高考数学大一轮总复习课件 课后作业51-60.pdf

课后作业（五十一）直线与椭圆的位置关系基础巩固练2 21.直线y=x+2与椭圆5+(=1有两个公共点，则机的取值范围是(B)III/A.(1,+8)B.(1,3)U(3,+8)C.(3,+8)d.(0,3)U(3,+8)=x+2,【解析】由0且m不3及m0得ml十 Q=1,Im 3且 m#3.k,2椭圆4f+9y2=144内有一点P3,2）,则以尸为中点的弦所在直线的斜率为（-I B.-1 C.V D.A）【解析】设以点尸为中点的弦所在直线与椭圆交于点a3,%），B（m，刃），斜率为贝14宕+9f=144,4q+9贤=144,两式相减得4（%1+%2）（片一X2）+9（y 1+为）（刃一力）=0，又修+%2=6,6-4 X4-9-=左乃+为=4,左=,期一22：一3，故选A.2 23.过椭圆事+：=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,5两点，。为坐标原点，则。43的面积为（B）4 4 55 10A-3 BQ C.D.y【解析】由题知椭圆的右焦点为（1,0）,则直线方程为y=2（xl）,代入椭圆左+2 51=1 化间可得 5x=0?设 A（%i，丁1），5（%2，竺），则芍+%2=*%1%2=0?/.AB =y 1+22y+必）2 4苞12。到直线的距离d=10021 21 1 5 2 5AOAB 的面积 S=5AB|.d=义小Xw 1圆的左焦点时，也可得。4。8=一,故选B.5.（2021.贵阳诊断）已知椭圆：事+3=1的一个顶点。（0,-2）,直线/与椭圆E交于A,5两点，若E的左焦点吊为A5C的重心，则直线/的方程为（B）A.6x5y14=0 B.6x5j+14=0C.6x+5j+14=0 D.6x+5j-14=0【解析】由题意知尸1（1,0）,设 A（%1，%），8（%2,丁2），则修+%2+。=3,为+为一2=0,所以%i+q=-3,八凹+=2.（3设为A3的中点，则,一,1.)作差得区二喈十心手垃=o,将代入上式得u即V，由点6(3)斜式，得直线方程为y1=%+,即6x5y+14=0.故选B.6.已知椭圆C：，+卓=1(。泌 0)及点3(0,)，过点B与椭圆相切的直线交工轴的 负半轴于点A,方为椭圆的右焦点，贝尸=(B)A.60 B.90 C.120 D.150【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y=丘+(*0),与椭圆方程联立1+芷_ 消去V整理得(/?2+42炉)%2+233工+4。2/=0,由/=(233)2 4(/?2+/左2)(/_ 2。2)-0,C C(CI 得上=)从而y=#+交x轴于点A 一二，0,c i a I c,又尸(c,0)，易知b=0,故NABb=90。.故选B.7.（2022.河北名校联盟一模）已知椭圆C，+方=1（泌0）的右焦点为R短轴的一 个端点为P,直线/：4%3y=0与椭圆C相交于A,B两点，若|凶尸|十|5尸|=6,点尸到直 线/的距离不小于%则椭圆。的离心率的取值范围是（C）5 一9113 o O A CB D【解析】设尸 为椭圆。的左焦点，连接”,B P,贝U四边形”5尸 是平行 四边形，所以6=|A尸|+|BF|=|A尸|+|AF|=2m求得，=3.取P(0,b),因为点P到直线/：4x-3y=0的距离不小于今所以解得 后2,所以cW54=小,则0七兴，十 9。a 5所以椭圆C的离心率的取值范围是。，.故选C.8.已知尸4一1,0）,6（1,。）是椭圆。的两个焦点，过尸2且垂直于1轴的直线与椭圆,2 2交于A,B两点，且|4司=3,则。的方程为 4十3T【解析】设椭圆。的方程为5+=1（力0）,则c=l.因为过尸2且垂直于无轴的直线与椭圆交于A,5两点，且|AB|=3,所以3=4，b2=a2c2,所以2=4,2 2=4-1=3,椭圆的方程为全+1=L2 29.已知椭圆?+%=13比0）的左右顶点分别为A,B,上顶点为C,若AAB。是底角为30。的等腰三角形，则沪也【解析】由题意知NCA5=30。,*.t an30=c,%I?一/f y210.(2021 浙江卷)已知椭圆7+力=1(。泌0),焦点为(一c,0)，F2(c,0)(00).若过入(1)的直线和圆%呼+y2=02相切，与椭圆的第一象限交于点p,且轴，则该直线的斜率是$,椭圆的率心率是 5(1 A 1【解析】如图，设圆x呼的圆心为A,则aQc,oj,所以|QA|=+c3=于.