第三章几何非线性与屈曲分析.doc

第三章  几何非线性与屈曲分析
3.1  几何非线性
3.1.1  大应变效应
    一个结构的总刚度依赖于它的组成部件（单元）的方向和单刚。当一个单元的结点经历位移后，那个单元对总体结构刚度的贡献可以以两种方式改变。首先，如果这个单元的形状改变，它的单元刚度将改变（ 图3-1(a) ）。其次，如果这个单元的取向改变，它的局部刚度转化到全局部件的变换也将改变（ 图3-1（b） ）。小的变形和小的应变分析假定位移小到足够使所得到的刚度改变无足轻重。这种刚度不变假定意味着使用基于最初几何形状的结构刚度的一次迭代足以计算出小变形分析中的位移（什么时候使用“小”变形和应变依赖于特定分析中要求的精度等级）。
相反，大应变分析考虑由单元的形状和取向改变导致的刚度改变。因为刚度受位移影响，且反之亦然，所以在大应变分析中需要迭代求解来得到正确的位移。通过发出 NLGEOM ，ON（GUI路径Main Menu>Solution>Analysis Options)，来激活大应变效应。这种效应改变单元的形状和取向，且还随单元转动表面载荷。（集中载荷和惯性载荷保持它们最初的方向。）在大多数实体单元（包括所有的大应变和超弹性单元），以及部分的壳单元中大应变特性是可用的。在ANSYS/Linear Plus程序中大应变效应是不可用的。

图3－1 大应变和大转动
大应变过程对单元所承受的总旋度或应变没有理论限制。（某些ANSYS单元类型将受到总应变的实际限制──参看下面。）然而，应限制应变增量以保持精度。 因此，总载荷应当被分成几个较小的步，这可用〔 NSUBST ， DELTIM ， AUTOTS 〕命令自动实现(通过GUI路径 Main Menu>Solution>Time/Frequent)。无论何时如果系统是非保守系统，如在模型中有塑性或摩擦，或者有多个大位移解存在，如具有突然转换现象，使用小的载荷增量具有双重重要性。
3.1.2  应力－应变
    在大应变求解中，所有应力─应变输入和结果将依据真实应力和真实（或对数）应变（一维时，真实应变将表示为ε=Ln(l/l 0 ) 。 对于响应的小应变区，真实应变和工程应变基本上是一致的）。要从小工程应变转换成对数应变，使用ε Ln =Ln(l+ε eng )。要从工程应力转换成真实应力，使用σ true =σ eng (1+ε eng ) （这种应力转化仅对不可压缩塑性应力─应变数据是有效的）。
    为了得到可接受的结果，对真实应变超过50%的塑性分析，应使用大应变单元（VISCO106、107及108）。
    应该认识到在大应变分析的任何迭代中粗劣的单元形状（也就是，大的纵横比，过度的顶角以及具有负面积的已扭曲单元）将是有害的。因此，必须象注意单元的原始形状一样注意单元已扭曲后的形状（除了探测出具有负面积的单元外，ANSYS程序对于求解中遇到的粗劣单元形状不发出任何警告，必须进行人工检查）。如果已扭曲的网格是不能接受的，可以人工改变开始网格（在容限内）以产生合理的最终结果（参看 图3-2 ）。

图3－2  在大应变分析中避免低劣单元形状的发展具有小应变的大偏移
3.1.3  小应变大位移
某些单元支持大的转动，但不支持大的形状改变。一种称作大位移的大应变特性的受限形式对这类单元是适用的。在一个大位移分析中，单元的转动可以任意地大，但是应变假定是小的。大位移效应（没有大的形状改变）在ANSYS/Linear Plus程序中是可用的（在ANSYS/Mechanical,以及ANSYS/Structural产品中，对于支持大应变特性的单元，大位移效应不能独立于大应变效应被激活。）。在所有梁单元和大多数壳单元中，以及许多非线性单元中这个特性是可用的。通过打开 NLGEOM ，ON （GUI路径Main Menu>Solution>Analysis Options）来激活那些支持这一特性的单元中的大位移效应。
3.1.4  应力刚化
    结构的面外刚度可能大大地受那个结构中面内应力状态的影响。面内应力和横向刚度之间的耦合，通称为应力刚化，在薄的、高应力的结构中，如缆索或薄膜中，是最明显的。一个鼓面，当它绷紧时会产生垂向刚度，这是应力强化结构的一个普通的例子。尽管应力刚化理论假定单元的转动和应变是小的，在某些结构的系统中（如在 图3-3（a） 中），刚化应力仅可以通过进行大挠度分析得到。在其它的系统中（如 图3-3(b) 中），刚化应力可采用小挠度或线性理论得到。

