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《等比数列》检测卷
（原创稿，有备用题，所有题目均有详细解答，根据需要，敬请删减与正）
湖南省衡阳市祁东县育贤中学 高明生 （421600）
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个
分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个
2.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对于任意自然数n，都有an+1＞an”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3设{an}为等比数列，Sn=a1+…an,则在数列{Sn} 中（ ）
（A）任何一项均不为零 （B）必有一项为零
（C）至多有一项为零 （D）或有一项为零，或有无穷多项为零
4．在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2,则a100的值为（ ）
（A）2100-2 （B）2101-2 （C）2101 （D）215
5.已知数列{an}满足an+2=－an（n∈N*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为
A.0 B.－3 C.3 D.1
6．设，则等于（D）
（A） （B）
（C） （D）
7.（备用题）设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于
A.210 B.220 C.216 D.215
8. （备用题）银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于
A. B.［（1+r）3－1］
C.（1+r）3－1 D.r
9．在由正数组成的等比数列{}中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8
+log3a9的值为（ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
10.在等比数列{an}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值是（ ）
A. B. C. D.
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项的倒数之和为Tn,则的值为（）
（A）a1an （B） （C）a1nann （D）()n
12．某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是
A. B. C. D.
13．若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则=（ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
14．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
15.（备用题）某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（材 ）
A.5 B.10 C.14 D.15

16. （备用题）已知an=logn+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算a1·a2=log23·log34=·=2，
a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log67·log78=··…··=3.
……
定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k（k∈N*）叫做企盼数.试确定当a1·a2·a3·…·ak=2008时，企盼数k=（ ）
A．22008－2 B。22008－1 C。22008 D。22008+2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题线上部　对应题号的横线上.
17．设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q=_____.
18.定义一种运算“*”对于任意非零自然数n满足以下运算性质：
（1）1*1=1；
（2）（n+1）*1=3（n*1）.
则n*1关于n的代数式为_____.
19．若数列{an}为等比数列，其中a3,a9是方程3x2+kx+7=0的两根，且(a3+a9)2=3a5a7+2,则实数k=
20．已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，则an=_____.
21．（备用题）设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12－nan2+an+1an=0（n∈N*），则它的通项公式an=___________________.
22．（备用题）在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式 成立.
23．已知等比数列{an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=___________________.
24．若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=___________.
25．在等差数列{an}中，当ar=as（r≠s）时，数列{an}必定是常数列，然而在等比数列{an}中，对某些正整数r、s（r≠s），当ar=as时，非常数列{an}的一个例子是___________________.
26．一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，则等比数列的第7项为___________________.
27．（备用题）已知等比数列{an}，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，则此数列的通项公式为___________________.
28．（备用题）已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列：a，a，…，a，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，则k1＋k2＋k3＋…＋kn为___________________.
三．解答题：本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后一题14分，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
29．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数
30． 数列{an}中，a1=1，an=an－1+1（n≥2），求通项公式an.
31．已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
32．设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前项中数值最大的项为54，求此数列
33．（备用题） 在和之间插入n个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积；
34．（备用题）已知数列是等比数列，是其前n项的和，求证,－,－成等比数列.
35．设数列为求此数列前项的和
36．是等比数列，是其前n项和，数列 （）是否仍成等比数列？
37．从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，
问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？
2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
38．已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0),
若＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1),
(1) 求数列{}, {}的通项公式；
(2) 设数列{}对任意的自然数n均有
成立，求＋＋＋……＋的值
39．（备用题）设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q

《等比数列》检测卷
（参考答案）
一．选择题：
1．答案：B；
解：由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为2的等比数列，所以a10＝a1q9=29=512.
2．答案：D；
解：当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.
3．答案：D；
解：若q=1,Sn=na10 若q=-1,Sn=当n为偶数时，Sn=0
4．答案：B；
解：an+1+2=2(an+1) , ∴
∴{an+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴ an+2=4·2n-1=2n+1 ∴an=2n+1-2
5．答案：C；
解：由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=－a1=－1，a4=－a2=－2，a5=－a3=1，a6=
－a4=2，…，a2001=－a1999=1，a2002=－a2000=2，a1+a2+a3+a4=0.
∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.
6．答案：D；
解：依题意，为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D
7．答案：B；
解：由等比数列的定义，a1·a2·a3=（）3，故a1·a2·a3·…·a30=（）3.又q=2，故a3·a6·a9·…·a30=220.
8．答案：B；
解：由题意得（1+r）3＜1+3q，故q＞［（1+r）3－1］.
9．答案：A；
解：a4 a5 a6==4, ∴a5=
log3a1+log3a2+log3a8+log3a9=log3(a1a2a8a9)=log3a45=4log33=
10．答案：C；
解：由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得选项为C.
11．答案：A；
解：a1an=a2an-1=a3an-2=…=ana1
∴
12．答案：C；
解：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）－x；
二次砍伐后木材存量为［S（1+25%）－x］（1+25%）－x.
由题意知（）2S－x－x=S（1+50%），
解得x=.
13．答案：D；
解：依题意有
14．答案：C；
解：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，
则
即，所以。
15．答案：C；
解：由题意列式（1－20%）n＜5%，两边取对数得n＞≈13.4.故n≥14.
16．答案：A；
解：由a1·a2·…·ak=···…·==log2（k+2）=2008，解之得k=22008－2.
二．填空题：
17.答案：1；
解：方法一：∵Sn－Sn－1＝an，又∵Sn为等差数列，∴an为定值．
∴an为常数列，q＝＝1
方法二：an为等比数列，设an＝a1qn－1，且Sn为等差数列，
∴2S2＝S1＋S3，2a1q＋2a1＝2a1＋a1＋a1q＋a1q2，q2－q＝0，q＝0（舍）q=1.
18．答案：n*1=3n－1；
解：“n*1”是一个整体，联想数列通项形式，设n*1=an，则a1=1，an+1=3an，
得an=3n－1，即n*1=3n－1.
19．答案：9；
解： a3+a9=-a3a9=a5a7=-∴ (-)2=3×+2 k=9
20．答案：an=2n－1或an=23－n；
解：设{an}的公比为q，由题意知

