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《指数函数》案例分析
职教中心 郭海珍
设计背景：
对老教材只是教过一遍的我，在新教材的教学中，慢慢体会到新教材渗透的基本理念，知识点的形成过程经历具体—抽象—具体，即概念是由具体的实例引入，形成概念，再次运用于实际问题或具体数学问题，它的应用性，实用性更明显的体现出来。学数学重在培养学生的思维品质，但是如果让学生感到离我们的生活太远，那么很难激发他们的学习兴趣，所以，在教学中，我尽力抓住知识的本质，以实际问题引入新知识。另外，对于学生来说所有的新知识都是陌生的，在大脑中没有形成基本的框架结构，需要老师的引导，使他们逐渐建立。数学中任何知识的形成都体现出它的思想与方法，如何让学生领悟其中的思想，运用其中的方法去学习新的知识，是非常重要的。
课堂实录：
T：前面我们学习过函数及指数的运算，今天我们将学习新的一基本函数。下面请同学们看两个问题：（以幻灯片的形式）
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与x之间的关系是什么？ （经同学们的思考，得到结论y=2x）
问题2：某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，那么经过x年后剩留量y与x的关系是什么？（经同学们的思考，得到结论y=0.84x）
T：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）
S1：共同点：变量x与y构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同。（是在老师的引导下）
引入新课
T：你们能否给这样的函数起个名字呢？
S（齐）：指数函数
T：那么，今天我们来学习新的一个基本函数——指数函数
（板书）定义：形如（>0且）的函数叫做指数函数。
T：在以前我们学过的函数中，一次函数用形如y=kx+b（k）的形式表示，反比例函数用形如y=表示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)表示。对其一般形式上的系数都有相应的限制。给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值，为什么指数函数对底数有这样的要求呢？（学生经过两分钟的思考，得到结论）
S2：若=0，当x>0时，恒等于0，（没有研究价值）；
当x0时，无意义。
若<0,例如，，当x=x=…, 时是无意义的，
（没有研究价值）。
T：很好，不过在若=1，则=1,是一个常量，也没有研究的必要。所以有规定>0且。（对指数函数有一初步的认识）现在我们就要对其各性质作一研究了。
问题：指数函数的定义域
S3：要使函数有意义，定义域为R。
T：简单判断是否是指数函数：如y=2x+2,y=-3x+5,y=()x.
S4：y=2x+2是指数函数，y=-3x+5不是,y=()x是.（大部分同学同意这个观点）
T：我们再观察一下指数函数的定义形式，底数是一个常数，指数位置只有自变量x,( 学生有了进一步的认识) , y=2x+2不是指数函数。
问：学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图像及性质，然后利用其图像性质去解决数学问题和实际问题。根据以往的经验，你会从那几个角度考虑？
S（齐）：定义域，值域，单调性，图像，反函数。
T：很好，那怎么去研究呢？
S（齐）：画函数的图像。
T：现在请同学们在手中的白纸上画以2，3，4，，，为底的指数函数的图像（分小组）
（学生，分小组用描点法画图像，5分钟后）
T：请第一组的一位同学描述一下你画的函数图像的基本特征。
（以2为底的）
S5：图象位于x轴的上方，向左无限接近x轴，向上无限延伸, 从左向右看，图象是上升的,与y轴交于(0,1)点。
T：由这些特征，你能得到哪些性质呢？
S5：函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),在R上是单调递增的。
T：请问第一组的同学还有什么补充的吗？（没有）
T：请问第二组，第三组的同学你们画的函数图像的特征是怎样的？
S（齐）：与第一组的同学是一致的。
T：那么，我们再看后三组的同学画的图像，请第六组的同学描述一下你们画的函数图像的特征。
S6：图象位于x轴的上方，向右无限接近x轴，向上无限延伸，从左向右看，图象是下降的，与y轴交于(0,1)点。
T：那么，由这些特征得到函数的那些性质呢？
S6：函数y=（）x的定义域为R,值域为(0,+∞),在R上是单调递减的。
T：其他同学还有补充的吗？
T：那么，我们看一下你们得到的这些是不是普遍性的结论。
教师演示课件，以不同的底，描点和连续变化得到的函数图像，描绘出其几何特征，并让学生以填空的形式，将函数的图像和性质对应起来。
通过你们画的图像以及我在这得演示，你们能发现怎样的规律呢？
S：底数分>1和0<<1两种情况。
T：很好，那么，你们能否归纳总结一下它们的性质吗？
S：>1时，定义域为R,值域为(0,+∞),在R上是单调递增的。
0<<1时，定义域为R,值域为(0,+∞),在R上是单调递减的。
T：很好，不过我这里还想让大家观察到，图像在y轴左边和右边的不同。
S7：：>1时，y轴的右侧，y>1；y轴的左侧，0<y<1. 0<<1时，相反。
教师将总结的表格，以幻灯片的形式演示。
T：以下我们来看一下指数函数的应用。
例题：
1．比较下列各题中各个值的大小：（1）1.72.5，1.73；
（2）0.8-0.1，0.8-0.2； （3），，1
分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征，（底数相同，指数不同）联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小。前两个问题学生反应的很快，第3个问题，有点儿困难，利用图像及单调性是初次应用，老师给予讲解，通过画函数图像或与特殊值比大小。
T：通过这节课的学习，你们的收获是什么？
S8：指数函数的定义，性质，图像。
T：通过这节课的学习，我们也可以掌握研究函数的基本方法，通过描点画函数图像，读函数的性质，希望能这一方法用于以后的学习中。
课后反思：
这节课的教案是经过几次修改定的，这节课是通过组内各个组员，及教研员的帮助下而上的，应该说从最先的准备都得到了很大的完善，也是通过这节课的准备，让我感到上好一节课很不容易，从其他老师那汲取的观点信息，让我觉得“一节好课不是一天，一个月的准备，可能需要一辈子。”思想深处的东西是需要点滴的积累。这节课后，从自身上有很多欠缺：语言的精炼，基本功的扎实，深入学生的思维等等。积极的思考，不断的反思。
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