图3－3 应力刚化梁
    要在第二类系统中使用应力硬化，必须在第一个载荷步中发出 SSTIF ，ON（GUI路径Main Menu>Solution>Analysis Options）。ANSYS程序通过生成和使用一个称作“应力刚化矩阵”的辅助刚度矩阵来考虑应力刚化效应。尽管应力刚度矩阵是使用线性理论得到的，但由于应力（应力刚度矩阵）在每次迭代之间是变化的，因而它是非线性的。
    大应变和大挠度过程包括初始应力效应，它作为大应变和大挠度理论的一个子集，对于许多实体和壳单元，当大变形效应被激活时〔 NLGEOM ，ON〕（GUI路径Main Menu>Solution>Analysis Options)自动包括初始刚化效应。
    在大变形分析中〔 NLGEOM ，ON〕包含应力刚化效应〔 SSTIF ，ON〕将把应力刚度矩阵加到主刚度矩阵上，以在具有大应变或大挠度性能的大多数单元中产生一个“近似的”协调切向刚度矩阵。例外情况包括 BEAM4 和 SHELL63 ，以及不把“应力刚化”列为特殊特征的任何单元。对于 BEAM4 和 SHELL63 ，你可以通过设置KEYOPT（2）=1和 NLGEOM ，ON在初始求解前激活应力刚化。当大变形效应为ON（开）时这个 KEYOPT 设置激活一个协调切向刚度矩阵选项。当协调切向刚度矩阵被激活时（也就是，当KEYOPT（2）=1且 NLGEOM ，ON时） SSTIF 对 BEAM4 和 SHELL63 将不起作用。
在大变型分析中使用应力 刚 化的建议：
·  对于大多数实体单元，应力刚化的效应是与问题相关的，在大变型分析中的应用可能提高也可能降低收敛性。在大多数情况下，首先应该尝试一个应力刚化效应OFF（关闭）的分析。如果你正在模拟一个受到弯曲或拉伸载荷的薄的结构，当用应力硬化OFF（关）时遇到收敛困难，则尝试打开应力硬化。
·  应力刚化不建议用于包含“不连续单元”（由于状态改变，刚度上经历突然的不连续变化的非线性单元，如各种接触单元， SOLID65 ，等等）的结构。对于这样的问题，当应力刚化为ON（开）时，结构刚度上的不连续线性很容易导致求解“胀破”。
·  对于桁、梁和壳单元，在大挠度分析中通常应使用应力刚化。实际上，在应用这些单元进行非线性屈曲和后屈曲分析时，只有当打开应力刚化时才得到精确的解。（对于 BEAM4 和 SHELL63 ，你通过设置单元KEYOPT（2）=1激活大挠度分析中〔 NLGEOM ，ON〕的应力刚化。）然而，当你应用杆、梁或者壳单元来模拟刚性连杆，耦合端或者结构刚度的大变化时，你不应使用应力刚化。
注意： 无论何时使用应力刚化，务必定义一系列实际的单元实常数。使用不是“成比例”（也就是，人为的放大或缩小）的实常数将影响对单元内部应力的计算，且将相应地降低那个单元的应力刚化效应。结果将是降低解的精度。
3.1.5  旋转软化
旋转软化是指动态质量效应调整（软化）旋转物体的刚度矩阵。在小位移分析中这种调整近似于由于大的环形运动而导致几何形状改变的效应。通常它和预应力[ PSTRES ]（GUI路径Main Menu>Solution>Analysis Options）一起使用，这种预应力由旋转物体中的离心力所产生。它不应和其它变形非线性，大挠度和大应变一起使用。旋转软化用 OMEGA 命令中的KPSIN来激活（GUI路径Main Menu>Preprocessor>Loads>-Loads-Apply>-Structural-Other>Angular Velotity）。
3.2  大应变分析实例
    在这个实例分析中，我们将进行一个两块钢板压一个圆盘的非线性分析。
3.2.1  问题描述
    由于上下两块钢板的刚度比圆盘的刚度大得多，钢板与圆盘壁面之间的摩擦足够大。因此，在建模时只建立圆盘的模型。
    用轴对称单元模拟圆盘，求解通过单一载荷步来实现。由于模型和载荷的上下对称性，我们只需建立圆盘的上半部分模型。由于钢板的刚度很大，因此我们在建模时将圆盘上面结点的Y方向上的位移耦合起来。又由于钢板与圆盘壁面之间的摩擦足够大，圆盘与钢板之间不会产生滑动，因此我们将圆盘上面结点的X方向的位移约束起来。