设过点尸i且斜率为正的直线与圆A切于点5,连接A3,则|A5|=c,所以在Rt ZkQA3_ 后中，I尸归|=4ea一|45|2=看0.所以直线 F B 的斜率/:=t anzj BFiA=17r|=勺.仍出 a/5 32 2 2/2设P（c，J1）（J1O）.由点尸在椭圆上，得%十8=1,所以刃=7（负值已舍去），所以F&I避2 Q=）.易得耳钻s尸心，所以朗=牒j,即/=，所以4C=小/，即4c=*（/，），所以4/+4e小=0,解得e=5%负值已舍去）.n.(2021.天津卷)已知椭圆C：3+=l(ab0)的离心率为苧，上顶点为5,右焦 点为 R B F=yj5.(1)求椭圆。的方程.(2)若直线/与椭圆。有唯一的公共点/与y轴的正半轴相交于点N,过N作8F 的垂线交工轴于点尸.若尸，求直线/的方程.【解】由题意可知，|5尸|=产?=小，离心率=sv-t,J_ 2所以c=2,6=寸5-4=1,所以椭圆C的标准方程为；+y2=i.(2)由题意可设直线/的方程为丁=丘+外Ly=kx-n,联立0恒成立，贝U/=100炉220(5炉+1)(2 D=0,整理得=小后不1设切点加(刘，地)，5kn n则劭二一元TP先=&)+二次不p1 又 PN-LFB9 kpB=2,所以 kpN=2,所以 P/，。.2又因为M尸所以勖尸=%0 _ nr%（）一-）1Tn 八r r-0即一77-=J,整理得左=1,即直线/的斜率为LD KTI,n/5d+1+，所以 y=kx+n=kx+l5/+T=x+,即直线/的方程为y=x+&-12.已知椭圆c 的焦点为尸1，尸2,p是椭圆。上一点，若夕为，尸尸2，|尸13|=24，0尸13的面积为1.(1)求椭圆。的方程；(2)如果椭圆。上总存在关于直线y=%+相对称的两点A,B,求实数机的取值范围.【解】设|尸尸1|=加，|尸尸2尸.V PF1PF2,1尸画=2小,PAB的面积为1，二疗+/=(2小;mrn=2a9 n=1,解得=2,又0,解得a/5m5.设A（x”刃），B 3,竺），则._8n.2nX 1%2-5，为十2（修 Q）2 一 5.、线段AB的中点学,在直线尸x+加上,*5=-5+m，解得=（加.代入一小小，可得一小一当小,解得加.实数机的取值范围是乎，咱.能力提升练 2 213.（多选）已知椭圆彳十三=1的左、右焦点分别为尸1，&,过尸1的直线/i与过&的 直线，2交于点，设M的坐标为（沏，儿），若/1，小 则下列结论正确的有（ACD）A.+fl B+事 1C.j+l2 2【解析】由椭圆j+g=l，可得=2,b=小,c=l.左、右焦点分别为尸1（1,。），尸2（1,。），设 A（0,小），贝I t anNABb2=小，可得NAW2=$/耳4尸2昔 A _L直线h与直线h的交点M在椭圆的内部.L A正确；B不正确;2 2直线彳+g=i与椭圆i+=i联立,可得 7y224y+27=0 无解，2 2因此直线j+；=l与椭圆j+；=l无交点 而点M在椭圆的内部，在直线的左下方,满足全十*0)的右焦点(1,0),交椭圆。于点A,B,点方为椭圆。的左焦点，AABb的周长为8.(1)求椭圆。的标准方程；(2)若直线m与直线I的倾斜角互补，且交椭圆C于点M,N,MN=4 AB 9求证:直线m与直线I的交点尸在定直线上.乙 fc=L c=l,【解】由已知，得/Q I.0 4=8,a=2,/=3,2 2椭圆。的标准方程为j+W=i.（2）证明：若直线/的斜率不存在，则直线口的斜率也不存在，这与直线机与直线/相交于点P矛盾，直线/的斜率存在.设/：=%（%1）（左W0）,m：y=一A（m，），BQb，切），M（xm y”），N（Xn，）.将直线m的方程代入椭圆方程得，（3+4炉）f+8炉h+4（炉/一3）=0,._ 8后 十孙一一3+4124（后2 3）Xm*n=3+4炉|ma2=（i+2）-16（12F 3 32+9）（3+4炉）2 山 ri 4a/9+9 12（1+后）同理，AB =yTk-3+4斤=3+4 由|MN|2=4|43|得 r=0,此时，/=64居216（3+4的（后23）o,直线 m：y=kx,即点。在定直线x=上.高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作课后作业（五十二）双曲线基础巩固练1.(2022.广东省汕头市金山中学模拟)已知M(3,0),N(3,0),PM-PN =6,则动点 P的轨迹是(A)A.一条射线 B.双曲线右支C.双曲线 D.双曲线左支【解析】因为1PM|卯=6=|皿，故动点P的轨迹是一条射线，其方程为y=0,%三3,故选A.2.