专题一 运动学图象、追及相遇问题.docx

专题一　运动学图象、追及相遇问题
考纲解读 1.理解匀变速直线运动v－t图象，并会用它们解决问题.2.掌握追及与相遇问题的特点以及解决这类问题的一般方法．
考点一　v－t图象的理解
通过“六看”理解v－t图象：

v－t图象
轴
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示加速度
面积
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
例1　(2013·大纲全国·19)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的v－t图像分别如图1直线甲、乙所示．则(　　)

图1
A．t＝2 s时，两球的高度相差一定为40 m
B．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等
C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等
D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等
解析　由于两球的抛出点未知，则A、C均错；由图像可知4 s时两球上升的高度均为40 m，则距各自出发点的位移相等，则B正确；由于两球的初速度都为30 m/s，则上升到最高点的时间均为t＝，则D正确．
答案　BD
变式题组
1．[对速度图象的理解](2013·四川·6)甲、乙两物体在t＝0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v－t图象如图2所示，则(　　)

图2
A．甲、乙在t＝0到t＝1 s之间沿同一方向运动
B．乙在t＝0到t＝7 s之间的位移为零
C．甲在t＝0到t＝4 s之间做往复运动
D．甲、乙在t＝6 s时的加速度方向相同
答案　BD
2．[v－t图象的理解] 如图3所示是物体在某段运动过程中的v－t图象，在t1和t2时刻的瞬时速度分别为v1和v2，则从t1到t2的过程中(　　)

图3
A．加速度增大
B．加速度不断减小
C．平均速度v＝
D．平均速度v>
答案　B

1．x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．
2．x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
3．无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．
考点二　运动学图象的应用
1．用图象解题可使解题过程简化，思路更清晰，而且比解析法更巧妙、更灵活．在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是用图象法则会使你豁然开朗．
2．利用图象描述物理过程更直观．物理过程可以用文字表述，也可以用数学式表达，还可以用物理图象描述．如果能够用物理图象描述，一般来说会更直观且容易理解．
例2　如图4所示是一辆汽车和一辆摩托车同时同地沿同一方向做直线运动的v－t图象，则由图象可知(　　)

图4
A．40 s末汽车在摩托车之前
B．20 s末汽车运动方向发生改变
C．60 s内两车相遇两次
D．60 s末汽车回到出发点
解析　由图象可知，两车同时同地出发，分别在t＝20 s和t＝60 s时两车运动的位移相同，故60 s末两车相遇两次，C正确；因速度图线一直在时间轴上方；汽车运动方向不变，t＝20 s时加速度方向发生变化，B、D均错误；t＝20 s后，v汽车>v摩托车，40 s末两车速度相同时，汽车运动的位移大于摩托车运动的位移，故汽车在摩托车之前，A正确．
答案　AC
递进题组
3．[运动图象的应用]某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是(　　)
A．v＝ B．v＝
C．v> D.<v<
答案　C
解析　由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小．画出相应的v－t图象大致如图所示：

根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为t，应有：t>x，所以v>，所以选项C正确．
4．[运动图象的应用]如图5所示，两物体由高度相同、路径不同的光滑斜面由静止下滑，物体通过两条路径的长度相等，通过C点前后速度大小不变，且到达最低点B、D时两点的速度大小相等，则下列说法正确的是(　　)

图5
A．物体沿AB斜面运动时间较短
B．物体沿ACD斜面运动时间较短
C．物体沿两个光滑斜面运动时间相等
D．无法确定
答案　B

解析　由于两斜面光滑，且物体通过C点前后速度大小不变，两物体到达斜面最低点的速度大小相等，而且两物体运动路程相等，故可利用速度－时间图象进行分析比较，从图中可以看出，沿ACD运动时，起始阶段加速度较大，故其速度图象起始阶段斜率较大，且二者末速度相等，为了保证最后速度大小一样且包围的面积(路程)一样，可以看到通过AB的时间t1大于通过ACD的时间t2，所以沿ACD斜面运动时间较短，故B正确．

