电路的计算机辅助分析与设计.pdf

1 电路的计算机辅助分析与设计 电路的计算机辅助分析与设计 应忍冬 应忍冬 Nov.15,2006 2 1 电路基础.5 1.1 关联方向.5 1.2 基本元件.5 1.2.1 电阻.5 1.2.2 电容.6 1.2.3 电感.6 1.2.4 VCCS.6 1.2.5 VCVS.7 1.2.6 CCCS.7 1.2.7 CCVS.7 1.2.8 独立电压源.7 1.2.9 独立电流源.8 1.2.10 其他.8 1.3 电路基本定律.8 1.3.1 关联矩阵.8 1.3.2 KCL.9 1.3.3 KVL.10 1.3.4 VCR（电压电流关系方程）.12 1.3.5 附加内容.13 1.4 STA（稀疏表矩阵方程）.15 1.5 节点法方程.15 2 修正节点法.17 2.1 导纳.17 2.2 阻抗.17 2.3 VCCS.18 2.4 CCCS.19 2.5 CCVS.19 2.6 VCVS.20 2.7 独立电压源.21 2.8 独立电流源.21 2.9 互感器.22 2.10 理想变压器.22 3 线性方程求解.24 3.1 解的存在性.24 3.2 解的唯一性.24 3.3 高斯消元法.24 3.4 LU分解.26 4 灵敏度.31 4.1 定义.31 4.1.1 灵敏度.31 4.1.2 归一化灵敏度.31 4.2 线形电路方程的灵敏度求解.31 4.2.1 问题描述.31 4.2.2 灵敏度求解.31 4.3 求解x的线性组合的灵敏度.32 34.3.1 问题描述.32 4.3.2 灵敏度求解.33 4.3.3 伴随网络法.34 4.3.4 对元件的灵敏度.34 4.4 复频域的模型的参数（复数）的灵敏度.35 4.4.1 输出信号的模和相角的灵敏度.35 4.4.2 输出信号对频率的灵敏度.36 4.5 电路输出对温度的灵敏度.37 4.6 例子.38 4.6.1.38 4.6.2.39 5 元件大变化灵敏度.42 5.1 问题描述.42 5.2 方程求解问题的化简.42 5.2.1 T的分析.42 5.2.2 方程求解.43 6 非线性网络的直流解.45 6.1 问题描述.45 6.2 方程求解.45 6.2.1 一维非线性方程求解.45 6.2.2 多维非线性方程组求解.46 6.2.3 改进收敛性能的措施.47 6.2.4 源步进法.47 6.3 非线性电路的方程描述.48 6.3.1 基本电路方程.48 6.3.2 电路求解.49 6.3.3 直流伴随模型.49 7 微分方程的数值解.52 7.1 问题描述.52 7.2 方程求解.52 7.2.1 前向欧拉法.52 7.2.2 后向欧拉法.53 7.2.3 梯形法.54 7.2.4 高阶 Taylor法.55 7.2.5 Runger-Kutta 法.56 7.2.6 多步法.57 8 电路微分方程的求解.64 8.1 线性电路方程的一般形式及其求解.64 8.2 获得线性电路的微分方程.64 8.3 非线性电路方程的一般形式及其求解.66 8.4 建立非线性电路微分方程.67 8.4.1 非线性电阻.67 8.4.2 非线性电容.68 8.4.3 非线性电感.69 9 随机仿真.72 49.1 直接变换法.72 9.2 拒绝法.72 51 电路基础电路基础 1.1 关联方向关联方向 +u-i 元件的功率为：Piu=(1.1)0P 消耗能量 0P 释放能量 1.2 基本元件基本元件 1.2.1 电阻电阻 +u-i 1uriigugr=(1.2)61.2.2 电容电容 +u-i duiCdt=(1.3)isCu=(1.4)1.2.3 电感电感 +u-i diuLdt=(1.5)usLi=(1.6)1.2.4 VCCS +u -i igu=(1.7)71.2.5 VCVS +u1 -+-+u2-21uu=(1.8)1.2.6 CCCS i2 i1 21ii=(1.9)1.2.7 CCVS i+-+u -ui=(1.10)1.2.8 独立电压源独立电压源 +-U+u-uU=(1.11)81.2.9 独立电流源独立电流源 I+u-i iI=(1.12)1.2.10 其他其他 理想变压器、互感器 1.3 电路基本定律电路基本定律 1.3.1 关联矩阵关联矩阵 123 4560 1 23 上面的拓扑结构用矩阵aA 表示，即：()()()()1 2 3 4 5 60010011111100020011013100110a+=+A(1.13)9aA 的行号对应节点号，列号对应支路号。