（2019北京卷）已知双曲线一丁=1（0）的离心率是小，则=（D）A.6 B.41C.2 D 52 2 I 1【解析】由双曲线方程可得。2=/+1,则/=5=匕厂=5,解得.又因为0,/Or 0s所以=；,故选D.3.（2022.北京朝阳区模拟）已知双曲线C，一讯=1（0）的一条渐近线方程为4x+3y=0,尸1，尸2分别是双曲线。的左、右焦点，点尸在双曲线。上，且1尸尸il=7,则|尸尸2尸（B）A.1 B.13C.17 D.1 或 13【解析】由题意知双曲线，一=1（。0）的一条渐近线方程为4%+3y=0,可得（=4 I-y解得。=3,所以不V=5.又由b2分别是双曲线。的左、右焦点，点尸在 双曲线上，且|尸居|=7,可得点尸在双曲线的左支上，所以|尸周一1尸居1=6,可得|P尸21=13.故选B.2 24.(2021.广东佛山质量检测)已知双曲线C一我=1,。为坐标原点，直线与 双曲线。的两条渐近线交于A,5两点，若043是边长为2的等边三角形，则双曲线。的方程为(A)2 2A.yj2=l B.x21 3,52 2 2 2r=：1 P)i12 4 4 122 2【解析】双曲线C：:一，=1的渐近线方程为bxay=o和bxray=0,则x=a与双曲线。的两条渐近线交于A(m b),B(a,一力，由045是边长为2的等边三角形，丫2有2b=2,即b=l,且，=修乂2=小，可得双曲线的方程为方寸=1.故选A.2 25.（2021.陕西省部分学校摸底检测）设双曲线：一1=1的左、右焦点分别为为，尸2,过尸1的直线/交双曲线左支于A,3两点，贝皿尸2|+1皮引的最小值为（C）A.13 B.12C.11 D.10【解析】由题意得双曲线的实半轴长，=2,虚半轴长b=g.根据双曲线的定义得 IA&ITA尸|=2=4，出尸,一出尸1|=2=4，+得|Ab2|+逐尸21TA尸11+出厂11+8 2b2=|4?|+8.又以用加=二=3,所以HBI+山方引的最小值为11，故选C.6.（2020.全国卷I）设尸i，尸2是双曲线。：W看=1的两个焦点，。为坐标原点，点 尸在。上且|。|=2,则尸尸的面积为（B）7A.5 B.3C.I D.2【解析】由题意知=1,b=,：.c=2,又|OP|=2,。/匹为直角三角形，易知|Pbi|一用1=2,.|PB|2+|PB一2|PriHPM=4,又|十尸尸2|2=尸1尸2|2=402=16,164 1,_1PBUP&I=6,JSpfF?一5尸碎尸尸2尸3.故选B.7.(多选)已知尸1，尸2分别是双曲线c 丁f=i的上、下焦点，点尸是其一条渐近 线上一点，且以线段尸为直径的圆经过点P,贝U(ACD)A.双曲线C的渐近线方程为=%B.以尸为直径的圆的方程为f+y2=iC.点P的横坐标为1D.尸尸1尸2的面积为g【解析】等轴双曲线C Jf=i的渐近线方程为y=x,故A正确；由双曲线的方程可知尸2尸2也，所以以吊B为直径的圆的方程为d+y2=2,故5错误；点户（刘，泗）在圆产十y2=2上，不妨设点尸（如 加在直线y=x上，所以由2解得岛|=1,J。一 M则点P的横坐标为1,故C正确；由上述分析可得APb正2的面积为：X2g x i=g，故D正确.故选ACD.8.(2020.北京卷)已知双曲线C：亮一1=1，则C的右焦点的坐标为(3，。)：C的焦点到其渐近线的距离是小.2 2【解析】由双曲线的方程(=1,得2=6,=3,故，=9,o 3C的右焦点的坐标为(3,0),易知渐近线方程为 尸土木x,3啦双曲线的右焦点(3,0)到一条渐近线多一尸0的距离d=；=5.9.（2021.全国乙卷）已知双曲线C%，=1（心0）的一条渐近线为5工+校产0,则。til/的焦距为4.【解析】易得双曲线C的渐近线方程为y=：x,又知C的一条渐近线方程为y7m=-x,则胃=+，解得小=3.故。的方程为:一/=1.所以。的焦距为4.10.(2021 重庆H 中线上测试)已知尸1，&是双曲线c/一丁=1(0)的两个焦点,过点B且垂直于轴的直线与双曲线C相交于A,5两点.若H为=啦，则AAB尸2的内切圆的半径为二_.【解析】由双曲线的方程可设左焦点尸1（一。,0）,由题意可得|A司=乎=也.由b=l,丫2可得a=G，所以双曲线的方程为5=1,所以尸1（一小，0）,尸2（小，0）,1 1所以 SAB F2=.|A卦用=*也*25=m.AB F?的周 长为。=|A引 十|AF2|+B F2=AB +（2a+IAFJ）+（2a+|BFi|）=4a+2 AB =42+22=62.i i设ABF2内切圆的半径为r,所以5海13/2=5。=3乂 64力=3y，所以3/2r=/6?解得r=心3,ii.