3.2.2  问题详细说明
    下列材料性质应用于这个问题：
    EX=1000  (杨氏模量）
NUXY=0.35（泊松比）
Yield Strength =1 （屈服强度）
Tang Mod=2.99（剪切模量）
3.2.3  问题描述图

图3-4  问题描述图
3.2.4  求解步骤（GUI方法）
步骤一： 建立模型，给定边界条件。
        在这一步中，建立计算分析所需要的模型，定义单元类型，材料性质
        划分网格，给定边界条件。并将数据库文件保存为“exercise1.db”。          
        在此，对这一步的过程不作详细叙述（您也可以从§3.2.5中取出命令流段完成这一步骤）。
步骤二： 恢复数据库文件“exercise.db”
        Utility Menu>File>Resume from
步骤三： 进入求解器。
        Main Menu>solution
步骤四： 定义分析类型和选项
        1、选择菜单路径Main Menu>Solution>-Analysis Type-New Analysis. 
            单击“Static”来选中它然后单击OK。
        2、择菜单路径Main Menu>Solution>Unabridged Menu>Analysis Options。
            出现对话框。
3、单击Large deform effects (大变型效应选项）使之为ON， 然后单击OK。
步骤五： 打开预测器。
     Main menu> Solution>Unabridged Menu>Load step opts-Nonlinear> Predictor
步骤六 ：在结点14的Y方向施加一个大小为-0.3的位移
    Main menu >Solution -Load -Apply >displacement >On Nodes
步骤七： 设置载荷步选项
1、选择菜单路径Main Menu> Solution>Unabridged Menu>Load step opts-Time/Frequenc> Time and substps。对话框出现。
        2、对time at end of Load Step(载荷步终止时间）键入0.3
        3、对Number of substeps (子步数)键入120。
4、单击automatic time stepping option（自动时间步长选项）使之为ON，然后单击OK。
5、选择菜单路径Main Menu > Solution>Unabridged Menu >Load step opts-Output ctrls > DB/Resuls File。对话框出现。
        6、单击“Every Nth substep”（“每隔N个子步”）且选中它。
        7、对于Value of N (N的值）键入10然后单击OK。
        8、单击ANSTS Toolbar上的SAVE_DB。
步骤八： 求解问题
        1、选择菜单路径Main Menu>Solution>-Solve-Current LS。
2、检阅状态窗口中的信息然后单击close。
3、单击Solve Current Load Step(求解当前载荷步）对话框中的OK开 始求解。
步骤九： 进行所需要的后处理。
3.2.5  求解步骤（命令流方法）
Fini
/cle
/prep7
/title,upsetting of an axisymmetric disk
et,1,106,,,1
mp,ex,1,1000
mp,nuxy,,0.3
tb,biso,1
tbdata,,1,2.99
rect,0,6,0,1.5
lesi,1,,,12
lesi,2,,,5
mshape,0,2d
mshkey,1
amesh,all
nsel,y,1.5
cp,1,uy,all
nsel,all
fini
/solu
nsel,s,loc,x,0
dsym,symm,x
nsel,s,loc,y,0
dsym,symm,y
nsel,all
d,all,uz
nsel,y,1.5
d,all,ux