对于从节点 a始发到节点 b的第 k 条支路，在aA 里面表示为：()(),1,1aaa kb k=AA(1.14)注意：aA 非行满秩，去除任意一行得到矩阵A，它是行满秩的，并被称为关联矩阵 1 2 3 4 5 6(1)111000(2)001101(3)100110+=+A(1.15)1.3.2 KCL 0ki=(1.16)例：i3 0 1 23 i4 i5 i6 i2 i1 KCL表示为：()()()123346145102030iiiiiiiii+=+=+=(1.17)写成矩阵形式为：10 123456001110000001101010011000iiiiii +=+(1.18)或者用更简洁的符号表示：=Ai0(1.19)其中：A是NB关联矩阵 12TNiii=i?为支路电流向量 000T=0?N是电路的节点数目（不包括参考节点）B是支路数目。s 1.3.3 KVL +-vk1 uk vk2 0kkkc u=(1.20)其中kc取值1，当k号支路的参考方向顺着环路绕行方向时1kc=，反之为1。KVL的另一种等效的表示为：12kkkuvv=(1.21)等式(1.21)和(1.20)的联系在后面1.3.5节给出。下面给出以(1.21)给出的KVL定律的例子 例：110 1 23+-u3 u4u5u2 u6u1 KVL表示为：311012123234305206123456vvuvvuvvuvvuvvuvvu=(1.22)注意：上面等式中00v=表示参考地。上式的矩阵形式为：121324356101100110011001010uuvuvuvuu+=+(1.23)写成矩阵形式为：T=A vu(1.24)其中：A是NB关联矩阵 12TNvvv=v?为节点电压向量 12TBuuu=u?为支路电压向量 N是电路的节点数目（不包括参考节点）12B是支路数目。1.3.4 VCR（电压电流关系方程）（电压电流关系方程）VCR方程表示支路电流和支路电压的约束关系。一般形式为：(),=p i u0(1.25)对于线性元件，上式表示为：+=iuD iD us0(1.26)或者：+=iuD iD us(1.27)例：112233441000iuRuEiguiIisCu=(1.28)写成(1.27)的形式为：1122334411000000001000000001000000001000000000100iuRgiuIiusCiuE +=(1.29)13其中：10000100001000010000i=D，1234iiii =i，100000000000000100uRgsC=D，1234uuuu=u 以及000IE =s 1.3.5 附加内容附加内容 1.3.5.1 节点电压、支路电压、环路电压和节点电压、支路电压、环路电压和 KVL 的关系的关系 考虑环路电压和与T=A vu的联系 0 1 23+v2+v3+v2+-v3-v0-v0u3 u4u5u2 u6u1 下面要说明当支路电压ku由T=A vu给出时，KVL表达式：0kkkc u=(1.30)是必然成立的。沿环路绕行方向，考察每一个节点电位在上面求和表达式中出现的规律，可见在kc的符号作用下每个节点电位正好以kv+和kv分别出现一次，正好抵消。环路电压和为0。141.3.5.2 特勒根定律特勒根定律 KVL：T=A vu 表明向量u在()TA的列向量空间 KCL：=Ai0 表明向量i在()TA的列向量的正交补空间 因而必然有：0T=i u(1.31)1.3.5.3 i 和和 u 的解的确定性的解的确定性 考虑有B条支路和N个节点的电路（参考节点除外）的关联矩阵A。由KCL和KVL得到：()TT=wiA0vu0A(1.32)其中()TA列满秩并满足()T=A A0，即()TA的列向量垂直于()TA的列向量，w为B-N维未知列向量。1）()TTA00A列满秩，且列秩=B。2）iu虽然有2B个元素，但它是B个线性独立的向量（指()TTA00A的列向量）的线性组合（列向量的加权系数由wv给出），因此自由度为B。3）由2）可见，求 iu的2B个元素的关键是确定B个组合系数值wv。可见至少需要额外的B个约束方程才能确定wv并由此得到 iu的值。4）考虑线性电路的VCR方程 iu=iDDsu 可见：()TiuT=wA0DDsv0A(1.33)15wv有唯一解的必要条件是()TiuTA0DD0A列满秩。