专题八统计与统计案例.docx

专题八　统计与统计案例
考点一 抽样方法:
考点二 样本估计总体：频率分布直方图，面积和为1，众数，中位数，平均数，
极差，标准差（方差）
在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积
乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
考点三 线性回归方程： 样本点中心：,
独立性检验：分类变量———列联表
利用判断相关关系
概率与统计、统计案例 ______ 一大一小共17分
重点考查数据处理能力、应用意识、创新意识

1．(2016·课标全国丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上; B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同; D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
答案　D
解析　由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有七月，八月，故选D.
2．(2016·山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)

A．56 B．60 C．120 D．140
答案　D
解析　设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.
3．(2016·北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)
A．2号学生进入30秒跳绳决赛; B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛; D．9号学生进入30秒跳绳决赛
答案　B
解析　 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为：1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人需要从1～8号产生，数据排序后可知第3,6,7号必须进跳绳决赛，另外3人需从63，a,60,63，a－1五个得分中抽取，若63分的人未进决赛，则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛．故选B.
4． (2016·上海)某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是________(米)．
答案　1.76

1. 以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等；
2.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.

热点一　抽样方法
1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体数较少．
2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．
3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．
例1　(1)某校要从高一、高二、高三共2 012名学生中选取50名组成志愿团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样的方法从2 012人中剔除12人，剩下的2 000人再按分层抽样的方法进行，则每人入选的概率(　　)
A．都相等且为 B．都相等且为 C．不会相等 D．均不相等
(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________.
答案　(1)A　 (2)90
解析　(1)根据分层抽样的定义和方法可得，每个个体被抽到的概率都相等，都等于样本容量除以总体容量，所以每个个体被抽到的概率都等于，故选A.
(2)由题意得＝，解得n＝90.
思维升华　(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．
跟踪演练1　(1)要考察某公司生产的500克袋装牛奶中三聚氰胺的含量是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76(第7行)
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行)
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行)
(2)利用分层抽样的方法在学生总数为1 200人的年级中抽出20名同学，其中有女生8人，则该年级男生的人数约为________．
答案　(1)068　 (2)720
解析　(1)由随机数法可知抽取样本个体的编号为331,572,455,068，…，故第4个样本个体的编号为068.
(2)由于样本容量为20，其中的男生人数为12，从而该年级男生人数约为1 200×＝720.
热点二　用样本估计总体
1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.
2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数
利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．
例2　(1)在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数
(2)若五个数1,2,3,4，a的平均数为3，则这五个数的标准差是________．
答案　(1)B　 (2)
解析　(1)设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi＝xi－5，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选B.
(2)由平均数的定义知＝3， 所以10＋a＝15，即a＝5；
由标准差的计算公式可得: s＝
＝.
思维升华　(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．
跟踪演练2　(1)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为(　　)

A．117 B．118 C．118.5 D．119.5
(2)某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60]元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的学生有30人，则n的值为(　　)

A．100 B．1 000 C．90 D．900
答案　(1)B　 (2)A
解析　(1)22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.
(2)支出在[50,60]元的频率为1－0.1－0.24－0.36＝0.3，所以n＝30÷0.3＝100，故选A.
热点三　统计案例
1．线性回归方程
方程＝x＋称为线性回归方程，其中＝，＝－，(，)称为样本点的中心．
2．随机变量 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
例3　(1)具有线性相关关系的变量x、y的一组数据如下表所示．若y与x的回归直线方程为＝3x－，则m的值是(　　)
x
0
1
2
3
y
－1
1
m
8

A.4 B. C．5.5 D．6
(2)2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见， 2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是(　　)
A．茎叶图 B．分层抽样 C．独立性检验 D．回归直线方程
答案　(1)A　 (2)C
解析　(1)因为＝1.5，＝，所以样本中心点坐标是(1.5，)，又因为回归直线必过样本中心点， 所以＝3×1.5－，得m＝4，故选A.
(2)这是独立性检验，因为这里有两个分类变量，一个是性别分为男女，一个是意见分为支持和反对，这样就构成一个2×2列联表，用独立性检验来验证“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系．
思维升华　(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(，)，应引起关注．(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K2求解即可．
跟踪演练3　(1)随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列联表：
单位：人

满意
不满意
合计
男
10
20
30
女
15
5
20
合计
25
25
50

附表和公式如下：
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
根据以上数据可知(　　)
A．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关
B．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关
C．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关
D．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关
(2)春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
附：
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024

K2＝参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
答案　(1)C　 (2)C
解析　(1)由于K2＝≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关，故选C.
(2)由公式可计算K2＝＝≈3.03>2.706，
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.

