大学物理(2-1)课后题答案.doc

习 题 六
6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。
[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系
设振动方程为
时
故振动方程为
(2)设此时弹簧对物体作用力为F，则

其中
因而有
(3)设第一次越过平衡位置时刻为，则

第一次运动到上方5cm处时刻为 ，则

故所需最短时间为：

6-2 一质点在x轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A时作为计时起点(t＝0)，经过2s后质点第一次经过点B，再经 2s后，质点第二经过点B，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A点处的速率。
[解] 由旋转矢量图和可知s
由于
(1) 以的中点为坐标原点，x轴指向右方。
t=0时,
t=2s时，
由以上二式得
因为在A点质点的速度大于零，所以

所以，运动方程为：

(2)速度为：
当t=2s时

6-3 一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置6cm处，速度为24，求：(1)周期T； (2)速度为12时的位移。
[解] (1) 设振动方程为
以、、代入，得：

利用则

解得
(2) 以代入，得：

解得：
所以
故

6-4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。

[解] 设振动方程为：
根据振动曲线可画出旋转矢量图
由图可得：

故振动方程为

6-5 一质点沿x轴作简谐振动，其角频率，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移＝7.5 cm，初始速度；(2)其初始位移＝7.5 cm，初速度。
[解] 设振动方程为
(1) 由题意得：

解得： A=10.6cm
故振动方程为：

(2) 同法可得：

6-6 一轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：(1)此小物体是停止在推动物体上面还是离开它?(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?
[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。
(2) 设在平衡位置弹簧伸长，则
又
故
当小物体与振动物体分离时 ，即 ，
故在平衡位置上方0.196m处开始分离。

6-7 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处，速度是24。如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩系数是多大?
[解] 设振动方程为
则：
以x=6cm v=24cm/s代入得：

解得
最大位移处：

由题意，知

6-8 两根倔强系数分别为和的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m的物体相连结，组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动?若作谐振动，其周期是多少?若将两弹簧并联，其周期是多少?
[解] (1) 串接：物体处平衡位置时，两弹簧分别伸长、
(1)
(2)
取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为x，两弹簧再次伸长、，则

由(1)知 (3)
又 (4)
(5)
由(4)、(5)得 (6)
将(6) 代入(3)得
看作一个弹簧
所以
因此物体做简谐振动，角频率

周期
(2) 并接：物体处于平衡位置时， (7)
取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x
则
式中、分别为两弹簧伸长

所以
将(7)代入得
看作一个弹簧
所以
因此该系统的运动是简谐振动。
其角频率
因此周期

6-9 在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧轨道上放一小物体，使其静上于轨道的最低点，如图所示。若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，试证明：(1)此物体作谐振动；(2)振动周期。
[证明] 取最低点为平衡位置，物体与O点连线偏离的角为。
(1) 物体与O点连线偏离角时，指向平衡位置的力矩

很小，故，所以
(1)
可见该力矩为指向平衡位置的线形回复力矩，故物体作谐振动。
(2) 由于
根据(1)式有
令 则

6-10 如图所示，半径为R的圆环静止于刀口点O上，令其在自身平面内作微小的摆动。(1)求其振动的周期；(2)求与其振动周期相等的单摆的长度。
[解] (1) 设圆环偏离角度为

所作振动为简谐振动

所以
(2) 等效单摆周期为的摆长为。

6-11 如图所示，质量为m、半径为R的半圆柱，可绕圆柱的轴线O在重力作用下作微振动，已知半圆柱的质心在距轴处，求其振动周期。
[解] OC偏离中垂线角时指向中间的力矩

根据转动定理
其中
代入得
即
所以

6-12 测量液体阻尼系数的装置如图所示。若在空气中测得振动频率为，在液体中测得振动频率为，求在液体中物体振动时的阻尼因子。
[解] 在空气中振动方程为

在液体中振动方程 (为阻尼系数)
对应的振动角频率
则
即
所以

6-13 一弹簧振子，当位移是振幅之半时，该振动系统的动能与总能量之比是多少?位移为多大时，动能和势能各占总能量之半?
[解] 设振幅为A，弹簧倔强系数为k，
(1) 当位移是振幅之半时
(2) 位移为x时，动能、势能各占总能量的一半
则有
所以