通过(1.33)确定了wv就能带入(1.32)来确定 iu 1.4 STA（稀疏表矩阵方程）（稀疏表矩阵方程）考虑线性电路的电路基本方程组：KCL：=Ai0 KVL：T=A vu0 VCR：+=iuD iD us 把上面方程写在同一个矩阵方程里，即STA方程 Tiu =A00i00IAu0DD0vs(1.34)1.5 节点法方程节点法方程 考虑仅仅包含电阻（电导）、独立电流源和VCCS的电路。令电路的拓扑结构不考虑独立电流源的支路，于是KCL成为：=Aij(1.35)其中j代表节点电流源（列）向量。当节点a，b之间存在电流为Is的独立电流源，电流方向由a到b时候：()()sbaI=jj(1.36)如果节点k没有连接电流源，则()0k=j 电路的VCR方程为：=Gui(1.37)其中G的第k个对角线元素代表在k号支路上的电导值。G的非对角元素比如(),n mG代表受控支路为m、受控支路为n的压控电流源的控制系数。（如果G的某个元素既不受电导影响，又不受VCCS影响，那它就填0）(1.37)两边同时左乘A得到：16 =AGuAij(1.38)其中第二个等号来自于(1.35)。另外由KVL得到T=uA v，代入(1.38)得到：T=AGA vj(1.39)令T=YAGA，其中Y为节点导纳矩阵，于是我们得到下面的节点法方程：=Yvj(1.40)要注意的是通过分析可以发现获得Y不必通过矩阵乘法T=YAGA，可以直接根据元件的连接位置直接生成Y。即：1）对于连接节点(),a b的电导g，我们有 ()()()(),a ab ba bb ag=YYYY 2）对于控制支路连接节点(),a b（控制电压abuvv=）、受控支路连接节点(),c d（受控电流由c流向d）的压控电流源的控制系数VCCSg，我们有 ()()()(),VCCSa cb da db cg=YYYY 3）前面1）和2）是Y的某个元素受一个元件影响的情况。如果Y的某个元素受两个以上的元件影响，则该元素填入的内容是所有元件施加的影响的和。比如()2,3Y受一个VCCS影响应该根据2）填入1g，但它还受另一个VCCS影响需要根据2）填入2g，那么()122,3gg=Y 172 修正节点法修正节点法 节点法方程(1.40)的未知数为节点电压，但当电路含有独立电压源、受控电压源等元件时，直接生成(1.40)有困难，需要改进。修正节点法在节点法方程的基础上加入额外的变量列出完整的电路方程。2.1 导纳导纳 +Y-a b 对节点电流的影响：a B Y(va-vb)-Y(va-vb)对矩阵方程的贡献：va vb a Y -Y b-Y Y =2.2 阻抗阻抗 +Z-im a b 18对节点电流的影响：a b im-im 对节点电位的影响：0abmvvZi=对矩阵方程的贡献：va vb a 1 b -1 =1 -1 -Z im 0 2.3 VCCS +-()abvva b d c 对节点电流的影响：c d(va-vb)-(va-vb)对矩阵方程的贡献：va vb =c -d-19 2.4 CCCS im im a b d c 对节点电流的影响：a b c d im-im im-im 对节点电位的影响：0abvv=对矩阵方程的贡献：va vb vc vd a 1 b -1 =c d -1 -1 im 0 2.5 CCVS im+-+-a b d c vc-vd=gimin 对节点电流的影响：a b c d im-im in-in 对节点电位的影响：20 0cdmvvgi=0abvv=对矩阵方程的贡献：va vb vc vd a 1 b -1 =c 1 d -1 1 -1-g im 0 1 -1 in 0 2.6 VCVS +-+-+(va-vb)-a b d c in 对节点电流的影响：c d in-in 对节点电位的影响：()0cdabvvvv=对矩阵方程的贡献：va vb vc vd a b =c 1 d -1 -1 -1 in 0 212.7 独立电压源独立电压源 +-U+-a b in 对节点电流的影响：a b in-in 对节点电位的影响：abvvU=对矩阵方程的贡献：va vb a 1 b -1 =1 -1 in U 2.8 独立电流源独立电流源 I+-a b 对节点电流的影响：a b I-I 22对矩阵方程的贡献：a -I b I =2.9 互感器互感器 +Lm -+Ln -a b d c in im M 