中心在原点，焦点在1轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点尸1,3,且椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3：7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若月为这两曲线的一个交点，求c os/b/B的值.2 2 2 2【解】由题知。=4瓦 设椭圆方程为1(0),双曲线方程为占一%=a-m=4?l(m0,n0),贝lj解得=7,加=3.则 b=6,n=2.故椭圆方程为力+上=1,双曲线方程为(2)不妨设尸1，尸2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，尸是第一象限的交点，贝1尸尸i十|尸产21=14,|尸尸11 一|尸尸2尸6,所以|尸尸|=10,|PF2|=4.又内尸2尸2回，所以 cosZFxPF2=尸1|2+尸2一/内2|尸尸ill尸尸2I102+42-(2/13)2 42X10X4 5.X v12.（2022河北张家口一模）已知双曲线C 7一力=1（0,岳0）上一动点尸，左、右3 PM焦点分别为尸1，&,且&（2,。），定直线/：x=5,尸点M在直线/上，且满足第=一 一 1 I j 21也2（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线/0的斜率左=1，且4）过双曲线右焦点与双曲线右支交于A,B两点,求A3R 的外接圆方程.【解】(1)由题意知隔=，设点Py),则,2厂:与 rM J J 3x-2A(嗡 r2 r2(x2)2+y2=x5 2,即i+y2=则双曲线。的标准方程为了一y2=i.(2)由题意,知直线M：y=x-29设A,为),3a2,.)，j=x-2,联立直线与双曲线的方程，得f 整理得2d12x+15=0,=1，%i%2=2 ffi?%+乃=%i+初一4=2,整理可得故%1+%2=6,A3中点为(3,1),而443尸1外接圆圆心在A3的垂直平分线。上，则人j=-x+4.又由焦点弦长公式，可知|A3|=g|x i一对=/。5+土)2一仇必=2小.设圆心为(沏，知)，且满足yo=沏+4,(%o3)2+(yo-l)2-H(/3)2=(Xo+2)2+yo1%o=g，解得31先=9.A防的外接圆半径R=aJ(|+2)+2=a/W,故外接圆方程为iK_31 625引=行能力提升练2 213.(多选X2022.青岛市高中教学质量检测)已知椭圆G：十丁=1过双曲线g：力一2%=1(00)的焦点，G的焦点恰为G的顶点，G与G的交点按逆时针方向分别为A,B,C,D,。为坐标原点，贝U(ACD)A.G的离心率为平B.G的右焦点到G的一条渐近线的距离为小C.点A到。2的两顶点的距离之和等于4D.四边形A5CD的面积为峥【解析】由题意可得，椭圆G的右焦点坐标为（小，0）,设双曲线G的右焦点坐标_ 2 _ 2为（g0）（c。），贝/，?=，得c=2,故/=1,所以双曲线?的方程为|一/=1,离心率-芍，A正确；Q的一条渐近线的方程为,=昱，所以G的右焦点（小,0）到直线丁=兴的距离为坐，8错误；点A到G的两顶点的距离之和等于G的长轴长,酎4+（f24 IT为4,。正确；由得G和。2在第一象限的交点坐标为飞了，寸，易知四边形A4CD是矩形，其面积为4X母义?=竽，D正确.故选ACD.Y14.(多选)(2022.惠州市高三第一次调研)在平面直角坐标系x Oy中，已知双曲线C/-/=1(0),若圆(%2)2+9=1与双曲线C的渐近线相切，则下列选项中，正确的有(BCD)A.双曲线。的实轴长为6B.双曲线。的离心率6=年C.点尸为双曲线c上任意一点，若点p到。的两条渐近线的距离分别为4,4,则,_3 d*a2 一彳D.直线丁=岛4+机与。交于A,B两点，点D为弦的中点，若。的斜率为左2,E 1贝！J岛左2=W【解析】由题意知，双曲线。的渐近线方程为壮”=0（。0）,所以|2|1+/=1,得,所以双曲线。的实轴长为2=2审，半焦距。=2,所以e=2 2小6一3,故A错误，5正确；设P（x（）,加，则?一而=1,又双曲线。的渐近线方程为由&=0,所以不妨设出产,刈=圆土沁,J A二匚1、1,岛一gyo l 岛+小Vol 岛一3谕 3 44rp咨 几 n/n/rHil所以di&2,2-4 4故。正确；以4修，yD，父超，竺），D（X3，乃），则两式相减得J 一（y 1 一丝）（丁 1+竺）=。,即（01竺）。