1．高考前夕，摸底考试后随机抽取甲、乙两班各10名学生的数学成绩，绘成茎叶图如图所示．记甲、乙两班的平均成绩分别是甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则(　　)

A.甲<乙，m甲>m乙; B.甲>乙，m甲>m乙;
C.甲>乙，m甲<m乙; D.甲<乙，m甲<m乙.
押题依据　对茎叶图的考查在高考中较为常见，从中提取数字的特征(如平均数、众数、中位数等)是高考命题的热点题型．
答案　A
解析　甲班10名学生的数学成绩的平均数为
甲＝＝77.1，
乙班10名学生的数学成绩的平均数为
乙＝＝79.7，
所以甲<乙．
中位数分别为m甲＝＝78.5，m乙＝＝76，所以m甲>m乙．故选A.
2．某校为了了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了100名学生，统计他们每天的平均学习时间，绘成的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中学习时间在6至10小时之间的人数为________．
押题依据　频率分布直方图多以现实生活中的实际问题为背景，对图形的理解应用可以考查考生的基本分析能力，是高考的热点．
答案　58
解析　由图知，(0.04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)×2＝1，解得x＝0.15，所以学习时间在6至10小时之间的频率是(0.15＋0.14)×2＝0.58，
所求人数为100×0.58＝58.
3．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少小时？
(注：＝，＝－ )
押题依据　线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点．
解　(1)散点图如图．

(2)由表中数据得：＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，∴ ＝0.7，∴＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示．

(3)将x＝10代入线性回归方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05，
故预测加工10个零件约需要8.05小时．

A组　专题通关
1．某餐厅的原料费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝8.5x＋7.5，则表中的m的值为(　　)
x
2
4
5
6
8
y
25
35
m
55
75
A.50 B．55
C．60 D．65
答案　C
解析　＝＝5，
＝＝，
又＝8.5＋7.5＝50，
因此＝50，m＝60，故选C.
2．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是(　　)

A．240 B．280
C．320 D．480
答案　D
解析　由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg的频率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，
则学生的体重在50～65 kg的频率为1－0.25＝0.75.
从左到右第2个小组的频率为0.75×＝0.25.
所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480.
3．以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)

A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
答案　C
解析　由题意得x＝5，
16．8＝(9＋15＋10＋y＋18＋24)⇒y＝8，故选C.
4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图，由图中数据可知身高在[120,130)内的学生人数为(　　)

A．20 B．25
C．30 D．35
答案　C
解析　由图可知，(0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005)×10＝1，解得a＝0.03，所以身高在[120,130)内的学生人数在样本中的频率为0.03×10＝0.3，所以身高在[120,130)内的学生人数为0.3×100＝30，故选C.
5．下列说法中正确的个数为(　　)
①若样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为10；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；
③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　A
解析　①若样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2×5＋1＝11，故①错误；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，方差没有变化，故②错误；③∵学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，∴样本间隔为16－5＝11，则对应的人数为11×5＝55(人)，若该班学生人数可能为60，则样本间隔为60÷5＝12，故③错误，故选A.
6．如图是我市某小区100户居民2015年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为________．

答案　2.02
解析　由图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08,0.15,0.22,0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和：4＋8＋15＋22＝49，是第五组中第1个数与第2个数的算术平均数，中位数是2＋(2.5－2)×＝2.02.
7．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9

(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
解　(1)由所给数据计算得
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求线性回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2019年的年份代号t＝11代入(1)中的线性回归方程，得＝0.5×11＋2.3＝7.8，
故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元．
8．“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
(1)若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
(2)为了解冰桶挑战赛与受邀请的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：

接受挑战
不接受挑战
合计
男性
45
15
60
女性
25
15
40
合计
70
30
100

根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀请者的性别有关”？
附： K2＝
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828

解　(1)这3个人接受挑战分别记为A，B，C，则，，分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果有：{A，B，C}，{，B，C}，{A，，C}，{A，B，}，{，，C}，{，B，}，{A，，}，{，，}，共8种．其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{A，B，C}，{，B，C}，{A，，C}，{A，B，}，共4种．
根据古典概型的概率公式，所求的概率为P＝＝.
(2)假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关．
根据2×2列联表，得
K2＝
＝＝≈1.79，
因为1.79＜2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”．
B组　能力提高
9．根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0

得到了回归方程＝x＋，则(　　)
A.>0，>0 B.<0，>0
C.>0，<0 D.<0，<0
答案　C
解析　∵总体趋势是y随着x的增大而减小，∴<0，又＝5.5，＝0.25，∴＝－＝0.25－5.5>0.选C.
10．去年“十·一”期间，昆曲高速公路车辆较多．某调查公司在曲靖收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后，得到如图的频率分布直方图．

(1)调查公司在抽样时用到的是哪种抽样方法？
(2)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
(3)若从这40辆车速在[60,70)的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[65,70)的概率．
解　(1)系统抽样．
(2)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为77.5；
由题图可知，中位数应该在75～80之间，设为m，
则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(m－75)＝0.5，
m＝77.5，
即中位数的估计值为77.5.
(3)这40辆车中，车速在[60,70)的共有
5×(0.01＋0.02)×40＝6(辆)，
其中车速在[65,70)的有5×0.02×40＝4(辆)，记为A，B，C，D，
车速在[60,65)的有5×0.01×40＝2(辆)，记为a，b.
若从车速在[60,70)的这6辆汽车中任意抽取2辆的可能结果有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，D}，{B，a}，{B，b}，{C，D}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，共15种不同的结果，
其中抽出的2辆车车速都在[65,70)的结果有6种，
因为抽到每种结果都是等可能的，
所以从这40辆车速在[60,70)的汽车中任意抽取2辆，抽出的2辆车车速都在[65,70)的概率为P＝＝.