对节点电流的影响：a b c d im-im in-in 对节点电位的影响：abm mncdn nmvvsL isMivvsL isMi=+=+对矩阵方程的贡献：va vb vc vd a 1 b -1 =c 1 d -1 1 -1 -sLm-sMim 0 1 -1-sM-sLnin 0 2.10 理想变压器理想变压器 23+K(vc-vd)-+u2-a b d c-Kim im+-对节点电流的影响：a b c d im-im-Kim Kim 对节点电位的影响：()abcdvvK vv=对矩阵方程的贡献：va vb vc vd a 1 b -1 =c -K d K 1 -1 -K K im 0 243 线性方程求解线性方程求解 3.1 解的存在性解的存在性 考虑方程 =Txb(3.1)(3.1)可以等价地写成：i iix=tb(3.2)其中it是T的第i列，ix是x的第i行元素。(3.2)表明当且仅当b在ti的列向量生成的线性空间时x有解 3.2 解的唯一性解的唯一性 如果x有解，则x的解在所有it相互线性独立时候唯一 3.3 高斯消元法高斯消元法 考虑方程(3.1)并假设T为4 4矩阵，即：()()()()()()()()()()()()()()()()00001,11,21,31,400002,12,22,32,400003,13,23,33,400004,14,24,34,4tttttttttttttttt=T(3.3)高斯消元法要求把矩阵T变成上三角阵，即：1*01*001*0001=U(3.4)把矩阵T变成上三角阵的具体步骤用矩阵形式描述就是在T左面依次乘以矩阵1P,2P,3P和，即：1)11=PTT 25()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()000000001,11,21,31,41,11,21,31,40000001112,11,12,12,22,32,42,22,32,400000013,11,13,13,23,33,43,20000004,11,14,14,24,34,41000/1000/0100/001tttttttttttttttttttttttttttttt=()()()()()113,33,41114,24,34,40ttttt 2)212=P TT()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()000000001,11,21,31,41,11,21,31,41111112,22,32,42,22,32,411111223,22,23,23,33,43,33,411111224,22,24,24,34,44,34,410000100000/100000/01000tttttttttttttttttttttttttttt=3)323=P TT()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()000000001,11,21,31,41,11,21,31,41111112,22,32,42,22,32,422223,33,43,33,4222234,33,34,34,44,410000100000010000000/100000ttttttttttttttttttttttt=4)33=TT?()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()000000000001,11,11,21,31,41,21,11,31,11,41,1111111112,22,22,32,42,32,22,42,2222223,33,33,43,43,3334,44,41/0001/01/00001/001/000001/0000001/000tttttttttttttttttttttttttt=1 总结下来就是 ()()()()()()()()()()()()0000001,21,11,31,11,41,111112,32,22,42,23213223,43,31/01/001/0001tttttttttttt=P P PTTU?