1+乃）_0（X1%2）（Xl+%2）又乃产招=与产所以岛=寸寸之则;T次2=0,得左次2=/故。正确.故选BCD.2 215.（2020全国卷HI）设双曲线C一次=1（0,停0）的左、右焦点分别为尸1，尸2,离心率为小,是。上一点，且尸1PLBP.若的面积为4,则=（A）A.1 B.2C.4 D.8【解析】设|尸尸1|=片，PF2=r29贝|历一厂2尸2，片+4一2r l12=4。2.由于尸 1 尸，尸2尸，则/+4=4。2,4022/2=42,Arir2=2b2.1 1 S尸产尸2=，/i-2=g x 2/72=z72=4,；.e=JT+=yJT+=4,解得/=1,即 a=l.故选 A.16.已知椭圆G的方程为十寸=1,双曲线G的左、右焦点分别是G的左、右顶 点，而。2的左、右顶点分别是G的左、右焦点.求双曲线。2的方程；(2)若直线/：y=Ax+啦与双曲线。2恒有两个不同的交点A和且51防 2(其中。为原点)，求左的取值范围.2 2【解】设双曲线G的方程为3=人。),则/=41=3,c2=4,再由/+/=c2,得廿=1.2故。2的方程为事一/=1.2(2)将y=丘+也代入一，=1,得(1 3k2)x26y/2kx9=0.由直线/与双曲线。2交于不同的两点，得130,0,1设 A（X1，为）,3a2,*），贝IX1+%2=6也左1 3户一9 修/2=-3炉，%1%2+j lj 2=修2+(丘1+.)(爪 2+a/2)3似+73炉一又*.-0A 0B 2,得 x1x2+yiy22.3炉+7 日.-3+93产-12即 3d_ 解得“3,1由得恭炉0)的焦点，。为坐标原点,A,B是抛物线上的两点，满足|以|+|F3|=10,M+FB+FO=0,则p=(D)A.1 B.2C.3 D.4【解析】设4片，%),B 6,竺)，由I物|+|五51=10,可得|必1+1用|=为+冷+=即+q+=1。由必+尸3+尸。=0,可得必+尸3+R9=x i+q/，为+”)=0，所以%1+%2=2-联立，可得夕=4.故选D.7.(多选)(2021.广西名校模拟改编)已知点M是抛物线f=4y上的一动点，尸为抛物 线的焦点，A是圆C(x1)2+。一4)2=1上一动点，则+的可能取值为(BCD)A.3B.4D.6【解析】设抛物线的准线为/,如图所示，利用抛物线的定义知=当M A,尸三点共线时，IMAI+M用的值最小，且最小值为|C尸|r=|CP|1.因为抛物线的准线方程 为 y=1,C(l,4),所以|CP|=4+1=5.于是(|MA|+|M尸|)min=51=4.故选 BCD.8.(2022.惠州市高三第一次调研)已知点户在抛物线上，点尸为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6,3),则)周长的最小值为 13.【解析】由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点厂(2,0),抛物线的准线 方程为x=2,尸的周长为+|尸尸|+|AF|,|=寸(62)2+(3O)=5.如图,过点尸作准线的垂线，交准线于点。，由抛物线的定义可知，PF=PD ,所以要使得|B4|十|PR 最小,即使得|町|+|。|最小,则当P,A三点共线时，解|+|尸。|取得最小值,即(陷+FR)min=6+2=8,所以B4方周长的最小值为8+5=13.（2、9.（2022福建福州模拟）设抛物线丁=2座上的三个点A十,B（l,乃），3 7该抛物线焦点的距离分别为4,曲必.若八 匹中的最大值为3,则p的值为【解析】由题意可得0,所以根据抛物线的几何性质,丁3到3.因此可判断必最大，故以=与+|=3,解得=3.10.（2021.上海卷）已知抛物线：/=2加0）,若第一象限的A,5在抛物线上，焦点25为尸，|4尸|=2,|BF|=4,|AB|=3,则直线A3的斜率为 2.【解析】如图所示，过A,5两点作AM,5N垂直于抛物线的准线，垂足分别为,N,则由抛物线的定义知，AM=AF=29 B N =B F=4,过A点作AHLBN,垂足为凡 易知|M=|AM|=2,A B H =B N -N H =2,二在 Rt A3H 中，|AH|=/|AB|2-|BH|2=32-22=a/5,t anH B A=!=?二直线 AB 的斜率 a8=1211/历1=.dli Z Z11.(2021.河南名校联盟教学质量检测)已知曲线。在y轴右边,。上每一点到点F(l,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线。的方程；(2)过点尸且斜率为左的直线/与。