6-14 一弹簧振子，弹簧的倔强系数，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，(1)求谐振动的振幅；(2)位移是多大时，势能与动能相等?(3)位移是振幅之半时，势能是多大?
[解] (1) 设振幅为A，由机械能守恒定律，得

(2) 动能、势能相等时有

因此
(3) 位移为振幅一半时，势能为

6-15 如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数，重物的质量为m＝ 6 kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F＝10 N向左作用于物体(无摩擦)，使之由平衡位置向左运动了0.05 m，此时撤去力F。当重物运动到左方最大位置时开始计时，求物体的振动方程。
[解] 以平衡位置为坐标原点，向右为正方向建立坐标系, 设振幅为A，由功能原理可得

因此

又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为
故得运动方程为

6-16 两谐振动的振动方程分别为
(SI)
试求其合振动的振幅和初相位。
[解] 由振动合成公式，得

结合矢量图得

6-17 两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为 20cm，合振动与第一个谐振动的相位差为。若第一个谐振动的振幅为cm，求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐振动的相位差。
[解] 由题意可画出两简谐振动合成的矢量图，由图知

易证
故第一、二两振动的相位差为

6-18 质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动

(S1)
求：(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任一位置所受的作用力。
[解] (1) y方向的振动可化为

消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为

(2) 由
可得
同理
因此

6-19 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅A＝10cm，圆频率，当t＝1.0s时，x＝10cm处质点的位移为零，速度沿负方向，此时x=20cm处质点的位移为5.0cm，速度沿正方向。已知波长>10cm，试写出该波的波函数。
[解] 由已知得 A＝0.1m, ，波沿x轴正向传播，故可设波函数为：
m
当t=1s 时，x=0.1m处，y=0m 故

故有 (1)
对t=1.0s ，x=0.2m 处，有

故有 (2)
对(1)、（2）两式k取相同的值的根据是>10cm
由(1)、(2)得

故所求波函数为

6-20 一简谐波的周期T=0.5s，波长=10 m，振幅A＝ 0.1 m。当t=0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点与波源重合，且波沿Ox轴正向传播；求：(1)此波的波函数，(2)时刻，处质点的位移；(3)时刻， 处质点的振动速度。
[解] (1)由已知条件，可设波函数为：

由已知 t=0，x=0时，y=0.1m
故 由此得

因而波函数为

(2) ，处:

(3) ，处，振动速度为

6-21 一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅为A，频率为，波速为u。设时刻的波形曲线如图所示。求：(1)x=0处质点的振动方程；(2)该波的波函数。
[解] (1) 设x=0处该质点的振动方程为：

由时波形和波速方向知，；
时
故
所以x=0处的振动方程为:

(2) 该波的波函数为：

6-22 根据如图所示的平面简谐波在t=0时刻的波形图，试求：(1)该波的波函数；(2)点P处的振动方程。
[解] 由已知，得，m

(1) 设波函数为

当t=0，x=0时，由图知
因此 (或)
则波函数为

(2) 将P点坐标代入上式，得

6-23 已知一简谐平面波的波函数为。 (1)试求t=4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?(2)画出t＝4.2 s时的波形曲线。
[解] (1) 波峰位置满足条件

所以
显然k=8时，，离坐标原点最近，设通过原点时刻为t，则

所以
(2) t=4.2s时的波形曲线

6-24 一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和，波速为u。设t＝0时的波形曲线如图所示。(1)写出该波的波函数；(2)求距点O分别为和两处质点的振动方程；(3)求距点O分别为和两处质点在t＝0时的振动速度。
[解] (1)由图知，故 波函数

(2) 时
时
(3)

6-25 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，试画出点P处质点与点Q处质点的振动曲线，然后写出相应的振动方程。
[解] ，，
P处振动曲线

振动方程
(2) Q处的振动曲线

振动方程

6-26 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图。设简谐波的频率为250 Hz，且此时质点P的运动方向向下，求：(1)该波的波函数；(2)在距点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。
[解] (1) ，，又因P点运动方向向下，则波向左传播，设波函数为

t=0，x=0时 ，则
因，所以取（或由旋转矢量图知）
故波函数为
(2) x=100m时，

当x=100m时，

6-27 如图所示，两列波长均为的相干简谐波分别通过图中的点和。通过点的简谐波在平面反射后，与通过点简谐波在点P相遇。假定波在平面反射时有半波损失，和两点的振动方程分别为和，且，，求：(1)两列波分别在点P引起的振动方程；(2)点P的合振动方程(假定波在传播过程中无吸收)。
[解] (1)