(3.5)其中U是上三角矩阵 下面考虑把321P P P作用在原先的方程=Txb上，我们得到：()()321321=P P PT xP P P b(3.6)或者等价的表示为：26 =Uxb(3.7)其中：321=UP P PT为上三角矩阵()321=bP P P b是列向量 注意：U可以看成把,P1,P2,P3依次作用到T上得到的 b可以看成把,P1,P2,P3依次作用到向量b上得到的 3.4 LU分解分解 前面看到高斯消去法就是把原来方程转化为 ()()321321=P P P TxP P P b 它等价于：()()1321321=P P PP P PT xb(3.8)可以证明()1321P P P为下三角阵，而()321P P PT为上三角阵。把()1321P P P记作L，()321P P PT记作U。把(3.8)和=Txb比较我们可以看到：=TLU(3.9)并且得到：=LUxb(3.10)表达式(3.9)和(3.10)暗示x可以用下面的方法求解：1）把Ux记作y，先求解方程 =Lyb(3.11)获得y（由于L的特殊结构，这很容易）2）求解方程 =Uxy(3.12)获得x（由于U的特殊结构，这也很容易）上述方法的一个问题关键是如何得到L，即：27()13211111123?=LP P PP P P(3.13)下面逐一分析P1-1,P2-1,P2-1和1得到L的表达式，即：()()()()()()002,11,11003,11,1004,11,11000/100/010/001tttttt=P ()()()()()()002,11,111003,11,1004,11,11000/100/010/001tttttt=P ()()()()1123,22,2114,22,2100001000/100/01tttt=P ()()()()11123,22,2114,22,2100001000/100/01tttt=P ()()3224,33,310000100001000/1tt=P ()()13224,33,310000100001000/1tt=P ()()()()01,112,223,334,41/00001/00001/00001/tttt=()()()()01,112,2123,334,4000000000000tttt=于是可以得到：28()()()()()()()()()()()()()()()()111112301,10012,11,12,2110023,22,23,11,13,322110034,33,34,22,24,11,14,41000100000010000100/100010000000100/10/01000000/10/01/001000tttttttttttttttt=LP P P()()()()()()()()()()01,1012,12,20123,13,23,301234,14,24,34,4000000tttttttttt=L可以在对T的高斯消元的同时得到，另外L和U矩阵可以放在同一个矩阵空间，如下图所示（左）。每个U和L的元素的计算次序也在下图（右）给出：计算方法总结为两句话：1）计算行向量：用简单除法 例如标注为黄颜色的行是通过原先的元素除以左边一个元素得到 2）计算列向量：用乘法和减法 (0)(1)(3)(2)(4)(5)(6)L U (0)(1)(3)(2)29例如标注为黄颜色的块是通过原先的元素减去蓝色列向量和绿色行向量的乘积 LU分解的例子2610214110381162694：2610214110381162694 2610214110381162694 26/2310/252/2114110381162694=235114110381162694 ()()()()()()2351143 1111 5 160111383 3111 5 3461332632095214122 =2351116131432012 2351116/11 1/1131432012=2351116131432012 (0)(1)(3)(2)30()()235111613146123 112201 6 012 1 02 =2351116131222012 235111613122/212012=2351116131212012 ()2351116131212012 113 =2351116131212013 最后得到：2000110031202013=L，1351016100110001=U 314 灵敏度灵敏度 4.1 定义定义 4.1.1 灵敏度灵敏度 令电路输出信号量f取决于参数123,h h h?,即：()123,Mff h h hh=?