nsel,all
fini
save,exercise1,db
resume,exercise1,db
/solusion
nlgeom,on
pred,on
d,14,uy,-0.3
time,0.3
autot,on
nsubst,120
outres,all,-10
solve
fini
/post1
set,last
/dsca,,1
pldi,2
plns,nl,sv
fini
/post26
rfor,2,14,f,y
add,2,2,,,,,,-1.0
plva,2
fini
3.3  屈曲分析
　　 屈曲分析 是一种用于确定结构开始变得不稳定时的临界载荷和屈曲模态形状(结构发生屈曲响应时的特征形状)的技术，非线性屈曲分析是一种典型而且重要的几何非线性分析，因此后面各节对屈曲分析的概念和过程进行详细介绍。
3.3.1  屈曲分析的类型
　　ANSYS在ANSYS/Multiphysics、ANSYS/Mechanical、ANSYS/Structural以及ANSYS/Professional中，提供两种结构屈曲载荷和屈曲模态的分析方法：非线性屈曲分析和特征值(线性)屈曲分析。这两种方法通常得到不同的结果，下面先讨论一下二者的区别。
3.3.1.1  非线性屈曲分析
　　非线性屈曲分析比线性屈曲分析更精确，故建议用于对实际结构的设计或计算。该方法用一种逐渐增加载荷的非线性静力分析技术来求得使结构开始变得不稳定时的临界载荷。见 图3-5a 。
    应用非线性技术，模型中就可以包括诸如初始缺陷、塑性、间隙、大变形响应等特征。此外，使用偏离控制加载，用户还可以跟踪结构的后屈曲行为(这在结构屈曲到一个稳定外形，如浅拱的“跳跃”屈曲的情况下，很有用处)。
3.3.1.2  特征值屈曲分析
    特征值屈曲分析用于预测一个理想弹性结构的理论屈曲强度(分叉点)。该方法相当于教科书里的弹性屈曲分析方法。例如，一个柱体结构的特征值屈曲分析的结果，将与经典欧拉解相当。但是，初始缺陷和非线性使得很多实际结构都不是在其理论弹性屈曲强度处发生屈曲。因此，特征值屈曲分析经常得出非保守结果，通常不能用于实际的工程分析。

图3-5  屈曲曲线
3.3.2  屈曲分析的用到的命令
    用户可以应用与静力分析相同的命令集来进行屈曲分析。同样，不论何种分析，都可以应用类似的GUI菜单来建立模型和求解。
    本章§3.6 给出了用GUI方法和命令流方法求解屈曲分析的例子。有关命令可参阅《ANSYS Commands Reference》。
3.4  非线性屈曲分析
    非线性屈曲分析是在大变形效应开关打开的情况下[ NLGEOM ,ON]的一种静力分析，该分析过程一直进行到结构的极限载荷或最大载荷。其它诸如塑性等非线性也可以包括在分析中。
3.4.1  施加载荷增量
    非线性屈曲分析的基本方法是，逐步地施加一个恒定的载荷增量，直到解开始发散为止。尤其重要的是，要一个足够小的载荷增量，来使载荷达到预期的临界屈曲载荷。若载荷增量太大，则屈曲分析所得到的屈曲载荷就可能不精确。在这种情况下，打开二分和自动时间步长功能[ AUTOTS ,ON]有助于避免这种问题。
3.4.2  自动时间步长功能
    打开自动时间步长功能，程序将自动地寻找出屈曲载荷。如果在一个静力分析中，打开了自动时间步长功能并且加载方式是斜坡加载，而在某一给定载荷下解不收敛，程序就会将载荷载增量减半，在这个载荷下重新进行新一轮求解。在一个屈曲分析中，每一次这种收敛失败都通常伴随着一个“负主对角”信息，这意味着所施加的荷载等于或超过了屈曲载荷。如果程序接着又成功地求得了一个收敛解，则用户可以忽略这些信息。如果应力刚度激活[ SSTIF ,ON]，则用户应当在没有自适应下降[ NROPT ,FULL,,OFF]的情况下运行，以确保达到屈曲荷载的下限。随着这种二分和重新求解过程，使得载荷步增量达到了所定义的最小时间步增量(由 DELTIM 或 NSUBST 命令定义)时，通常也就收敛到了临界载荷。因此用户所定义的最小时间步，将直接影响到求解的精度。
3.4.3  注意事项