　　　　　运用图象解答物理问题的主要步骤与方法
(1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定所需的横、纵坐标表示的物理量．
(2)根据题意，找出两物理量的制约关系，结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象．
(3)由所作图象结合题意，运用函数图象进行表达、分析和推理，从而找出相应的变化规律，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量．
考点三　追及与相遇问题
1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0<xB，则能追上；若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
例3　一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以一定的加速度做匀加速运动，但警车行驶的最大速度是25 m/s.警车发动后刚好用12 s的时间追上货车，问：
(1)警车启动时的加速度多大？
(2)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
解析　(1)设t0＝5.5 s内货车位移为x0，则x0＝v0t0＝10×5.5 m＝55 m，
若12 s内警车一直做匀加速直线运动，则at2＝v0t＋x0，
解得a≈2.43 m/s2.
此时警车速度为vmax′＝at＝29.16 m/s>25 m/s.
因此警车的运动应为：先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，并设其加速时间为t1，
则vmax＝a′t1，a′t＋vmax·(t－t1)＝v0t＋x0，
由以上各式可解得：a′＝2.5 m/s2.
(2)当警车的速度与货车的速度相等时，两者间的距离最大，设所需时间为t2，则v0＝a′t2，即t2＝4 s，
两车间的最大距离为xmax＝v0t2－a′t＋x0＝75 m.
答案　(1)2.5 m/s2　(2)75 m
变式题组
5．[追及与相遇问题]汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始(　　)
A．A车在加速过程中与B车相遇
B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动
D．两车不可能相遇
答案　C

解析　作出A、B两车运动的v－t图象如图所示，v－t图象所包围的“面积”表示位移，经过30 s时，A车图象所围面积小于B车，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30 s后A车以12 m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30 s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，选项C正确，选项B、D错误．
6．[追及与相遇问题]如图6所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车立即开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5 m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．

图6
答案　125 m或245 m
解析　甲车运动6 s的位移为x0＝a1t＝45 m，尚未追上乙车，设此后经过时间t与乙车相遇，则有：
a1(t＋t0)2＝a2t2＋85
将上式代入数据并展开整理得：t2－12t＋32＝0.
解得：t1＝4 s，t2＝8 s.
t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再次相遇．
第一次相遇地点距A的距离x1＝a1(t1＋t0)2＝125 m.
第二次相遇地点距A的距离x2＝a1(t2＋t0)2＝245 m.

1．解题思路和方法
分析物体运动过程―→画运动示意图―→找两物体位移关系―→列位移方程
2．解题技巧
(1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．
(2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
高考模拟　明确考向
1．(2014·新课标Ⅱ·14)甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图7所示．在这段时间内(　　)

图7
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案　A
解析　由v－t图象知，在0～t1时间内，甲的位移大于乙的位移，C错误．由＝知，甲的平均速度比乙的大，故A正确．如图所示，汽车乙的v－t图象中，实线与坐标轴所围的面积小于上方虚线与坐标轴所围的面积，故汽车乙的平均速度小于，B错误．v－t图象中的斜率表示加速度，甲、乙图线上各点切线斜率的绝对值均逐渐减小，故加速度的大小都逐渐减小，D错误．

2．(2014·广东·13)图8是物体做直线运动的v－t图象，由图可知，该物体(　　)

图8
A．第1 s内和第3 s内的运动方向相反
B．第3 s内和第4 s内的加速度相同
C．第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D．0～2 s和0～4 s内的平均速度大小相等
答案　B
解析　由题图可知第1 s内和第3 s内速度都为正，运动方向相同，A项错；2～4 s图线斜线不变，加速度不变，B项正确；v－t图线与时间轴所围的面积表示位移，故第1 s内和第4 s内的位移大小相等，选项C错；0～2 s和0～4 s内位移大小相等，但时间不同，由＝可知D项错．
3．(2014·大纲全国·14)一质点沿x轴做直线运动，其v－t图象如图9所示．质点在t＝0时位于x＝5 m处，开始沿x轴正向运动．当t＝8 s时，质点在x轴上的位置为(　　)

图9
A．x＝3 m B．x＝8 m C．x＝9 m D．x＝14 m
答案　B
解析　由题图知，质点在8 s内的位移Δx＝×(2＋4)×2 m－×(2＋4)×1 m＝3 m．t＝0时，质点位于x0＝5 m处，故8 s末质点在x轴上的位置x＝x0＋Δx＝8 m，B正确．
4．(2014·江苏单科·5)一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止．下列速度v和位移x的关系图象中，能描述该过程的是(　　)