(4.1)灵敏度定义为：ifhifDh=(4.2)表示输出信号f对参数ih的敏感程度 4.1.2 归一化灵敏度归一化灵敏度 /iiffihhihffSDhhf=(4.3)4.2 线形电路方程的灵敏度求解线形电路方程的灵敏度求解 4.2.1 问题描述问题描述 考虑如下形式的方程（比如用修正节点法得到的电路方程）：=Txb(4.4)其中T为电路元件的系数构成的矩阵，x是节点电位或支路电流向量，b是独立电压/流源组成的向量。其中T，x和b都可以看成是某个参量h的函数（比如h代表温度）。下面我们求12TNxxxhhhh=x?，即节点电位或支路电流对参量h的灵敏度。4.2.2 灵敏度求解灵敏度求解 对(4.4)两边求偏导数得到：32 hhh+=TxbxT(4.5)整理后得到：1hhh=xbTTx (4.6)这里要求得hx。令h=xy，求解y的过程可以用下面给出步骤完成：1）从方程=Txb 中求解x 2）计算hb和hT，并以此得到向量c hh=bTcx(4.7)3）从方程：=Tyc(4.8)中求解y即灵敏度h=xy 注意：是上面的步骤中两次求解形式为=Tmn的线形方程组（步骤1和3），如果已经得到T的分解=TLU，则可以减少一些计算量。4.3 求解求解x的线性组合的灵敏度的线性组合的灵敏度 4.3.1 问题描述问题描述 令：1NTiiifd x=d x(4.9)其中x由(4.4)的方程给出，d为固定加权系数id构成的列向量。可见f是ix的线性组合。下面给出求解fh的方法。334.3.2 灵敏度求解灵敏度求解 首先注意到：Tfhh=xd(4.10)把(4.6)代入得到：1Tfhhh=Tbd Tx(4.11)用以下步骤可以求解fh 1）从方程 T=T xd(4.12)求解出x（可以证明1TT=xd T）2）从方程：=Txb 中求解x 3）计算hb和hT，并同前面得到x一起得到向量 hhTbx(4.13)4）计算灵敏度 Tfhhh=Tbxx(4.14)要注意的是当我们需要计算f对很多个参量的灵敏度时，即求解：12,Mfffhhh?上述的步骤中x和 x的值是不变的，只有步骤3）和4）需要重复计算（用mh取代h），而步骤3）和4）不需要求解形式为=Tmn的线形方程组，计算量较小。344.3.3 伴随网络法伴随网络法 方程(4.12)称为伴随方程组，它可以看成是某个电路的方程，这个电路网络称为伴随网络，如果考虑仅仅含有电阻、电导、VCCS和电流源的电路的话，会发现伴随网络和原来的电路网络有相同的拓扑，但独立源和受控源会有所不同。4.3.4 对元件的灵敏度对元件的灵敏度 步骤3）在很多情况下hhTbx的形式很简单。于是代入到步骤4）可以发现Tfhhh=Tbxx也有很简单的形式。下面给出几个例子。4.3.4.1 h 为某个电流源时灵敏度的计算为某个电流源时灵敏度的计算 另电流为h的电流源连接在节点(),i j之间，j为始发节点、i为终止节点，可以发现：h=T0 并且 00100100ihj=b?(4.15)即：仅在i行j列非零。把(4.15)带入到(4.14)可以发现：ijfxxh=(4.16)ix和jx分别为x的i和j行元素（x由(4.12)决定）。4.3.4.2 h 为某个无源元件时（电阻、电导、为某个无源元件时（电阻、电导、VCCS）的灵敏度）的灵敏度 令h为某个VCCS的控制系数，该VCCS的控制支路连接节点(),c d（控制电压为cduvv=），受控之路连接节点(),a b（受控电流由a流向b），此时：35 h=b0，1111cdahb=T(4.17)注意：上面矩阵空白处表示为0。于是：cddca xxb xxhh=Tbx(4.18)并且 ()()Tabcdfxxxxhhh=Tbxx(4.19)注意，对于电导或电阻而言，acbd=，于是：()()ababfxxxxh=(4.20)4.4 复频域的模型的参数（复数）的灵敏度复频域的模型的参数（复数）的灵敏度 4.4.1 输出信号的模和相角的灵敏度输出信号的模和相角的灵敏度 4.4.1.1 问题描述问题描述 考虑复频域电路模型，它的输出f为复数，即：|jff e=(4.21)要求计算：|fh 和 h(4.22)36 4.4.1.2 求灵敏度求灵敏度 lnln|ffj=+(4.23)两边求偏导数得到 11|ffjfhfhh=+(4.24)于是：|1|Refffhfh=和 1Imfhfh=(4.25)4.4.2 输出信号对频率的灵敏度输出信号对频率的灵敏度 4.4.2.1 直接求解直接求解 Tf=Tbxx(4.26)假设信号源和频率无关，于是=b0，并且：Tf=Txx(4.27)4.4.2.2 利用输出对电容、电感的灵敏度间接得到对频率的灵敏度利用输出对电容、电感的灵敏度间接得到对频率的灵敏度 注意到T中和有关的分量仅仅出现在和电感元件、电容元件有关的地方。