北京市人民大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(含解析).docx

人大附中 2019-2020 学年第一学期期中考试
高一数学试卷
2019 年11 月
说明：本试卷分I 卷和 II 卷，I 卷 17 道题，共100 分；II 卷 7 道题，共50 分；I 卷、
II 卷共 24 题，合计 150 分，作为期中成绩。考试时间 120 分钟；请在答题卡上
填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上.
I 卷（共 17 题，满分 100 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）
{
} {
}
1．设集合
，则 =（ ）
X ÇY
X = xÎ Z -3 < x < 2 ,Y = y Î Z -1£ y £ 3
{ }
0,1
{ }
B. -
1,0,1
{ }
0,1,2
{ 1,0,1,2}
D. -
A.
C.
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
x
( )
- 2 与
x 1 = -
y x 1
A. = 与
B. =
y
y 1
=
y
x
x
x + x
2
3
C. = 与
D. = 与
y
y x
=
y
=
y x
x
x +1
2
( )
3．下列函数中，在区间 是增函数的是（ ）
0,2
1
A.
B. = - +
y x2 4x 5
C.
D.y =
y = -x +1
=
y
x
x
4．命题“∀ Î ，都有 ³ ”的否定为（ ）
x R
x 0
2
A. ∀ Î ，都有 <
x R
B.不存在 Î ，使得 <
x R
x 0
x 0
2
2
C. ∃ Î ，使得
D. ∃ Î ，使得
x R
x R
0
³ 0
x < 0
x2
0
2
0
0
é æ 1 öù
( )
5．己知函数 的图象是两条线段（如图，不含端点），则
f x
=（ ）
f f
ê ç ÷ú
ë è 3øû
3
3
3
3
1

a b
是实数，则“ > > 且 < < ”是“ < ”的（
a b 0 c d 0
6．已知
）
a,b
d c
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件
C.充要条件
( )
y
( )
x
7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离
与行走时间 之间的函数关系的图
象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（
）
{
}
8．已知集合 = Î
x R 5 2x 3
- - 为正整数 ，则 的所有非空真子集的个数是（
）
M
M
A. 30
B.31
C. 510
D. 511
二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请把结果填在答题纸上的相应位
置.）
ì 3x + y = 2
9．方程组
的解集用列举法表示为______________.
í
2x -3y = 27
î
ì x + 2,x £ 0
( )
( )
10．已知函数
=
，则方程
= 的解集为__________.
f x x2
f x í
î-x + 2,x > 0
11．某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储
x
费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 的值__________.
4x
x
( )
1,4
12．若函数 f(x)=x -2(a-1)x+2 在区间
2
上不是单调函数，那么实数 的取值范围是
a
__________.
( ) x
13．几位同学在研究函数
=
Î 时给出了下面几个结论：
(x R)
f x
1+ x
( )
f x
( )
的值域为 - ；
1, 1
①函数
( ) ( )
；
f x
②若 ¹ ，则一定有
x x
¹
f x
1
2
1
2
( ) ( )
③
在 +¥ 是增函数；
f x
0,
( )
( ) ( )
( )
( )
，则
f x f f x
④若规定
f x f x
=
1
，且对任意正整数 都有：
n
=
n+1
n
( )
x
f x =
对任意 Î 恒成立.
n N
*
1+ n x
n
上述结论中正确结论的序号为_______________.
1