答案　A
解析　根据v2－v＝2ax及v0＝0得汽车做匀加速直线运动时的速度v＝，做匀减速直线运动时的速度v＝，根据数学知识知选项A正确．
练出高分
一、单项选择题
1．(2014·天津·1)质点做直线运动的速度－时间图象如图1所示，该质点(　　)

图1
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在前2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
答案　D
解析　由题图可知0～2 s内，速度为正，运动方向未改变，2 s末时，位移最大，v－t图线斜率表示加速度，1～3 s图线斜率未改变，故第2 s末加速度方向没有变化，A、B、C错误；由v－t图线与时间轴所围面积表示位移知，第3 s末和第5 s末质点位置相同，D正确.
2．利用速度传感器与计算机结合，可以自动作出物体运动的图象．某同学在一次实验中得到的运动小车的速度－时间图象如图2所示，以下说法错误的是(　　)

图2
A．小车先做加速运动，后做减速运动
B．小车运动的最大速度约为0.8 m/s
C．小车的位移一定大于8 m
D．小车做曲线运动
答案　D
解析　由v－t图象可以看出，小车的速度先增加后减小，最大速度约为0.8 m/s，故A、B均正确．小车的位移为v－t图象与t轴所围的“面积”，x＝85×0.1×1 m＝8.5 m>8 m，C正确．图线弯曲表明小车速度变化不均匀，不表示小车做曲线运动，故D错误．
3.亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离．假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v－t图象如图3所示，设运动过程中海盗快艇所受阻力不变．则下列说法正确的是(　　)
A．海盗快艇在0～66 s内从静止出发做加速度增大的加速直线运动
B．海盗快艇在96 s末开始调头逃离
C．海盗快艇在66 s末离商船最近
D．海盗快艇在96 s～116 s内做匀减速直线运动
答案　B
4．在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，此时小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图4所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是(　　)

图4
A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故
B．在t＝3 s时发生追尾事故
C．在t＝5 s时发生追尾事故
D．若紧急刹车时两车相距40米，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10米
答案　B
5．甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，在t＝0 时刻，乙车在甲车前方50 m处，它们的v－t图象如图5所示，下列对汽车运动情况的描述正确的是(　　)

图5

A．甲车先做匀速运动再做反向匀减速运动
B．在第20 s末，甲、乙两车的加速度大小相等
C．在第30 s末，甲、乙两车相距100 m
D．在整个运动过程中，甲、乙两车可以相遇两次
答案　D
二、多项选择题
6．在同一地点，甲、乙两物体沿同一方向做直线运动的速度—时间图象如图6所示，则(　　)

图6
A．两物体两次相遇的时刻是2 s末和6 s末
B．4 s后甲在乙后面
C．两物体相距最远的时刻是2 s末
D．乙物体先向前运动2 s，随后向后运动
答案　AB
解析　在v－t图象中图线与横坐标围成的面积大小与物体发生的位移大小相等，由图可知当t＝2 s和t＝6 s时，两图线与横坐标围成面积相等，说明两物体发生的位移相等，由于两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动，因此两物体两次相遇的时刻是2 s和6 s，故A正确；开始运动时，乙的初速度为零，甲在前面，在t＝2 s时，两物体相遇，此时乙的速度大于甲的速度，因此乙在前面，甲匀速运动开始追乙，乙做匀减速运动，当t＝6 s时，甲、乙再次相遇，因此在2～6 s内，甲在乙后面，故B正确；由图象可知，两物体相距最远时刻出现在甲追乙阶段，即当两物体的速度相等时，甲、乙相距最远，此时t＝4 s，故C错误；整个过程中乙物体一直向前运动，先加速后减速，故D错误．
7．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v－t图象如图所示．则下列图象对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是(　　)

答案　AC
8．甲、乙两个物体从同一地点出发，在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度图象如图6所示，则(　　)

图6
A．甲、乙两物体运动方向相反
B．t＝4 s时，甲、乙两物体相遇
C．在相遇前，t＝4 s时甲、乙两物体相距最远
D．在相遇前，甲、乙两物体的最远距离为20 m
答案　CD
9．从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度—时间图象如图8所示 .在0～t2时间内，下列说法中正确的是(　　)