于是T可以写成：()()()0mmmmLmmCj Lj C=+TTTT(4.28)的形式，其中()0T由和j无关的元件构成、()mLT是第thm个电感元件对应的矩阵，()mCT是第thm个电容元件对应的矩阵。把(4.28)代入(4.27)得到：()()()mmTmmLmmCfjLC=+xTTx(4.29)37 下面考虑mfC，我们可以得到：()TmmmTmmTCfCCCCj=TbxxTxxx Tx(4.30)上面第二个等式是因为mC=b0，第三个等式是因为从(4.28)可以得到()mCmjC=TT。类似的可以发现 ()mTLmfjL=x Tx (4.31)将(4.29)用(4.30)和(4.31)表示出来得到：1mmmmmmfffLCLC=+(4.32)4.5 电路输出对温度的灵敏度电路输出对温度的灵敏度 求：?f=(4.33)其中代表温度。由于f可以看成是电路元件参数的函数，即：()12,Mff E EE=?(4.34)其中mE表示电路元件的参数，比如电阻的阻值，电容的容值等。于是f可以表示成：mmmEffE=(4.35)其中mfE就用前面4.3的方法求出。mE表示元件参数随温度变化的特性，一般是由下面的模型（幂级数展开）得到：38()()01mmmEE+(4.36)利用上面的近似等式得到：()0mmmEE=(4.37)代入到(4.35)就有：()0mmmmffEE=(4.38)4.6 例子例子 4.6.1 图上C1、C3和G2代表寄生元件，计算时使用复频率sj=。求22vG 解：121222122232320sGGsCsCGsCvIGsCGGsCsCv+=+(4.39)和(4.4)对照可知121222222323GGsCsCGsCGsCGGsCsC+=+T、12vv=x并且0sI=b。把数值代入(4.39)得到：1110jjjj+=+x(4.40)Is=1A G1=1 G3=1 G2=0 C2=1 C1=0 C3=0 1 2 39求解得到：0.60.20.40.2jj=+x 计算灵敏度所关心的输出量为：12101Tvfvv=d x(4.41)其中01T=d。根据(4.12)，T=T xd得到 12122222232301GGsCsCGsCGsCGGsCsC+=+x(4.42)将数值代入得到：1011jjjj+=+x(4.43)求解 x得到0.40.20.60.2jj=+x 根据(4.14)，计算22vG用公式：2222TvGGG=Tbxx(4.44)其中2G=b0、21111G=T，于是(4.44)变成 ()()21212211110.120.16TvxxvvGj=xx(4.45)（第三个等式用到了(4.41)和(4.43)的解）4.6.2 40 求2|vL和()2vL。其中()2v代表v2的幅角。令sj=解：电路方程为：1221222010010sLGGsCGvIGgGvsLi+=(4.46)对照(4.4)可见122220101GGsCGGgGsL+=T、12Lvvi=x并且00sI=b。将数值代入(4.46)得到：1251014110010Ljvvji+=(4.47)求解得到：120.30.10.40.80.80.4Lvjvjij+=+x 需要求灵敏度的输出量v2可以写成：122010Lvfvvi=(4.48)对照(4.9)得到010T=d，于是得到伴随方程：Is=1A G1=4 G2=1 C=1 L=1 1 2 iL i=gv1=3v1 41 54001111010jj+=x(4.49)求解得到0.40.80.3 1.11.1 0.3Tjjj=+x 233000000000.680.76TTvLLLjjx xj=+Tbxxxx(4.50)根据(4.25)得到：2222|1|Re0.98387vvvLvL=(4.51)和 ()2221Im0.3vvLvL=(4.52)425 元件大变化灵敏度元件大变化灵敏度 5.1 问题描述问题描述 已知电路方程 ()+=TT xb?(5.1)其中T和b是固定不变的矩阵，T代表元件参数的变化量 需要对很多种不同的T，求出对应的 Tf=d x?(5.2)考虑T是由少数几个元件引起的变化，比如M个元件。