( )
f x 2x 4x 1, g x 2x a
( )
é1 ù
( ) ( )
= + ，若存在 x , x Î ,1 ，使得 = ，
f x g x
14．函数
=
- +
2
ê ú
ë2 û
1
2
1
2
则 的取值范围是______________.
a
三、解答题（本大题共 3 小题，每题 10 分，共 30 分，解答应写出文字说明过程或演算
步骤， 请将答案写在答题纸上的相应位置.）
{
R, A x 2x 7x 3 0 , B x x a 0
} { }
15．设全集是实数集
=
- + £
=
+ < .
2
2
( )
（1）当 = - 时，求
a 4
和
A B A B
； （2）若
Ç = ，求实数 的取值范围.
Ç
È
C A B B
a
R
( )
(
f x x 2bx c b,c R
)
16．已知二次函数
= +
+
Î .
2
{
}
，求实数 的值；
( )
f x 0
（1）已知
（2）已知c
£ 的解集为
- £ £
x 1 x 1
b,c
( )
f x 0
( )( )
+ = ，
x 1 x 1 8
，设 、 是关于 的方程
x x
= 的两根，且 +
= b + 2b + 3
x
2
1
2
1
2
求实数 的值；
b
( )
f x
( )
( )
+ + = 的两实数根分别在区间
f x x b 0
（3）已知
满足
= ，且关于 的方程
f 1 0
x
( ) ( )
-3,-2 , 0,1 内，求实数b 的取值范围.
17．已知函数 f x = x + ，（1）判断函数
( )的奇偶性；
f x
( )
4
x
（2）指出该函数在区间(0, 2] 上的单调性，并用函数单调性定义证明；
( )
ì f x , x > 0
ï
[ ] ( )
g x
( )
（3）已知函数g x =
5,x = 0 ，当 Î - 时
1,t
ï ( )
- f x , x < 0
î
的取值范围是[5, +¥)，求实数
í
x
t 取值范围.(只需写出答案)
1

II卷 （共 7 道题，满分 50 分）
四、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）
( ) ( )
{ }
，其定义如下表：
1,2,3
18．已知两个函数
和
的定义域和值域都是集合
f x
g x
1
2
3
3
x
1
3
2
2
3
1
( )
f x
( )
g x
1
( )
则方程
A.
的解集为（
）
g é f x ù = x +1
ë
û
{}
{ }
{ }
1,2
{ }
D.
1,2,3
B.
C.
1
2
( )
f x
( )
是定义在 -
4,4
( )
( ) ( )
，则
f a f 3
19．已知
上的偶函数，且在 -
上是增函数，
<
4,0
实 （
a
）
( )
( ) ( )
B. -¥ - È +¥
, 3 3,
( )
( ) ( )
D. - - È
4, 3 3,4
A. -
C. - -
3,3
4, 3
( )
[ ]
上有零点，则正数 的所有可取的值的集合
20．已知函数
= -
f x x2 2ax 5 x 1,3
+ 在 Î
a
为（
）
é7 ù
é
ù
A. ,3
B.[ 5,
C.
D.
(0, 5]
+¥)
3,3
ê
ú
ë
û
ë3 û
五、填空题（本大题共3 小题，每小题 6 分，共 18 分.请把结果填在答题纸上的相应位
置.）
( )
f x
( )的最大值为_______,函数 ( )
的最小
f x f x
21．已知函数
1 x x 3
= - + + ，则函数
值为________.
( )
( )
.
f t
22．关于 的方程
x
= Î 的实根个数记
g x t(t R)
( )
g x x 1
( )=____________；
= + ，则
f t
（1）若
（2）若
ì
x, x £ 0,
( )
( )
( ) ( )
g x í
=
a R f t 2 f t
Î ，存在t 使得 + > 成立，则 的取值
a
-x + 2ax + a, x > 0,
î 2
范围是_____.
23．对于区间
[ ]( )
( )同时满足：
y f x
< ，若函数 =
a,b a b
( ) [ ]
上是单调函数；
a,b
①
在
f x
( ) [ ]
[ ]
，则称区间
a,b
[ ]
为函数
( )的“保值，区间.
f x
②函数 =
y f x , x a,b
Î
的值域是
a,b
1

