北师大九年级数学二次函数知识点归纳总结.docx

二 次 函 数 知 识 点 归 纳
1.定义：一般地，如果 y = ax + bx + c(a,b,c 是常数， a ¹ 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函
2
数.
2.二次函数 y = ax 的性质
2
（1）抛物线 =
y
的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
y ax2
（2）函数 =
a
的图像与 的符号关系.
y ax2
①当 > 0 时 Û 抛物线开口向上 Û 顶点为其最低点；
a
②当 < 0时 Û 抛物线开口向下 Û 顶点为其最高点.
a
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 = （ ¹
0）.
y ax2
a
3.二次函数 y = ax + bx + c 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.
2
y
( )
= a x - h + k
2
4.二次函数 y = ax + bx + c 用配方法可化成：
的形式，其中
2
y
b
h = - ，k =
2a
4ac - b2
4a
.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y = ax ；② y = ax + k ；
2
2
( )
( )
2
③ y = a x - h ；④ y = a x - h + k ；⑤ = + + .
y ax2 bx c
2
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当 > 0 时，开口向上；当 < 0时，开口向
a
a
下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x = h .特别地， y 轴记作直线 x = 0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线
的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
4ac - b2
b 4ac - b
，∴顶点是（- ，
2a
2
æ
ö
÷
ø
2
b
（1）公式法： =
y ax
+ + =
+
+
），
bx c aç x
2
2a
4a
4a
è
b
对称轴是直线 = - .
x
2a
( )
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y = a x - h 2 + k 的形式，得
到顶点为( , )，对称轴是直线 = .
h k x h
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴
的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线 y = ax + bx + c 中， , , 的作用
a b c
2
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与 y = ax 中的a 完全一样.
2
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = ax + bx + c 的对称轴是直
2
线
b
b
x = - ，故：①b = 0时，对称轴为 y 轴；② > 0 （即 、 同号）时，对称
a b
2a
a
b
轴在 y 轴左侧；③ < 0（即a 、 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.
b
a
（3）c 的大小决定抛物线 y = ax + bx + c 与 轴交点的位置.
2
y
当 x = 0时， y = c ，∴抛物线 y = ax + bx + c 与 轴有且只有一个交点（0，
2
y
c ）：
①c = 0 ，抛物线经过原点; ②c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③c < 0 ,与 y 轴交于
负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则
b
< 0.
a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴
a
x
x
k
a
2
( - ，
)
2a
4a
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： y = ax + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.
2
( )
（2）顶点式： y = a x - h 2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 、 x ，通常选用交点式：
1
2
( )( )
y = a x - x x - x .
1
2
12.直线与抛物线的交点
（1） y 轴与抛物线 y = ax + bx + c 得交点为(0, ).
2
c
（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax + bx + c 有且只有一个交点
2
( h , ah + bh + c ).
2
（3）抛物线与 x 轴的交点
二次函数 y = ax + bx + c 的图像与 轴的两个交点的横坐标 x 、 x ，是对应一
2
x
1
2
元二次方程
bx c
+ + = 0的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应
ax
2
x
的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 Û D > 0 Û 抛物线与 x 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） Û D = 0 Û 抛物线与 x 轴相切；
x
③没有交点 Û D < 0 Û 抛物线与 x 轴相离.

（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的
纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 ax2 + bx + c = k 的两个实数根.
k
( )
( )
（5）一次函数 = +
y kx n k
¹ 0 的图像l 与二次函数 y = ax + bx + c a ¹ 0 的图像G 的
2
y = kx + n
交点，由方程组
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的
y = ax + bx + c
解时 Û l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 Û l 与G 只有一个交点；③
方程组无解时 Û l 与 没有交点.
2
G
（6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax + bx + c 与 轴两交点为
2
x
( ) ( )
A x ，0 ，B x ，0 ，由于 x 、 x 是方程ax2 + bx + c = 0的两个根，故
1
2
1
2

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴
a
x
x
k
a
2
( - ，
)
2a
4a
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： y = ax + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.
2
( )
（2）顶点式： y = a x - h 2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 、 x ，通常选用交点式：
1
2
( )( )
y = a x - x x - x .
1
2
12.直线与抛物线的交点
（1） y 轴与抛物线 y = ax + bx + c 得交点为(0, ).
2
c
（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax + bx + c 有且只有一个交点
2
( h , ah + bh + c ).
2
（3）抛物线与 x 轴的交点
二次函数 y = ax + bx + c 的图像与 轴的两个交点的横坐标 x 、 x ，是对应一
2
x
1
2
元二次方程
bx c
+ + = 0的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应
ax
2
x
的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 Û D > 0 Û 抛物线与 x 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） Û D = 0 Û 抛物线与 x 轴相切；
x
③没有交点 Û D < 0 Û 抛物线与 x 轴相离.

（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的
纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 ax2 + bx + c = k 的两个实数根.
k
( )
( )
（5）一次函数 = +
y kx n k
¹ 0 的图像l 与二次函数 y = ax + bx + c a ¹ 0 的图像G 的
2
y = kx + n
交点，由方程组
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的
y = ax + bx + c
解时 Û l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 Û l 与G 只有一个交点；③
方程组无解时 Û l 与 没有交点.
2
G
（6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax + bx + c 与 轴两交点为
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x
( ) ( )
A x ，0 ，B x ，0 ，由于 x 、 x 是方程ax2 + bx + c = 0的两个根，故
1
2
1
2

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴
a
x
x
k
a
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( - ，
)
2a
4a
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： y = ax + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.
2
( )
（2）顶点式： y = a x - h 2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 、 x ，通常选用交点式：
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2
( )( )
y = a x - x x - x .
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12.直线与抛物线的交点
（1） y 轴与抛物线 y = ax + bx + c 得交点为(0, ).
2
c
（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax + bx + c 有且只有一个交点
2
( h , ah + bh + c ).
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（3）抛物线与 x 轴的交点
二次函数 y = ax + bx + c 的图像与 轴的两个交点的横坐标 x 、 x ，是对应一
2
x
1
2
元二次方程
bx c
+ + = 0的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应
ax
2
x
的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 Û D > 0 Û 抛物线与 x 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） Û D = 0 Û 抛物线与 x 轴相切；
x
③没有交点 Û D < 0 Û 抛物线与 x 轴相离.

（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的
纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 ax2 + bx + c = k 的两个实数根.
k
( )
( )
（5）一次函数 = +
y kx n k
¹ 0 的图像l 与二次函数 y = ax + bx + c a ¹ 0 的图像G 的
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y = kx + n
交点，由方程组
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的
y = ax + bx + c
解时 Û l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 Û l 与G 只有一个交点；③
方程组无解时 Û l 与 没有交点.
2
G
（6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax + bx + c 与 轴两交点为
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x
( ) ( )
A x ，0 ，B x ，0 ，由于 x 、 x 是方程ax2 + bx + c = 0的两个根，故
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2
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