图8

A．Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小
B．在第一次相遇之前，t1时刻两物体相距最远
C．t2时刻Ⅰ物体在Ⅱ物体前方
D．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是
答案　CD
解析　速度—时间图象中Ⅰ物体速度图线的斜率逐渐减小，即Ⅰ物体的加速度逐渐减小，所以Ⅰ物体所受合外力不断减小，Ⅱ物体速度图线的斜率逐渐增大，即Ⅱ物体的加速度逐渐增大，所以Ⅱ物体所受合外力不断增大，A错误；在0～t1时间内，Ⅱ物体的速度始终大于Ⅰ物体的速度，所以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时，两物体相距最远，B正确；在速度—时间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移，故到t2时刻，Ⅰ物体速度图线所围面积大于Ⅱ物体速度图线所围面积，两物体平均速度不可能相同，C正确，D错误．
三、非选择题
10．酒后驾车严重威胁公众交通安全．若将驾驶员从视觉感知前方危险到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离．科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化．一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动v－t图线分别如图9甲、乙所示．求：

图9
(1)正常驾驶时的感知制动距离x；
(2)酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离Δx.
解析　(1)设驾驶员饮酒前、后的反应时间分别为t1、t2，由图线可得：t1＝0.5 s，t2＝1.5 s
汽车减速时间为t3＝4.0 s
初速度v0＝30 m/s
由图线可得：x＝v0t1＋t3
解得：x＝75 m
(2)Δx＝v0(t2－t1)＝30×(1.5－0.5) m＝30 m
答案 (1)75 m　(2)30 m
11．某天，小明在上学途中沿人行道以v1＝1 m/s速度向一公交车站走去，发现一辆公交车正以v2＝15 m/s速度从身旁的平直公路同向驶过，此时他们距车站x＝50 m．为了乘上该公交车，他加速向前跑去，最大加速度a1＝2.5 m/s2，能达到的最大速度vm＝6 m/s.假设公交车在行驶到距车站x0＝25 m处开始刹车，刚好到车站停下，停车时间t＝10 s，之后公交车启动向前开去．不计车长，求：
(1)若公交车刹车过程视为匀减速直线运动，其加速度a2大小是多少？
(2)若小明加速过程视为匀加速直线运动，通过计算分析他能否乘上该公交车．
答案　(1)4.5 m/s2　(2)见解析
解析　(1)公交车的加速度a2＝＝ m/s2＝－4.5 m/s2
所以其加速度大小为4.5 m/s2.
(2)汽车从相遇处到开始刹车用时t1＝＝ s＝ s
汽车刹车过程中用时t2＝＝ s
小明以最大加速度达到最大速度用时t3＝＝ s＝2 s
小明加速过程中的位移x′＝(v1＋vm)t3＝7 m
以最大速度跑到车站所用的时间t4＝＝ s
t3＋t4<t1＋t2＋10 s，故小明可以在汽车还停在车站时上车．
12．具有我国自主知识产权的“歼－10”飞机的横空出世，证实了我国航空事业在飞速发展，而航空事业的发展又离不开风洞试验，其简化模型如图8a所示．在光滑的水平轨道上停放相距x0＝10 m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车．在弹射装置使甲车获得v0＝40 m/s的瞬时速度向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的v－t图象如图b所示，设两车始终未相撞．

图8
(1)若甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，求甲、乙两车的质量比；
(2)求两车相距最近时的距离．
答案　(1)　(2)4 m
解析　(1)由题图b可知：甲车加速度的大小a甲＝ m/s2，
乙车加速度的大小a乙＝ m/s2
因甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，所以有：
m甲 a甲＝m乙 a乙
解得＝.
(2)在t1时刻，甲、乙两车的速度相等，均为v＝10 m/s，此时两车相距最近
对乙车有：v＝a乙 t1
对甲车有：v＝a甲(0.4－t1)
可解得t1＝0.3 s
车的位移等于v－t图线与坐标轴所围的面积，有：x甲＝ m＝7.5 m，x乙＝ m＝1.5 m
两车相距最近时的距离为xmin＝x0＋x乙－x甲＝4 m.