（1）写出函数 = 的一个“保值”区间为_____________；
y x2
( )
( )
¹ 存 在 “ 保 值 区 间 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 为
（ 2 ） 若 函 数
_____________.
= +
f x x2 m m 0
m
六、解答题（本大题共 1 小题，满分 14 分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将
答案写在答题纸上的相应位置.）
[ ]
24．已知 为实数，用 表示不超过 的最大整数.
x
x
x
( ) [ ]
（1）若函数
x
= ，求 f(1.2),f(-1.2)的值；
f x
é x + ù é xù
( )
1
( )
xÎ R ，求
( )的值域；
f x
（2）若函数 f x =
-
ê
ú ê ú
ë 2 û ë2û
( )
( ) [ ]
( )
是 函数，若函数
f x
W
（3）若存在 Î 且 Ï ，使得
m R m Z
，则称函数
f m
=
f m
( )
a
f x = x + 是W 函数，求a的取值范围.
x
1

参考答案与解析
I 卷（共 17 题，满分 100 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）
1．答案：B
解析：因为 X={-2，-1，0，1}，Y={-1，0，1，2，3}
所以 X∩Y={-1，0，1}，即选 B。
2．答案：D
x
解析： = 的定义域为{x|x≠0}，
的定义域为 R，故 A 选项错误；
y 1
=
y
x
( )
y = x
-1 2 的值域为[0，+∞）， y = x -1值域为 R，故 B 选项错误；
x2
y =
y =
与的定义域为{x|x≠0}，
定义域为 R，故 C 选项错误；
=
y x
x
x + x
3
与
的定义域和值域均为 R，故 D 选项正确。
y x
=
x +1
2
3．答案：C
1
( )
0,2
( )
在区间
0,2
解析：y = -x +1、 = - + 、y = 在区间
y x2 4x 5
是减函数，
y
=
x
x
是增函数，故选 C。
4．答案：D
解析：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，故 D 正确。
5．答案：B
解析：
6．答案：A
a b
解析：由“ > > 且 < < ”可以推出“ < ”，
a b 0 c d 0
d c
a b
但由“ < ”不能推出“ > > 且 < < ”，
a b 0 c d 0
d c
所以选 A。
1

7．答案：D
解析：图像显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，A、B、C 三个选项均不符合，
只有 D 选项符合题意。
8．答案：C
1
1
3
5
7
解析 ：M＝{ ，0， ，1， ，2， ， 3， }，共有 9 个元素，所以 M 的
2
2
2
2
2
非空真子集个数为 2 -2=510，故选 C。
9
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请把结果填在答题纸上的相应位
置.）
9．答案：{（3，-7）}
解析：解方程组得 x=3，y=-7。所以用列举法表示为{（3，-7）}。
10．答案：{-1，1}
解析：由题意得 x -x-2=0（x≤0）和 x +x-2=0（x＞0）两个一元二次方程。解方程
2
2
得 x=-1 或 1。
11．答案：30
600
x
解析：某公司一年购买某种货物 600 吨，每次都购买 x 吨，则需要购买
次，运
费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为
600
x
600
x
600
x
´ 6 ´ 4x
×6+4x≥2
×6=4x，即 x=30 时，等号成立，
=240，
当且仅当
即每次购买 30 吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
12．答案：（2，5）
解析：函数 f(x)=x -2(a-1)x+2 在区间(1,4)上不是单调函数，说明对称轴 x=a-1
2
位于区间(1,4)上，即 1＜a-1＜4，所以 2＜a＜5。
13．答案：①②③④
解析：
1

3
2
-
14．答案：[-3，
]
1
1
1
解析：当 x∈[ ，1]时，f(x)=2x -4x+1 实际上是以（ ，- ）和（1，-1）为端
2
2
2
2
3
2
-
点的一段抛物线。把两段点坐标代入 g(x)=2x+a 可得 a=--3 和 a=
。所以
3
-
a 的取值范围是[-3，
]。
2
三、解答题（本大题共 3 小题，每题 10 分，共 30 分，解答应写出文字说明过程或演算
步骤， 请将答案写在答题纸上的相应位置.）
1
15．答案：（1）A∩B={x| ≤x＜2}，A∪B={x|-2＜x≤3}．
2
1
（2）a 的取值范围为（-∞， ]
4
解析：
1
（1）∵全集是实数集 R，A={x|2x -7x+3≤0}={x|(2x-1)(x-3)≤0}={x| ≤x≤3}
2
2
当 a=4 时，B={x|x -4＜0}={x|-2＜x＜2}，
2
1
2
∴A∩B={x| ≤x＜2}，A∪B={x|-2＜x≤3}．
（2）由（C A）∩B=B 可得 B C A
R
R
1

