补偿截断,中线倍长,旋转.doc

二．基本图形的辅助线的画法
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）平移一腰，构造一个平行四边形和三角形。
（2）延长两腰，构造三角形和梯形
（3）过梯形上底的两端点向下底作高
（4）平移对角线
（5）连接梯形一顶点及一腰的中点或过一腰的中点作另一腰的平行线。
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
4.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
（1）见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
（3） 见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
一、旋转变换：旋转变换是几何变换中的基本变换之一，通过旋转，改变位置后重新组合，然后在新图形中分析有关图形间的关系，进而揭示条件与结论间的内在联系，找到证题途径。旋转变换的性质（1）旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的性质，也就是旋转前后图形全等；（2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角。
典型例题：
例1. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 ▲ cm.

例2. 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，
AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是【 】

A．40 B．30 C．20 D．10
练习题：
1. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ▲ .

2.探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________．[来源:Zxxk.Com]
又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE＋BF=EF．
⑵方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

3. （2012辽宁本溪12分）已知，在△ABC中，AB=AC。过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN。
（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，
①如图a，当=45°时，∠ANC的度数为_______；
②如图b，当≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；[来源:学科网ZXXK]
（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明。

旋转五大模型

(一)中线倍长法:
例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ (AB+AC)
分析：要证明AD ﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。
在△ADB和△EDC中，

∴△ADB≌△EDC(SAS)
∴AB=CE
又 在△ACE中，
AC+CE＞AE
∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤ (AB+AC)
小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC

例2: 中线一倍辅助线作法

△ABC中 方式1： 延长AD到E，
AD是BC边中线 使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F， 延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，
连接BE 连接CD

例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

例5：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分

课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

（二）截长补短法图1-1

例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
图1-2
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°
例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
图2-1
求证：CD=AD+BC.

例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180°.

图3-1

例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
图4-1
求证：AB=AC+CD.