    特别要注意的是，一个非收敛的解，并不意味着结构达到了其最大载荷。它也可能是由于数值不稳定引起的，这可以通过细化模型的方法来修正。跟踪结构响应的载荷-变形历程，可以确定一个非收敛的载荷步，到底是表示了一个实际的结构屈曲，还是反映了其它问题。用户可以先用弧长法[ ARCLEN] 命令来进行一个预分析，以预测屈曲载荷(近似值)，将此近似值与用二分法求得的更精确的值作比较，来确定是否结构已真正达到了其最大载荷。用户也可以用弧长法本身来求得一个精确的屈曲载荷，但这需要用户自己不断地修正弧长半径，以及人工直接干预程序来执行一系列重求解。
    除上面的论述以外，用户还需注意以下六点：
  如果结构上的载荷完全是在平面内的(亦即只有膜应力或轴向应力)，则将不会产生导致屈曲所必须的面外变形，所进行的分析也就不能求得屈曲结果。要克服这个问题，可以在结构上施加一个很小的面外扰动，如一个适当的瞬时力或强制位移，以激发屈曲响应。(对结构作一个预先的特征值屈曲分析来预测屈曲模态很有用，它可以帮助用户确定施加扰动的合适位置以激起所希望的屈曲响应)。初始缺陷(扰动)应与实际结构在位置和大小上一致，因屈曲载荷对这些参数非常敏感。
  在大变形分析中，力(和位移)将保持其初始方向，但表面载荷将跟随结构改变了的几何形状，因此，要确保所施加的载荷类型正确。
  用户在实际工作中应将一个稳态分析进行到结构的临界载荷点，以计算出结构产生非线性屈曲的安全系数。仅仅说明结构在一个给定的载荷水平下是稳定的，在大多数实际的设计实践中并不足够。用户通常应提供一个确定的安全系数，而这一点必须通过屈曲分析得到结构实际的极限载荷来实现。
  用户可以通过激活弧长法[ ARCLEN ]，将分析扩展到后屈曲范围。使用该特征来跟踪“载荷-变形”曲线通过那些发生了“阶跃(snap-through)”或“回跃(snap-back)”响应的区域。
  对于那些支持一致切向刚度矩阵的单元(BEAM4、SHELL63、SHELL141)，激活一致切向刚度矩阵[ KEYOPT(2)=1 和 NLGEOM ,ON ]可以增强非线性屈曲分析的收敛性，改善求解的精确度。单元的该 KEYOPT 必须在求解的第一载荷步之前定义，并且一旦求解开始后就不能改变。
  其他许多单元(如BEAM188、BEAM189、SHELL181)将在[ NLGEOM ,ON] 时提供一致切线刚度矩阵。
3.4.4  初始缺陷（扰动）的施加
　　在进行非线性的屈曲分析时，分析过程与一般的非线性分析过程相同。采用一系列子步以增量加载的方式施加一给定载荷直到求解发散。在很多情况下，为了有助于计算，我们应在模型上施加－初始缺陷（扰动）。
　　预先进行一个特征值分析有助于非线性屈曲分析。
· 特征值屈曲载荷是预期的线性屈曲载荷的上限，可以作为非线性屈曲分析的给定载荷，在渐进加载达到此载荷前，非线性求解应该发散。
· 特征矢量屈曲形状可以作为施加初始缺陷或扰动载荷的根据。
　　以特征值的屈曲形状为基础定义初始几何缺陷的步骤如下：
1．建立没有初始几何缺陷的模型。
2．进行特征值屈曲分析。
3．用 UPGEOM 或 UPCOORD 命令来施加几何缺陷。
4．进行非线性屈曲分析。
3.4.5  弧长法的使用
　　当使用弧长法时，我们应注意以下几点：
1．在采用弧长法时，为了求得屈曲载荷，施加一比预测的屈曲载荷高出10％－20％的给定载荷，一般来说，特征值屈曲载荷是一较好的估计值。
2．当采用弧长法时，为了使计算更快，一般采用两个载荷步。
·在第一个载荷步中，打开自动步长使用一般的非线性屈曲过程，直到接近临界载荷。
·在第二个载荷步中，使用弧长法使分析通过临界载荷。
3．采用弧长法时，不要指定Time值，在进行弧长分析时，Time值实际上是载荷因子（给定载荷的乘子）。
4．如果使用弧长法分析失败，使用 NSUBST 命令的NSBSTP域来减少初始半径可以加强收敛，使用 ARCLEN 命令的MINARC域来降低弧长半径的下限也可以克服收敛困难。
5．使用在时间历程后处理中得到的载荷－变形曲线来指导分析，当调整分析时，确定结构在哪儿变得不稳定可能是十分有用的。
6．使用较低的平衡迭代数（10－15）。
7．为了引起非线性的屈曲模式，有些弧长问题需要初始几何缺陷，对于这种情况，使用特征值分析得到模态，然后给模型加一个对应于此模态的几何缺陷来启动模态形状。
3.5  特征值(线性)屈曲分析
3.5.1  基本知识
　　我们已经知道应力刚度矩阵[S]可以加强或减弱结构的刚度，这依赖于刚度应力是拉应力还是压应力。
