不等式的解法（构造法等）.doc

课 题：不等式的证明（6）
教学目的：
要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式
教学重点：构造法
教学难点： 构造法
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．重要不等式：
如果
2．定理：如果a,b是正数，那么
3公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2
4． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；
5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）
6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论
8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法
9分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法
用分析法证明不等式的逻辑关系是：
分析法的思维特点是：执果索因
分析法的书写格式：
要证明命题B为真，
只需要证明命题为真，从而有……
这只需要证明命题为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故命题B必为真
10三角换元：
若0≤x≤1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()
若，则可令x = cosq , y = sinq ()
若，则可令x = secq, y = tanq ()
若x≥1，则可令x = secq ()
若xÎR，则可令x = tanq ()
11代数换元：“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法
12．放缩法:
13．反证法:
二、讲解新课：
构造法：构造函数法; 构造方程法; 构造图形法
三、讲解范例：
例1已知x > 0，求证：
证明：（构造函数法）构造函数 ，， 设2≤a<b
由
显然 ∵2≤a<b ∴a - b > 0, ab - 1 > 0, ab > 0 ∴上式 > 0
∴f (x)在上单调递增，∴左边
例2 求证：
证明：（构造函数法）设 则
令 3≤t1<t2 则
∴f (t)在上单调递增，
例2 已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2
证明：（构造方程法）由题设显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，
则 即b, c是二次方程的两个实根
∴ a≥2
例3 求证：
证明：（构造方程法）设 ，
则(y - 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y - 1) = 0
当 y = 1时，命题显然成立
当 y ¹ 1时，△= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)≥0，∴
综上所述，原不等式成立（此法也称判别式法）

例5 已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：

证明：（构造图形法）构造单位正方形，O是正方形内一点
O到AD, AB的距离为a, b，
则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|
其中，，
，
又
∴
四、小结 ：
五、课后作业：
证明下列不等式：
1．
（构造函数法）令，则 (y - 1)x2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0
用△法，分情况讨论
2．已知关于x的不等式(a2 - 1)x2 - (a - 1)x - 1 < 0 (aÎR)，对任意实数x恒成立，求证：
分a2 - 1 = 0和 讨论
3．若x > 0, y > 0, x + y = 1，则
（构造函数法）左边
令 t = xy，则
在上单调递减 ∴
4．若，且a2 < a - b，则
（构造函数法）令，又，在上单调递增 ，∴
5．记，a > b > 0，则| f (a) - f (b) | < | a - b|
（构造图形法）构造矩形ABCD, F在CD上，
使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| - |AF| < |CF|
6．若x, y, z > 0，则
（构造图形法）作ÐAOB = ÐBOC = ÐCOA = 120°, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z
则由余弦定理 |AC|＝
|BC| ＝,|CA|＝
因为|AC+||BC|>|CA|，所以 +>
六、板书设计（略）
七、课后记：