解得或∴an=2n－1或an=23－n.
21．答案：；
解：分解因式可得［（n+1）an+1－nan］·［an+1+an］=0，又an＞0，则（n+1）an+1－nan=0，即=.又a1=1，由累积法可得an=.
22.答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；
解：在等差数列｛an｝中，由a10＝0，得
a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n．
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n．
相应地等比数列｛bn｝中，则可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）
23．答案：3·2n－3；
解：由已知得q7==128=27，故q=2.∴an=a3·qn－3=3·2n－3.
24．答案：（1，）（a1＞0，0＜q＜1的一组数）；
解：由题意知＜且|q|＜1对n∈N都成立，∴a1＞0，0＜q＜1.
25．答案：a，－a，a，－a…（a≠0）；
解：只需选取首项不为0，公比为－1的等比数列即可.
26．答案：27；
解：设等差数列为｛an｝，公差为d，等比数列为｛bn｝,公比为q.
由已知得：a=b=1,
又b＝ａ，∴ｑ＝81，∴ｑ＝３，
∴b＝ｂｑ＝27，即等比数列的第7项为27．
27．答案：3(-2)n-1 ；
解：
解得a1=3 ∴an=a1qn-1=3(-2)n-1
28．答案：3n－n－1 ；
解：设｛an｝的首项为a1，∵a、a、a成等比数列，∴（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d）.
得a1＝2d，q＝＝3.
∵a＝a1＋（kn－1）d，又a＝a1·3n－1，
∴kn＝2·3n－1－1.
∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3n－1）－n
＝2×－n＝3n－n－1.
三．解答题：
29． 解：设四个数依次为a, b, 12－b, 16－a, 则, 解得或, ∴ 这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.
30．解：由an=an－1+1，得an－2=（an－1－2）.
令bn=an－2，则bn－1=an－1－2，
∴有bn=bn－1.
∴bn=bn－1=·bn－2
=··bn－3
=…=b1=（）n－1·b1.
∵a1=1，∴b1=a1－2=－1.
∴bn=－（）n－1.∴an=2－.
31．证：（1）（常数）∴该数列成等比数列
（2），即：
（3），∵，∴
∴且，
∴，（第项）
32． 解：由题意
代入（1）， ，得：，从而，
∴递增，∴前项中数值最大的项应为第项
∴
∴，
∴，
∴此数列为
33。解法1：设插入的n个数为，且公比为q
则
解法2：设插入的n个数为，

34．解：（1）①当q=1时，=7,=14,
－=14－7=7,－=21－14a1=7
∴,－,－为以7为首项，1为公比的等比数列.
②当q≠1时，=

∴=
∴,－,－成等比数列.
［这一过程也可如下证明：
－=－
===
同理，－==
∴,－,－为等比数列.
35． 解：（用错项相消法）
①
②
①-②，
当时，

当时，
36． 解：设首项是，公比为q,
①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.
∵此时， =0.
例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2=0,
②当q≠－1或k为奇数时，
＝
＝
＝
（）成等比数列
37．解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{}，则：
a= 0.2 kg , a=×0.2 kg , a= ()×0.2 kg
由此可见：= ()×0.2 kg ,
= ()×0.2= ()×0.2=0.0125 kg
2.由1.得{}是等比数列 a=0.2 , q=

38． 解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d＋1)＝d,
∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d,
解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),
又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q＋1)＝q, ＝q,
∴ ＝q,
∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3
(2) 设＝(n∈N), 数列{}的前n项和为,
则＝＝2n, ＝＝2(n－1),
∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3
∴＋＋＋……＋
＝2＋2·3＋……＋2·3＝＝,
39．解：设等比数列｛an｝的前n项和为Sn
依题意设：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560
∵S2n≠2Sn , ∴q≠1
从而 =80 且=6560
两式相除得1+qn=82 ，即qn=81
∴a1=q-1＞0 即q＞1,从而等比数列｛an｝为递增数列，故前n项中数值最大的项为第n项
∴a1qn-1=54,从而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54
∴qn-1=81-54=27
∴q==3
∴a1=q-1=2
故此数列的首为2，公比为3

作者:湖南省衡阳市祁东县育贤中学  高明生老师
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