　　对受压情况，当F增大时，弱化效应增加，当达到某个载荷时，弱化效应超过结构的固有刚度，此时没有了净刚度，位移无限增加，结构发生屈曲。
ANSYS的线性屈曲分析使用相似的概念，使用特征值的公式计算造成结构负刚度的应力刚度矩阵的比例因子。
 ([K] +λ[S] ){ψ}=0
　　其中：[K]＝刚度矩阵
      　　[S]＝应力刚度矩阵
      　　{ψ}＝位移特征矢量
      　　λ＝特征值（也叫作比例因子或载荷因子）
　　利用上面的特征值公式可以决定结构的分叉点，分叉点是指两条或多条载荷－变形曲线的相交点。
　　具有分叉屈曲的结构在达到屈曲载荷之前其位移－变形曲线表现出线性关系，达到屈曲载荷之后，曲线将跟随另外的路线，分叉屈曲的典型例子是欧拉梁和薄的轴向加载的圆柱壳。
　　关于特征值公式的几点说明：
· 特征值表示给定载荷的比例因子
· 如果给定载荷是单位载荷，特征值即是屈曲载荷。
· 特征矢量是屈曲形状
· 一般来说只对第一个特征值和特征矢量感兴趣
由于特征值屈曲不考虑任何非线性和初始扰动，因此它只是一种学术解，利用特征值屈曲分析可以预测出屈曲载荷的上限，然而在通常情况下我们都期望得到保守载荷（下限）。特征值屈曲分析的优点是计算快。在进行非线性屈曲分析之前我们可以利用线性屈曲分析了解屈曲形状。
3.5.2  特征值屈曲分析的步骤
    再一次提醒用户，特征值屈曲分析通常产生非保守结果，故通常不应用于实际结构的设计。若用户认为特征值屈曲分析对于自己的应用是合适的话，则可按如下步骤进行分析：
    1、建立模型；
    2、获得静力解；
    3、获得特征值屈曲解；
    4、展开解；
    5、观察结果。
3.5.2.1  建立模型
    定义作业名和分析标题，进入 PREP7 定义单元类型、单元实常数、材料性质、模型几何实体。这些任务与其它大多数分析类似，见《ANSYS Basic Analysis Guide》§1.2 和《ANSYS Modeling and Meshing Guide》。应注意：
只允许线性行为。如果定义了非线性单元，则将按线性单元对待。若结构中包含有接触单元，则基于它在静态预应力分析后的状态来进行其刚度计算，而且在后续分析中永不改变。
必须定义材料的弹性模量EX(或某种形式的刚度)。材料性质可以是线性、各向同性或各向异性，恒值或与温度相关。非线性性质即使定义了也将被忽略。
3.5.2.2  获得静力解
    该过程与一般静力分析过程一致，只是要注意以下几点：
必须激活预应力影响[ PSTRES ]。因为该分析需要计算应力刚度矩阵。
通常只要施加一个单位载荷就足够了(亦即不用施加实际载荷)。由屈曲分析计算出的特征值，表示屈曲载荷系数。因此，若施加的是单位载荷，则该特征值就表示实际的屈曲载荷，并且所有的载荷都是作相应的缩放。注意，ANSYS允许的最大特征值是 1,000,000 -- 若求解时特征值超过了此限度，则用户应施加一个较大的载荷。
注意特征值对所有的载荷都作相应的缩放。如某些荷载是常数(如自重荷载)，而其他荷载是可变的(如外荷载)，则必须要确保从常数荷载得到的刚度，在特征值求解时不被缩放。达到这一目的的一个策略，是在特征解上迭代，调整可变荷载，直到特征值变成1.0(或接近1.0，即允许一些收敛容差)。用这种迭代方法来得到最终结果时，设计优化功能最有用。如撑杆自重为W 0 ，支承外荷载 A。为了在特征值屈曲分析中确定A的极限值，可以应用不同的A重复求解，直到由迭代得到特征值为可接受的 1.0。

图3-6  调整可变荷载直到得到特征值1
如同静力分析一样，可以在前处理阶段施加非0约束。在特征值屈曲分析中得出的解，是作用于非0约束值的荷载系数。但是，在这些自由度上，模态值为0，而不是指定的非0值。
求解完成后，退出求解器[ FINISH ]。
3.5.2.3  获得特征值屈曲解
    这一步需要从静力分析中得到的 Jobname.EMAT 和 Jobname.ESAV 文件。而且，数据库必须包含该模型(需要时可以应用 RESUME 命令恢复)。获得特征值屈曲解有如下几个步骤：
    1 ．进入求解
    命令：/ SOLU
    GUI：Main Menu>Solution   
    2 ．定义分析类型
    命令： ANTYPE ,BUCKLE
