索模型及其计算模拟是斜拉桥分析中的关键步骤之一。本文对几种索单元模型进行了分析比较,以苏通大桥的斜拉索为例,研究了不同跨度下索内力的变化情况,目的是为斜拉桥的拉索分析提供参考。1?斜拉索状态方程的建立斜拉索分析的精确方法是将拉索自重看作沿索长均匀分布,以此作为基础建立索形方程。第一作者:施溪溪?女?1980 年 8 月出生?硕士研究生收稿日期:2005-03-30如图 1 所示,设拉索在梁上的锚固点为A,在塔上的锚固点为 B;拉索单位长度质量为 w;以点 A为原点,水平向右为 x 轴,竖直向上为 y 轴,建立直角坐标系;并设点 B 坐标为(a,h)。因为拉索是柔性的,故拉索在自重作用下各截面的弯矩为零。根据这一条件即可建立拉索索形方程。如图 2 所示,i 为拉索中任一截面,取拉索 Ai段为隔离体。隔离体在点 A 承受的水平力为 H、竖直力为 V,在点作用轴向拉力 N,拉索上作用的分布荷载(即拉索自重)沿 x 轴的集度为gx。gx=?dsdx=?1+dydx2(1)53施溪溪,等:斜拉桥拉索单元模型及其计算模拟Steel Construction?2005(5),Vol?20,No?81图 1?拉索受力情况图 2?拉索脱离体由脱离体的平衡条件有:H?y-V?x=Mx(2)式中,Mx为点A 至弧上任一点i 的分布荷载gx对i截面的力矩(以逆时针转动为正);x、y 分别为点 i的横、纵坐标。由式(2)可得:y=VHx+MxH(3)?式(3)对 x 两次求导后得:y?=gxH=?H1+dydx2(4)?式(4)即是在沿拉索均匀竖向分布荷载作用下的微分索形方程。将式(4)积分两次,并带入边界条件 y|x=0,得到:y=2H?sh?2?x+C1?sh?2Hx(5)其中积分常数 C1由边界条件 y|x=l确定。式(5)即为拉索的索形方程。2?斜拉索的模拟在实际分析中,对斜拉索的模拟提出了多种方法,每种方法都有各自的适用范围。2?1?等效弹性模量法用直杆单元近似模拟索类构件,简单的处理方法是引入 Ernst 公式,通过等效模量法来近似修正垂度效应。作为斜拉索的钢索在轴向力作用下不计垂度影响时的材料线性弹性模量可以表示为:Ee=?e(6)式中,?为钢索弹性拉应力;?e为钢索由?引起的线性弹性应变。当长度为 L?的钢索与水平面呈?角倾斜时,必然会产生非线性垂度,从而使拉索两端的距离从 L?减少到L,如图 3所示。图 3?拉索变形计算示意?假设拉索B 端铰支、C 端滚支,则当滚支端 C 受到沿B 方向作用的 F 力时,拉索C 端将沿着 B 方向向外移动,如果 F 力为无穷大,拉索将被拉成直线,而 C 端移动到 C?,其伸长量?L 为:?L=L?-L(7)?拉索在自重作用下的垂度曲线近似按抛物线计算,再略去高阶微量,伸长量?L 可表示为:?L=A2?2L2cos2?24F2(8)式中,A 为拉索面积;?为拉索重度。拉索垂度变化引起的应变?f为:?f=d(?L)L=-A2?2L2cos2?12F3dF(9)式中,负号表示垂度增加引起拉索应变的减小。由此可得拉索非线性变形模量为:Ef=?f=12F3A3?2l2(10)式中,l 为拉索水平投影长度。拉索在 F 力作用下的总应变?应该包括钢索线性弹性应变?e和拉索非线性应变?f,即:?=?e+?f(11)?拉索在 F 力作用下的截面应力?与总应变?的比值定义为拉索的修正弹性模量或等效弹性模量,是由德国学者 Ernst 最早提出的,计算公式为:54科研开发钢结构?2005 年第 5 期第 20 卷总第 81 期?Ei=EeEfEe+Ef=Ee1+EeEf=Ee1+Ee?2l2x12?3=?Ee(12)式中,?为弹性模量修正系数;?i为斜拉索的修正弹性模量。式(12)由于只计入了拉索垂度效应,而没有计入大位移引起的硬化效应,索拉力增加时,值偏小,反之偏大。在考虑斜拉索垂度影响的斜拉桥结构非线性分析过程中,通常分级施加荷载并逐步迭代修正结果以提高精度。然而,由于拉索两端的累加位移与索力增量并不存在线性关系,这种算法将导致索力与索拉伸量之间关系的不闭合,这也是斜拉桥倒退分析过程中出现不闭合或发散的主要原因。