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“反比例函数”考题赏析

近几年的中考题，多源于课本习题的延伸. 反比例函数章节，内容看似简单，就是定义、图像、性质，但实际中考题型，它与其它知识板块紧密联系，从而考查学生的综合分析问题的能力. 这就要求我们在平时的教学过程中，横向铺开，纵向延伸，只有掌握其精髓，挖掘其内涵，才能融会贯通，应用自如. 学精一题，可带动一类，使举一反三、触类旁通的思想得到活化.
例1 如图①，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上的一点，过A作x轴的平行线，交函数y=-（x＜0）的图像于B点，交函数y=（x＞0）的图像于C点. 过C点作y轴的平行线交BO的延长线于D，

（1）如果点A的坐标为（0，2），求线段AB与线段CA的长度之比.
（2）如果点A的坐标为（0，a），求线段AB与线段CA的长度之比.
（3）在（1）的条件下，四边形AODC的面积为 .
点拨 （1）由A点坐标（0，2），过A作x轴的平行线，可知：
B、C两点的纵坐标为2，再根据解析式，易求得B（-1，2），C（3，2）∴AB=1，CA=3.
∴线段AB与线段CA的长度之比为
（2）∵A（0，a），BC∥x轴，
∴B（-，a），C（，a）∴AB=CA=.
∴线段AB与线段CA的长度之比为.
（3）答案：15. 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方或利用梯形的面积去求.
例2 如图②，已知直线y=与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4.

（1）求k的值；
（2）若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形的面积为24，求P点的坐标.
点拨 （1）点A的横坐标为4. 将x=4代入y=x，得y=2，∴点A的坐标为（4，2）.
∵点A是直线y=x与双曲线y=（k＞0）的交点，∴k=4×2=8.
（2）过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，∵点C在双曲线y=上，当y=8时，x=1. ∴点C的坐标为（1，8）∵点C、A都在双曲线y=上，∴S△COE=S△AOF=4, ∴S△COE+ S梯形CEFA= S△COA+ S△AOF，∴S梯形CEFA= S△COA.
∴S梯形CEFA=×（2+8）×3=15，∴S△COA=15.
（3）如图（a），反比例函数图像是关于原点O的对称图形，

∴OP=OQ，OA=OB，∴四边形APBQ是平行四边形.
∴S△POA=SAPBQ
=×24=6，
设P点的横坐标为m（m＞0且m≠4），
P（m,）. 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POE= S△AOF=4.
① 若0＜m＜4，如图（a），∵S△POE+ S梯形PEFA= S△POA+ S△AOF，
S梯形PEFA= S△POA=6. 即，∴m=2，m=-8（舍去）. ∴P（2，4）.
②若m＞4，如图（b）.

∵S△APF+ S梯形AFEP= S△AOP+ S△POE，
∴S梯形AFEP= S△AOP=6. 即.
∴m=8, m=-2（舍去）.
∴P（8，1）∴点P的坐标为P（2，4）或P（8，1）.
这是一道综合性的题目，考查反比例函数的性质，三角形、梯形、平行四边形面积的计算等相关的知识点，同时还考查同学们利用分类讨论的思想，探索知识的能力.
总之，反比例函数的有关习题，把握住这样几个要点：函数图像上的点的坐标，适合函数的解析式，即图像上点的横纵坐标的乘积等于y=中的k的值；过反比例函数图像上的点作x轴、y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形的面积就等于y=中的|k|的值；过图像上的点作x轴或y轴的垂线，垂线段、坐标轴与这点和坐标原点的连线构成的直角三角形的面积等于y=中的|k|的值；反比例函数图像是关于原点O的中心对称图形；另外考虑问题要全面，要有分类讨论的思想. 只要掌握了这些知识点，再结合已学过的相似、全等等，许多问题便可迎刃而解.

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