交于A,B两点，|AB|=8,求直线/的方程.【解】(1)设点尸(心y)是曲线C上任意一点，则，(%1)2+2 =1(%0).化简得曲线C的方程为/=4%(%0).(2)由题意得，直线I的方程为y=Z(x 1),设A8，为),3a2,乃)J尸蛆一1),=4%得x（2炉+4）%+炉=0.4=16%2+160,X%2=2产+4Xp%2=1，所以|43|=|44+|3 方|=（+1）+3+1）=4炉+41F4左2+4由题设知下一=8,解得左=-1或Z=L因此直线I的方程为y=X+1或y=x1.12.(2022.江苏省南通市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中 2/0),过点M(4p0)的直线/交抛物线于A(j q,%),Bfe,乃)两点.时，Q45的面积为已知抛物线/=当AB垂直于x轴求抛物线的方程；(2)设线段A5的垂直平分线交工轴于点T.证明：以乃为定值.若。4ZB,求直线/的斜率.【解】（1）当AB垂直于x轴时，A（4，2血9）,B（4p,一2血力1 1所以043的面积为5.|4科|0必=5*4舟X4=8每2=2g.1因为0,所以=5，所以抛物线的方程为/=%.由题意可知直线I与X轴不垂直.由知 M2,0）,A（j t%）,B（yl y2）,由A,M,5三点共线,222y2z得1222因1为yiWy2,所以化间得了12=2,故为”为定值.u因为以乃=2,所以3仁,2、yv中小7 1一乃 1因为 M、=C=y+y2所以线段A3的垂直平分线的方程为y为十”2二一(丁1+丁2)9令 尸0,得力+：+1=；，+-+1乙 乙1)1/因为。47B,所以 0A=%T3,即21 MJiif 9 4 1 42L 乃）y整理得4+1)(此一4)=0,解得以=2,故A(4,2).所以短小=1,即直线/的斜率为土1.能力提升练13.（2022山东潍坊模拟）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到 的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必 过抛物线的焦点.已知抛物线丁=的焦点为凡一条平行于轴的光线从点M（3,1）射 出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点5射出，则的周长为（D）7A.t+/26 B.9+/10C.D.9+261(【解析】对于丁=4羽 令y=l,得即人口，1，结合抛物线的光学性质，得经过焦点R设直线A3的方程为丁=%(%1),与抛物线方程联立可得2?2(斤+2)%十斤=0,1 25据此可得xx=1,所以 物=1=4,故|AB|=办+m+P=a,兀4 今将=4 代入 y2=4%,可得 y=4,故 5(4,4),故 MB =(4 3)2十(一4一 I)?=26，(25故的周长为|MA|+|A5|+|5M|=3-v+t+a/26=9+a/26,故选 D.14.（多选）（2021.广东江门调研）在平面直角坐标系xOy中，点M（4,4）在抛物线/=2川0）上,抛物线的焦点为F,延长MF与抛物线相交于点N,则下列结论正确的是（AD）A.抛物线的准线方程为1=117B.|MN=47C.OMN的面积为5D.|MF|+|?/F|=|MF|-|F|【解析】点M(4,4)在抛物线/=2川0)上，42=2p4,p=2,./=4x,焦点40 4为(1,0),准线方程为x=1,故A正确M(4,4),尸(1,0),心尸=二7=予直线MF J.J的方程为y=：(x1).y=4x,联立(4z 尸符一i Ji)17%+4=00 x=4或 x=4,二%；，1 111 q q q.|MF|=4+g=5,|N厂|=4+=，|M2V|=|MF|+|N尸|=5+=4=|MN|NF,故 B 错误,1 1 5D正确.OMN的面积为万|。尸Hy一MvI=5X1X5=5，故C错误.故选AD.15.（2021.福建泉州3月适应性线上测试）已知C 丁=2川so）的准线/与光轴交于点 A,点昆尸在。上，AAH厂是面积为2的等腰直角三角形，则C的方程为 了=,黑的最小值为g.【解析】由于人吕方是面积为2的等腰直角三角形，所以以方|=出方|=，所以;=2,所以=2.所以C的方程为2=4x.由对称性，不妨设P）,2出o）,因为抛物线C：2=4%的焦点为方（i,o）,4（-1,0）,所以|尸网=沏+1,I以I=7（沏+1）2+（2/）2=。司+1）2+4%0,所以爆=治（沏：；2t+4沏=/1 4沏力*当且仅当尤0=1时取等号，故隘J的最小值为害.V 1+（xo+l）216.