    GUI：Main Menu>Solution-Analysis Type-New Analysis
    注意 --在特征值屈曲分析中，重启动分析无效。
    注意 --在指定特征值分析时，将出现一个适合于屈曲分析的Solution菜单。这个菜单可能是“Abridged(简化)”或“Unabridged(完整)”菜单，这与你在进行这一步之前的操作有关。“Abridged(简化)”菜单仅包括屈曲分析中有效或推荐的求解选项。如处在“Abridged(简化)”菜单上，可以选“Unabridged(完整)”而进入到完整的菜单。参见《ANSYS Basic Analysis Guide》§3.11.1。
3 ．定义分析选项
    命令： BUCOPT , Method,NMODE,SHIFT
    GUI：Main Menu>Solution>Analysis Options
不论是用命令流方法还是GUI方法，用户可以指定下面这些选项：
Method ：指定特征值提取方法。选择子空间迭代法或Block Lanczos方法。这两种方法都使用完全系统矩阵。
NMODE ：指定提取的特征值数。缺省为1，一般来说已经足够。
SHIFT ：指定要计算特征值的点(荷载作用点)。该选项在遇到数值问题时(例如由负特征值引起的问题)很有用。缺省值是0.0。
    4 ．定义载荷步选项
    特征值屈曲分析中，有效的载荷步选项是输出控制和扩展过程选项。
    命令： OUTPR ,NSOL,ALL
    GUI：Main Menu>Solution>-Load Step Opts-Output Ctrls>Solu Printout
    可以把扩展过程作为特征值求解过程的一个选项，也可以单独的步骤执行。在本书中，我们按单独执行来考虑。见3.5.2.4。
    5 ．用一个另外的文件名保存一个数据库的备份文件(SAVE命令)
    命令： SAVE
    GUI：Utility Menu>File>Save As
    6 ．开始求解
    命令： SOLVE
    GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Current LS
    求解过程的输出内容，主要是特征值结果，它被作为输出文件的一部分(Jobname.OUT)。特征值表示了屈曲载荷系数，若在前面静力分析中施加的是单位载荷，则特征值就是屈曲载荷。此时数据库或结果文件中还没有屈曲模态形状，因此还不能对结果作后处理，需先扩展解以后才能做后处理。
    有些时候，用户可以发现程序同时计算出了正特征值和负特征值。此时，负特征值表示结构在相反的方向上施加载荷也会发生屈曲。
    7 ．退出求解器
    命令： FINISH
    GUI：关闭求解菜单。
3.5.2.4  扩展解
    若用户想要观察屈曲模态形状，则不管采用何种方法提取的特征值，都必须对解作展开。对于子空间迭代法(这时应用完全系统矩阵)，用户可简单地认为此步是将屈曲模态形状写入结果文件。
需要注意：
  必须存在从特征值屈曲分析得到的模态文件(Jobname.MODE)。
  数据库必须包含与求解时相同的模型。
    展开屈曲模态形状的过程阐述如下：
    1 ．重新进入求解器
    命令：/ SOLU
    GUI：Main Menu>Solution
    注意 --用户在进行扩展解前，必须显式地离开求解器(用 FINISH 命令)，然后重新进入求解器(用 / SOLU 命令)。
    2 ．激活扩展过程及其选项
    命令： EXPASS ,ON
    GUI：Main Menu>Solution>-Analysis Type-ExpansionPass
    3 ．指定扩展过程选项
    命令： MXPAND , NMODE,,,Elcalc
    GUI：Main Menu>Solution>-Load Step Opts-ExpansionPass> Expand Modes
    不论是应用命令流方法还是GUI方法，都需要下面的选项：
NMODE ：指定要扩展的模态数。缺省为提取的总模态数。