由于修正弹性模量是索端力的函数,导致了索端力与索端位移呈非线性。只有当索内应力水平较高、位移较小、应力幅值不大、弦线倾角不大时,等效弹性模量法才具有较高精度。等效弹性模量法没有提供计算索端力的方法,只能应用简单增量法求解,不可避免地会产生漂移误差和累计误差。2?2?多段杆单元法多段杆单元法用多个杆单元来模拟索曲线,它通过多个杆单元节点来定义拉索中间点的运动,从而模拟索的非线性行为。从理论上讲,所取杆单元个数趋于无穷的话,那么就趋于悬索的真实力学行为。多段杆单元法将引入了许多附加自由度,大大增加了计算机存储量和计算时间。实际计算证明,多段杆单元法在许多情况下无法收敛。各个杆单元的初始节点坐标和无应力长度计算是个大问题,它显著影响索的初始和最终平衡状态。如果这些附加节点的平衡条件不能很好地满足,可能发生数值问题,得到虚假的结果。此外,多段杆单元法不能解决桥梁结构中的一些问题,如拉索张拉、无应力长度确定等。所以,在实际应用中需要慎重考虑。2?3?多节点曲线索单元文献 4 通过引入索的基本假定和文献 5 提出的位移模式,从 UL 列式的虚功增量方程出发,推导出了两节点曲线索单元切线刚度阵的显式,同时根据索的几何特性和物理关系导出了计算索单元索端力的迭代表达式。运用此表达式,可既简便又精确地求得变形后索单元的索端力。最后采用增量Newton-Raphson 法相结合的双重平衡迭代法来求解有限元平衡方程,达到每一加载步上精确满足平衡方程的要求。此方法能适用于大跨度悬索桥、斜拉桥以及张拉结构等的非线性分析计算。多节点曲线索单元的共同点是引入高次函数作为单元的插值函数,近似考虑垂度的影响,分析精度比等效弹性模量法有很大提高。但这种单元的列式和计算随着节点数的增加而越趋复杂,且不易得出刚度的表达式,也不能精确模拟出悬链线特性。2?4?悬链线索单元对悬索问题的研究最初集中在解析表达式方面,它是超越方程,原则上不能得到显式解。因此只能转化为一系列的线性方程,然后求解。由于方程的耦合,即使离散化为一系列的线性方程,如果想求得索单元刚度矩阵,仍然需要进行迭代求解。不同的节点索单元、不同的索单元刚度的求解方法已经有过一些研究,它们都对索的应力水平和索的垂度等条件进行了限制。将索模拟成基于弹性悬链线精确解的索单元的方法,它根据弹性索的精确解析式导出索元的切线刚度矩阵,并得到索形和索端力,不存在任何近似成份,且能适应各种极端情形,因此是一个精度高、通用性强的方法。它的主要优点是:精确计入垂度影响,能模拟各种极端情况;分析模型的自由度个数少;通过仅仅给定无应力长度和端点坐标即可确定整根索的几何状态和内力状态;简化索结构的模型分析;无应力长度确定后,任意取一个初始构形即可方便地找出结构的恒载状态、施工状态和使用状态下的构形,而固定不变的无应力长度又保持了结构的连续性和计算精度。3?索模型及其处理方法目前许多优秀的结构有限元分析软件中都发展了索结构的分析功能。以 SAP2000 为例,SAP2000中可以通过 定义 Hook(只受拉)单元以及采用Frame/Cable 单元来模拟索单元性质。用 Frame/Cable 单元来模拟斜拉索性质在斜拉桥的模拟中是非常 有 效 的 方法。在 定 义 实 际 材 料 性 质 时,SAP2000 提供了各种可以自行定义的项目,包括单位质量、单位体积以及弹性模量、强度等,以此来赋予拉索材料属性。SAP2000 中解决模拟斜拉索预应力问题是通过降温法来实现。首先,杆件的弹性模量和应变比有如下关系:N=?EA(13)其中55施溪溪,等:斜拉桥拉索单元模型及其计算模拟Steel Construction?2005(5),Vol?20,No?81?=?LL(14)温度和应变比也有如下关系:?L=?L?T即?LL=?T(15)联立上两式,得N=?EA?T(16)式中,A 为斜拉索截面积;?为斜拉索热膨胀系数;?为温度变化值。在SAP2000 中,如果已知预加在索内的力 N的大小,先按式(16)计算?T,然后只要将温度值变化?T 施予杆件,就可以模拟出在杆件内产生大小一样的 N。