（2021 全国乙卷）已知抛物线C：f=2Q0）的焦点为况 且厂与圆林x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.求p；（2）若点。在上，PA9 P6是C的两条切线，A,5是切点，求B48面积的最大值.【解】（1）由题意，得抛物线C：=20；的焦点尸0,5，圆M：d+（y+4）2=i的 I 乙）圆心M0,4）,半径是L由点尸与圆”上的点的距离的最小值为4,得4+41=4,解得=2.(2)设Ax”了，3%2，I，尸(沏，Jo)J T J2由T，得y=奈所以直线B4：修)直线 P3：ym=5(%2),2 2%1%24 4%i+%2且 kAB _ 4，则直线A3：厂,=.丁2(%_%),即 4J=(%1+X2)x%1%2-将点p的坐标分别代入，解得曲=勺二 为=平 则直线AB：2y=%0%2%.所以|AH|=HT 2+(%1%2)2=N(/+4)(14%).易知点尸到直线AB的距离含A/%o+4所以 S/PAB=d AB =子吊4y()|/4yoi1-1-=1(/4yo)2=(一/一12为-15)2因为 yw5,3,所以当地=5时，S必8最大，最大值为20小.高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作课后作业（五十四）圆锥曲线中的最值、范围问题2 2 I-1.(2022.沧衡八校联盟期中)已知椭圆e：5+1=l(0)的离心率为且过点 人叫(1)求椭圆石的方程；(2)平行线力分别过椭圆石的两焦点，且直线/i与椭圆石交于a,b两点,直线 与椭圆石交于C,0两点，求四边形A5CD面积的最大值.【解】设椭圆石的半焦距为c,由题意可得2V5a 5，1.产57一匕、。2=/+，解得=4，b=l.2故椭圆月的方程为5+,=1.(2)由可知椭圆E的焦点坐标为(2,0)和(一2,0).由题意可知直线八与，2的斜率不为。，不妨设的方程为=加丁+2,A(x i，%),B(%2,”)，则直线h的方程为x=my2.联立x=my-2,整理得（根2+5）9+4加一1=0,则+为=2书勺，乃为二一 2书 f f 1/I f f 1/I故|A5|=/l+m2|j i y2|=+加 2、（y 1+竺）24yly22/5（m2+l）m2+5，4因为平行线，i，L之间的距离d=下支9耐、I s 8v入/苏+1尸厂3四边形A3CO”12_Lm十38小 8小 片一 4 忘 4 2gAj m+1+/2 1 Jm+1即当且仅当机=多时，四边形A3CD的面积取得最大值2小.2.(2022.山东济宁一模)已知椭圆C：5+=1(乂 0)的离心率为事，且椭圆。过点 住招(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆。的右焦点的直线/与椭圆。分别相交于A,5两点，且与圆O：x2+y2=2 相交于,尸两点，求|A卦|及f的取值范围.【解】（1）由题意得（=W，所以/2 2所以椭圆的方程为它+%=1,将点1，代入方程得=2,即/=3,2 2所以椭圆C的标准方程为1+=1.(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0),若直线/的斜率不存在，直线/的方程为X=1,则 喇，3卜，一明，石(1)，F(l,-1),所以|A5|=F，I瓦f=4,|A可出砰若直线/的斜率存在，设直线，的方程为y=Z(x1),A(j q,y),3(初，m).2 2联立0.由知 M2,。），则直线MA,跖5的斜率分别为X Z X?L 7 71后(即_2)(必_2)=_m_(mj i+-2)(mj2+-2)=_加 2yly2+m(n2)(%+j2)+(.2)23招一123 m2+4,3212(6mn 9m.藐彳了+加52)一菱同+52)3/12 3(+2)9 铲加一 4(2)24(2)4斛得 l，直线/的方程为=niy+l,直线/过定点(1,0),此时，为十”=一丁有%，以”=III/I 89 3m2+4?*|AB|=/l+m2|j i-y2l=1+加2(y 1+g)24yly2=Aj l+m2(6m 362 I _3m2+4j 3 m2+4=+苏144(m2+1)12(m2+1)3 m2+3(3m2+4)2 3m2+4 43m2+4(1)*3m2+4?三3(当且仅当m=0时取等号)，目的最小值为3.4.如图，已知抛物线上 1 1 _，点 Ar2，(39)4/(13抛物线上的点P(x,2x2过点5作直线A尸的垂线，垂足为。.求直线AP斜率的取值范围;(2)求|必|尸。