而T尺寸远远大于M，因此直接计算(5.2)很耗时。下面需要找出减少计算量的计算方法。5.2 方程求解问题的化简方程求解问题的化简 5.2.1 T的分析的分析 11112212000000MmmMTmmmmTTMTMMT=TTE p qEqEqpppEqP Q?(5.3)其中mE表示第m个元件的改变量，mp和mq是形式为：43 00100?或者 00100100?(5.4)的向量，他们由元件在电路中的位置决定（参考修正节点法）于是方程(5.1)变成：()T+=TP Qxb?(5.5)5.2.2 方程求解方程求解 从(5.5)可以推出 ()()()()()()1111TTTTTTTTff=d xd T bd T PQ xd xd T PQ xd T P y?(5.6)其中()T=yQ x?，可以证明：()111TTT+=Q T P yQ T bQ x(5.7)于是计算f?可以由下面几步得到 1）从方程=Txb 求解x并计算出Tf=d x 2）从方程 ()11TT+=Q T P yQ x(5.8)求解y 443）将x和y代入到(5.6)得到：()()11TTTff=d xd T P yd T P y?(5.9)注意：1）如果需要对多个的取值重复计算f?则只需要计算步骤2）和3）2）在步骤2和3里面的矩阵()TQ x、()1TQ T P、()1Td T P、Tf=d x和无关，可以事先计算好并重复使用 3）重复执行步骤2）所需要的计算量由元件个数决定，因为方程(5.8)左边()11T+Q T P是MM的矩阵，尺寸可能远小于T（M为参数发生变动的元件个数）456 非线性网络的直流解非线性网络的直流解 注意：在这一章节会用上标注意：在这一章节会用上标ka表示代求变量表示代求变量a的第的第k次迭带结果而不是指数！次迭带结果而不是指数！6.1 问题描述问题描述 求解多元非线方程组：()()()11221212,0,0,0NNNNfx xxfx xxfx xx=?(6.1)(6.1)可以简洁的表示为 ()=f x0(6.2)其中12TNfff=f?、12Nxxx=x?6.2 方程求解方程求解 6.2.1 一维非线性方程求解一维非线性方程求解 一维问题 ()0f x=(6.3)求解x。考虑 ()()()df xf xxf xdxx+(6.4)令*xxx=+是(6.3)的解。为了估计x，将()0f xx+=代入(6.4)得到：()()/xf xfx (6.5)其中()()/fxdf xdx=。根据(6.5)得到x使得*xxx+，即：可以将xx+作为*x的估计 步骤：步骤：1）令0k=，选定初值0 x 46 2）计算 ()()/kkkxf xfx=(6.6)其中：()()kkx xdf xfxdx=(6.7)并计算递推结果 1kkkxxx+=+(6.8)3）如果|kxx并且()1|kff x+则输出1kx+作为(6.3)的解，否则1kk=+返回步骤2）6.2.2 多维非线性方程组求解多维非线性方程组求解 考虑()f x的幂级数展开 ()()+f xxf xM x(6.9)其中：()111122221212NNNNNNfffxxxfffxxxfffxxx=f xMx?(6.10)令*=+xxx为(6.2)的解。为估算x把()+=f xx0代入(6.9)得到：()1 xM f x(6.11)即：根据(6.11)可以得到x使得*+xxx 步骤：步骤：1）令0k=，选定初值0 x 2）计算kM 47 ()kkk=Mxf x(6.12)其中：()kk=x xf xMx(6.13)并计算递推结果 1kkk+=+xxx(6.14)3）如果|kxx并且()1|kf+是需要人为选择的一个常数。通过(6.15)使得对kx的修改量满足：|krx(6.17)6.2.4 源步进法源步进法 构造一系列函数方程组：()fx(6.18)其中是0到1之间的实数。要求()fx满足：1）()00=fx很容易得到解 2）()()1=fxf x 3）()fx关于连续 48先令0=求解方程()00=fx（()fx应该构造成使得()0=fx0很容易求解）。然后逐渐增加直到1=。每增加一次就求解一遍()0=fx，求解时使用前一次（修改前）的解作为初值。对于电路构造(6.18)的一种方式是令电路中的电流源、电压源的值改成原先的倍。于是0=对应电路中所有电源置零，1=对应电路中所有电源和所原先所求的电路一致。的增加可以通过自适应的形式增加。例如用