在拉索或拉杆等杆件施加预拉力后,杆件或拉索的刚度明显增加,这就是所谓的 P-?效应。如果 P 为拉力,P-?作用产生的弯矩会抵消横向力作用下杆件产生的弯矩和位移,反之会增加。P-?作用是一种几何非线性效应,SAP2000 中集成了结构非线性分析功能,其中包括对 P-?效应的分析。4?算例分析苏通长江公路大桥位于江苏省东南部长江口南通河段,连接苏州、南通两市。苏通大桥总长 8206m,其中主桥采用 2 088m 的双塔双索面钢箱梁斜拉桥。斜拉桥主孔跨度 1 088m;主塔高度 306m,均列世界第一。本文算例取自苏通大桥中跨斜拉索。从近塔到远塔依次编号 1 34,索距16 m,拉索布置见图 4。取其中 6 根斜拉索,水平投影长度分别为 104、200、296、392、504、536m。分别采用修正弹性模量法和悬链线单元法对此 6 根索进行模拟,分别计算在两种应力状态下的主梁挠度,两种应力情况分别为 200 400 MPa 和 450 650 MPa,大约相当于拉索第 1 次张拉和第 2 次张拉索的索力。斜拉索弹性模量 E=1.95?105MPa,重度?=86kN/m3,根据公路斜拉桥设计规范,拉索容许应力?=0.4Rby=0.4?1 860=744MPa,热膨胀系数 a=0?000 012?-1,根据 Ernst 公式对 6 根斜拉索进行弹性模量的修正计算。公式(12)中?随着水平投影长度分别取不同的值,文献 7 中已经作出具体规定。表 1 给出了此 6根拉索的修正弹性模量值。表 1?拉索的修正弹性模量索?号8?13?21?26?31?34?索水平投影长度/m104200296392504536修正弹性模量/(105M Pa)1?941?931?861?861?751?75?当索内应力在 200 400MPa 范围内,采用修正弹性模量法计算得出主梁梁端竖向位移。表 2 中给出了采用修正弹性模量法得到的梁端竖向位移。表2 中同时给出精度较高的由悬链线单元法得到的梁段竖向位移,计算其相对误差。图 5 给出了按照表2 数值绘制的曲线。图4?苏通大桥斜拉索布置表 2?第一次张拉应力状态(200 400MPa)主梁竖向位移比较梁端竖向位移/m悬链线单元法切线模量法相对误差-0?254-0?2571?2%-0?503-0?5162?5%-0?971-1?0114?1%-1?754-1?8827?3%-3?219-3?54110%-3?772-4?26213%1-悬链线单元法;2-切线模量法图 5?索在第一次张拉应力情况下主梁竖向位移比较?可以看出,随着水平投影长度的增大,长索提供的竖向刚度明显小于短索,计算精度明显降低。用同样方法计算当索内应力在 450 650MPa范围内的情况,记录主梁梁端竖向位移。计算结果见表 3 和图 6。可以看出对于此应力范围的索,如果将荷载步加大,便可以降低由修正弹性模量带来的较大误差。(下转第 89 页)56科研开发钢结构?2005 年第 5 期第 20 卷总第 81 期?1-预应力比为 0?44;2-预应力比为 0?58图 7?算例 1 荷载比与临界温度关系曲线1-预应力比为 0?77;2-预应力比为 0?58图 8?算例 2 荷载比与临界温度关系曲线从图 7、图 8中可见,随着外荷载增大其耐火能力逐渐下降。这可解释为外荷载越大,在高温下越容易使索材料进入塑性状态,破坏提前到来,因而临界温度较低。4?结?论本文对影响双曲抛物面索网结构的抗火性能的两个因素进行了分析,得出以下结论:?1)外荷载大小一定时,索网结构的初始预应力大小对索网结构抗火能力的影响不大。2)在荷载比一定的情况下,索网结构临界温度随预应力比的增大而增高。3)外荷载大小对索网结构的抗火临界温度有明显的影响。预应力比一定时,荷载比越大,临界温度越低。参考文献1?Eurocode 3:Design of Steel 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