(2)

6-28 如图所示，两相干波源和之间的距离为d=30m，且波沿Ox轴传播时不衰减，=9m和=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两波源间的最小相位差。

[解] 由题意得

对m处
所以
因此

6-29 在均匀媒质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波函数分别为和，试求Ox轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。
[解] 合振幅最大点满足的条件是

可得
合振幅最小点满足的条件是

可得

6-30 如图所示，和为两相干波源，相距，的相位比的相位超前，若两波在连线方向上的强度均为，且无吸收。问连线上在外侧各点的合成波的强度如何?又在外侧各点的合成波的强度如何?
[解] 以为坐标原点，水平向右为x轴正方向,建立坐标系。外侧，、传出的波函数为

故
、振动方向相同，振幅相同，且反相，故合振幅为零
因此
外侧，、传出的波函数为

合振幅为2A，又因波强正比于
因此

6-3l 两波在一根很长的弦线上传播，其波函数分别为

求：(1)两波的频率、波长和波速；(2)两波叠加后的波节位置；(3)两波叠加后的波腹位置。
[解] (1) 波动方程可写作标准形式为

故，，
(3) 节点条件满足

故 ，
(3) 波腹条件满足

6-32 在弹性媒质中有一沿Ox轴正向传播的平面波，其波函数为 (S1)，若在x=5.00m处有一媒质分界面，且在分界面处反射波有半波损失，波的强度不衰减。试写出反射波的波函数。
[解] 处的振动方程

所以反射波波函数为

6-33 一弦上的驻波方程为 (S1)
(1)若将此波视为两列传播方向相反的波叠加而成，求两列波的振幅及波速；(2)求相邻波节之间的距离，(2)求时，位于x＝0.625m处质点的振动速度。
[解] (1) 因
故
由于

所以 m
s

(2) 相邻波节间的距离

(3)
故当，时

6-34 一列横波在绳索上传播，其波函数为 (SI)
(1)现有另一列横波(振幅也是0.05 m)与上述已知横波在绳索上形成驻波。设这一横波在x＝0处与已知横波同相位，试写出该波的波函数。(2)写出绳索中的驻波方程，求出各波节的位置坐标表达式，并写出离原点最近的四个波节的坐标数值。
[解] (1) 设反射波的波函数为：

因x＝0处与已知波的波函数相位相同，故

因而，波函数为

(2) 驻波方程 =
波节处应有：
即 (k=0,±1,±2,…)
离原点最近的四个波节的坐标数值为： 1m, -1m , 3m, -3m

6-35 简谐波在直径d＝0.10m的圆柱形管内空气媒质中传播，波强度，波速为250，频率为，试计算：(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?(2)两相邻同相位面(相距一个波长的两个波面)之间的波段中平均含有多少能量。?
[解] (1) 因 故

(2)

6-36 一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率Hz。若该媒质的密度为800，求：(1)该波的能流密度；(2)一分钟内垂直通过面积的总能量。
[解] (1) 该波的平均能流密度

(2) 一分钟内垂直通过面积的总能量为

6-37 一汽笛发出频率为1000Hz的声波，汽笛以10的速率离开你而向着一悬崖运动，空气中的声速为330。(1)你听到直接从汽笛传来的声波的频率为多大?(2)你听到从悬崖反射回来的声波的频率是多大?
[解] (1)
(2)

6-38 一人造地球卫星和地面接收站如图所示。卫星发出Hz的微波信号，卫星地面接收站的本机振荡频率，Hz，当卫星地面接收站探测器检测振荡信号产生的拍频2400Hz，试问此时卫星沿指向地面站方向的分速度是多少?
[解] 卫星发出信号频率，波速为，卫星以沿指向地面站方向的分速度接近地面站(观测者)，故由多普勒效应知地面站接收到卫星发射信号的频率为
因地面站本机接收信号频率为，接收信号和本机信号的拍频
故
解得 (利用)

6-20