Elcalc ：指明是否要计算“应力”。在特征值分析中“应力”并不是真实的应力，只是给出各个模态下一个相对应力或力的概念。缺省是不计算“应力”。
    4 ．定义载荷步选项
    在屈曲展开过程中，有效的载荷步选项只有下面的输出控制：
打印输出
    该选项将任何结果数据包含在输出文件(Jobname.OUT)中。
    命令： OUTPR
    GUI：Main Menu>Solution>-Load Step Opts-Output Ctrl>Solu Printout
数据库和结果文件输出
    该选项控制结果文件(Jobname.RST)中的数据。
    命令： OUTRES
    GUI：Main Menu>Solution>-Load Step Opts-Output Ctrl>
                   DB/Results File
    注意 -- OUTPR 和 OUTRES 命令中的 FREQ 域只能是 ALL 或 NONE，亦即，只能进行数据处理所有模态或无模态。
    5 ．开始扩展
    输出包括扩展模态形状，各个模态的相对应力分布(如果需要的话)。
    命令： SOLVE
    GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Current LS
    6 ．退出求解器
    命令： FINISH
    GUI：关闭求解菜单。
    注意 --扩展过程在这里被描述成一个独立的步骤。用户可以把该过程作为特征值求解过程的一部分，方法是在特征值求解时将 MXPAND 命令((Main Menu>Solution>-Load Step Opts-ExpansionPass>Expand Modes)包括进去，作为分析选项之一。
3.5.2.5  查看结果
    屈曲扩展过程的结果写在结果文件(Jobname.RST)中，包括屈曲载荷系数、屈曲模态形状、相对应力分布等，可在 POST1 中对结果进行观察。
    注意 --在用POST1观察结果时，数据库必须包含与屈曲计算相同的模型(需要时，可以用 RESUME 命令恢复)。而且，必须存在从扩展得到的结果文件(Jobname.RST)。
    1 ．显示所有屈曲载荷系数
    命令： SET ,LIST
    GUI：Main Menu>General Postproc>Results Summary
    2 ．读入想要观察的模态，以显示屈曲模态形状(在结果文件中，每个模态是作为一个独立的子步来保存的)。
    命令： SET, SBSTEP
    GUI：Main Menu>General Postproc>-Read Results-load step
    3 ．显示模态形状
    命令： PLDISP
    GUI：Main Menu>General Postproc>Plot Results>Deformed Shape
    4 ．等值线显示相对应力分布
    命令： PLNSOL 或 PLESOL
    GUI：Main Menu>General Postproc>Plot Results>-Contour Plot-Nodal Solution  或
         Main Menu>General Postproc>Plot Results>-Contour Plot-Element Solution
    有关命令 ANTYPE, PSTRES, D, F, SF, BUCOPT, EXPASS, MXPAND, OUTRES, SET, PLDISP, PLNSOL， 参见《ANSYS Commands Reference》
3.6  屈曲分析实例
3.6.1  特征值屈曲分析
    在这个实例分析中，我们将进行一个两端铰支杆的特征值屈曲分析。
3.6.1.1  问题描述
    一根长为L，两端铰支的细长杆，受到轴向荷载作用。此杆截面的高度为h，面积为A。由于对称性，我们只给杆的上端建模，则上半部分的边界条件变为一端自由一端固支。为了描述屈曲模态，在X方向取10个主自由度。杆的惯性矩为I=Ah 2 /12=0.0052038 in 4 。
3.6.1.2  问题详细说明
    材料特性：E=30E6 psi
    几何特性：L=200 in；