1的最大值.【解】设直线AP的斜率为Z,1-41-2XX1-21 3 1因为一万45,所以一1。一万1,即直线”斜率的取值范围是(一1,1).(2)解法一：联立直线AP与的方程kx 一,+/+=0,解得点Q的横坐标是和=F+4左+3 2(+1)3 x=k、_(1 所以|雨|=1+左2 x+-l 乙)|尸0|=产7（和一x）(Z1)(Z+1)2所以|B4|PQ=（k 1）（左+Ip,令加左）=一（左一1）（左+1）3,%（1,1）.（n所以八女）在区间一1,5上单调递增，因为/(%)=(4Z2)(左+1)2,（1）尢1上单调递减，因此当k=j，I刚|尸。1取27 得最大值系解法二：如图,连接 B P,|AP|P2|=|AP|PB|c osZBP2=AP(AB-AP)=AP AB-AP2.易知P(x,x)1 3)2x2+x+而=-x4+|x2+x+f-1x0),其中/=21.C4 Lx当丸=2时，设山国尸加，则|4尸2尸2机因为此时|A5|=|5B|,所以尸i|=3版连接AB，由椭圆的定义，得|3b11+15b21TAbil+|ABI=2=4冽，从而|AR|=|A%I=2m,(3 b则此时点A在y轴上，不妨设A(0,一力，则3 5,屋0.一4%为二茄、，设 A(%1，%),3a2,乃)，则为十丁2=4m2 疗+3所以m=乃十为”一M 竺一由题意知。(3,%),直线的斜率低c=f2y22 yi+y2-2Ji所以直线B C的方程为y%=丁1(%3),即y=yi(x2),可知直线恒过定点(2,0).当直线A5的斜率为。时，显然直线恒过定点(2,0).综上，无论2如何变化，直线BC恒过定点(2,0).2.（2022.河南开封月考）已知椭圆C：5+方=1（。0）的长轴长为2蜴 焦距为2,抛物线环 丁=28;。0）的准线经过。的左焦点尸.求。与的方程；（2）直线/经过。的上顶点且/与M交于P、。两点，直线EP、尸。与分别交于点。（异于点P）,（异于点Q）,证明：直线。的斜率为定值.【解】（1）由题意，得2a=2,2c=2,所以=a/,c=1 5 _ 2所以Z?=Y2 02=,所以。的方程为、+y2=l,所以尸（一1,0）,由于M的准线经过点孔 所以一=1,所以夕=2,故M的方程为 y2=4x（2）证明：由题意知，/的斜率存在且不为0,故设直线/的方程为丁=&+1,由1祟，得争f+1=。贝U/=1 k0,即 k0?所以修工2=4,%i+%2=4+2/?,因此 J1J2=(a2)(22)=%i%2 2(41+%2)+4=-4.因为 OA_LOB,所以 1%2+y1丁2=。，解得=1,所以抛物线的方程为/=2x、(2)证明：设点M,E,尸的坐标分别是啰刈，多为团也._ _2由 C,M,石二点共线，得 kEM=kcM,则g,整理可得，yoy3=2(yo+y3)8,22 2-4所以丁3=2y08 必一2Q同理由。，M,尸三点共线，得4=:，先所以直线EF的方程为厂为=3。一3)=扁/一夕 22整理可得y3y4=丁(乃+以)2%.将乃=_：，丁4=：代入直线 EF 的方程中，得(2x2y)yj+4(4%)yo+8(2y8)=0,Jo-2 Joxy=09所以4x=0,解得x=y=49所以直线石尸恒过定点(4,4).、2y8=0,(3、(3、4.(2021 东北三校二模)已知点Ml,万，N 1,一5，直线尸M PN的斜率的乘积 I I 乙)3为一本尸点的轨迹为曲线C(1)求曲线。的方程；(2)设斜率为左的直线交轴于T,交曲线。于A,B两点，是否存在上使得以72+|312 为定值？若存在，求出左的值；若不存在，请说明理由.【解】设P点的坐标为(x,y),由 kpM*kpN=3 1 33 厂-得-=4 1%+134,(3Y 3、x2 V2即 4 厂5 j+5+3(x-1)(x+1)=0,整理得十七=1,2 2曲线C的方程为：+:=l(x Wl)(2)设 A(%i，yD，3(q，竺)，依题意，直线A3的斜率ZWO,不妨设直线A3的方程为1=根+必 2 2代入4+半=1，得(3加2+4)y2+6根y+32 12=0?A=36m2n24(31-12)(3m2+4)=48(3m2+4n2)0?-6mn 3n212乃十乃=就而，为为二而不了.|AT2+|BT2=(m+1)(y?+y)=(m2+1)(y i+y2)22y i=(m2+1)6 机、3n2-12 m2+l书J-2W+4=6(3m2+4)2(3m 令+4(3相+4).，若使|AT|2+|3刀2为定值，则3加24=o,解得加=泰，.=*=半,.,.存在满足条件的左使得以汗+旧理为定值，卜的值为土净.高三大一轮总复习