1
∵A={x| ≤x≤3}
2
1
∴C A={x|x＜ 或 x＞3}
2
R
当 a≤0 时，B= ，满足（C A）∩B=B
R
a
a
当 a＞0 时，B={x|x -a＜0}={x|-
2
＜x＜
}，
1
a
∴0＜
≤
2
1
4
∴0＜a≤
1
综上，a 的取值范围为（-∞， ]
4
16．答案：（1）b=0，c=-1
（2）2 或 2
1 5
（3）（ ， ）
5 7
解析：（1）x ，x 是方程 f(x)=0 的两个根，
2
1
由韦达定理，得
，即
，
∴b=0，c=-1
（2）由题意得 x +2bx+b +2b+3=0
2
2
∴x +x =-2b
1
2
∴x x =b +2b+3
2
1
2
∵(x +1)(x +1)=8
1
2
∴x x +(x +x )+1=8
1
2
1
∴b +2b+3-2b+1=8
2
2
∴b =4
2
∴b=-2 或 2
（3）由题知，f(1)=1+2b+c=0，∴c=-1-2b，
记 g(x)=f(x)+x+b=x +(2b+1)x+b+c=x +(2b+1)x-b-1，
2
2
1

17．答案：（1）函数 f(x)为奇函数；
（2）函数在（0，1]上为减函数，在（1，2]上为增函数。
（3）[0，1]
1
解析：（1）∵f(-x)=-x- =-f(x)
x
∴f(x)为奇函数
（2）设 0＜x ＜x ≤2，
2
1
1
1
1
,
1
1
2
1
2
1 2
∴函数在（1，2]上为增函数．
（3）[0，1]
II 卷 （共 7 道题，满分 50 分）
四、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）
18．答案：C
解析：当 x=1 时，g[f(1)]=g[2]=2=1+1
∴x=1 是方程的解
当 x=2 时，g[f(2)]=g[1]=3=2+1
∴x=2 是方程的解
1

当 x=3 时，g[f(3)]=g[3]=1≠3+1
∴x=3 不是方程的解
19．答案：D
解析：根据偶函数关于 y 轴对称，所以函数 f(x)在（0，4）上是减函数。
∵f(a)＜f(3)
∴当 a 在（0，4）上时，3＜a＜4
∵函数 f(x)在（-4，0）上是增函数
∴当 a 在（-4，0）上时，-4＜a＜-3
( ) ( )
∴a 的取值范围是 - - È
4, 3
3,4
20．答案：A
解析：由函数解析式得：f(1)=6-2a
f(3)=14-6a
∵函数在[1，3]上有零点
∴f(1)f(3)＜0
∴(6-2a)(14-6a)＜0
7
∴(a- )(a-3)＜0
3
7
∴ ＜a＜3
3
五、填空题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.请把结果填在答题纸上的相应位
置.）
2
21．答案：2 ，2
4 - 2( + 1)
1 -
+ 3
x
x
2
x
解析：[f(x)] =(
2
+
) =4+2
2
2
当 x=-1 时，[f(x)] 取最大值 8，所以 f(x) =2
2
max
当 x=1 时，[f(x)] 取最小值 4，所以 f(x) =2
2
min
22．答案：（1）1
（2）（1，+∞）
解析：（1）若 g（x）=x+1，则函数的值域为 R，且函数为单调函数，故方程 g（x）
=t 有且只有一个根，故 f（t）=1，
ì
x, x £ 0,
-x + 2ax + a, x > 0,
( )
( )
aÎR
g x = í
（2）
î 2
当 t≤0 时，f（t）=1 恒成立，
1

若存在 t 使得 f（t+2）＞f（t）成立，
则 x＞0 时，函数的最大值大于 2，且函数的对称轴在 y 轴右侧，
a
a
- 4 - 4 2
即 a＞0，且
解得 a＞1，
＞0，
- 4
所以 a 的取值范围是（1，+∞）。
3
1
）∪（0， ）
-
23．答案：[0，1]，[-1，
解析：
4
4
六、解答题（本大题共 1 小题，满分 14 分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将
答案写在答题纸上的相应位置.）
24．答案：（1）1，2
（2）{0，1}
（3）a＞0 且 k∈N ，a≠k2 且 a≠k（k+1）．
+
1

解析：（1）f(1.2)=1,
f(-1.2)=-2
x
x
]=[ ]或[
x
x
]=[ ]+1
2
+ 1
+ 1
（2）因为[
2
2
2
é x + ù é xù
( )
1
( )
xÎ R 的值域为{0，1}
若函数 f x =
-
所以
ê
ú ê ú
ë 2 û ë2û
a
（3）当函数 f（x）=x+ 是 Ω 函数时，
x
若 a=0，则 f（x）=x 显然不是 Ω 函数，矛盾．
a
若 a＜0，则 f′（x）=1﹣ ＞0，
x
2
所以 f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，
此时不存在 m＜0，使得 f（m）=f（[m]），
同理不存在 m＞0，使得 f（m）=f（[m]），
又注意到 m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m 的情形，
a
所以此时 f（x）=x+ 不是 Ω 函数．
x
a
a
当 a＞0 时，设 f（m）=f（[m]），所以 m+ =[m]+[ ]，所以有 a=m[m]，其中
p
p
[m]≠0，
当 m＞0 时，
因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m] ＜m[m]＜（[m]+1）[m]，
2
所以[m] ＜a＜（[m]+1）[m]，
2
当 m＜0 时，[m]＜0，
1

因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m] ＞m[m]＞（[m]+1）[m]，
2
所以[m] ＞a＞（[m]+1）[m]，
2
记 k=[m]，综上，我们可以得到
a＞0 且 k∈N ，a≠k 且 a≠k（k+1）．
2
•
1

解析：（1）f(1.2)=1,
f(-1.2)=-2
x
x
]=[ ]或[
x
x
]=[ ]+1
2
+ 1
+ 1
（2）因为[
2
2
2
é x + ù é xù
( )
1
( )
xÎ R 的值域为{0，1}
若函数 f x =
-
所以
ê
ú ê ú
ë 2 û ë2û
a
（3）当函数 f（x）=x+ 是 Ω 函数时，
x
若 a=0，则 f（x）=x 显然不是 Ω 函数，矛盾．
a
若 a＜0，则 f′（x）=1﹣ ＞0，
x
2
所以 f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，
此时不存在 m＜0，使得 f（m）=f（[m]），
同理不存在 m＞0，使得 f（m）=f（[m]），
又注意到 m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m 的情形，
a
所以此时 f（x）=x+ 不是 Ω 函数．
x
a
a
当 a＞0 时，设 f（m）=f（[m]），所以 m+ =[m]+[ ]，所以有 a=m[m]，其中
p
p
[m]≠0，
当 m＞0 时，
因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m] ＜m[m]＜（[m]+1）[m]，
2
所以[m] ＜a＜（[m]+1）[m]，
2
当 m＜0 时，[m]＜0，
1

因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m] ＞m[m]＞（[m]+1）[m]，
2
所以[m] ＞a＞（[m]+1）[m]，
2
记 k=[m]，综上，我们可以得到
a＞0 且 k∈N ，a≠k 且 a≠k（k+1）．
2
•
1