2023年高考数学一轮复习 新高考5.3A版 专题三 函数 考点精析.pdf

专题三函数概念与基本初等函数3.1 函数及其性质基础篇考点清单 课标考点知诵林理高考隼寺易佛清单考点一函数的概念及表示1.函数与映射的概念函数映射两集合4、8设A、B是两个非空数集设4、8是两个非空集合对应关系/：AtB如果按照某种确定的对应 关系/，使对于集合4中的 任意一个数X,在集合 B中都有唯一确定的数/(X)和它对应如果按照某一个确定的对 应关系/,使对于集合4中 的任意一个元素工，在集合 8中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称力4-8为从集合4到集 合8的一个函数称对应关系为从集 合A到集合B的一个映射记法,xeA对应关系/：AB2.函数的定义域、值域在函数y=/(x),x e4中/叫做自变量声的取值范围4叫 做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值.函 数值的集合叫做函数的/弛.显然，值域是集合 8的子集.3.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.4.相等函数:如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.考点二分段函数1.常用的函数表示法:解析法、列表法、图象法.2.分段函数若函数在其定义域的为旺基上，因对应关系不同而分 别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数 虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.注意(1)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并 集，其值域等于各段函数的值域的并集.(2)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问 题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应 关系,离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.考点三函数的单调性及最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数续表增函数减函数定义一般地，设函数/(%)的定义域为/.区间 g,如果对于 任意%,%2 E D,且%)0旬(x)在a,以上是增函数；X-x2/(%.)-/(x2)210旬()在许日上是减函数.xl-x2(ii)(X|-x2)/(x,)(x2)0旬(%)在a,6上是增函数;(x,-x2)/(%,)f(x2)0=?/(%)在(1,6上是减函数.(b)复合函数的单调性函数y?，在函数y=/(p(x)的定义域上，如果y=/(“),=(p(x)的单调性相同，那么y=/(p(x)单调递增;如果y=/(),u=3(x)的单调性相反，那么叭x)单调递减.(c)函数单调性的常用结论(i)若(尤)均为区间4上的增(减)函数，则/(%)+g(x)也是区间4上的增(减)函数.(ii)若40,则好(无)与/(无)的单调性相同，若友0)在公共定义域内与y=f(x),y=Jr的单调性相反./(%)(iv)函数y=/(无)(/(%)0)在公共定义域内与y-J艮x)的单调性相同.(2)单调区间的定义若函数/(%)在区间。上是单调增函数或单调减函数，则称 函数/(%)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=/(%)的单调区间.注意单调区间只能用区间表示，当一个函数的增区间(或 减区间)有多个时,不能用“U”连接,而应该用“和”或“，”连接.例如：y=-5-的单调减区间为(-8,0)和(0,+8),但不能写成 X(-8,0)U(0,+8).专题三函数概念与基本初等函数/二2.函数的最值前提一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的苫/,都有/(%)WM(2)存在X。e/,使得 f(3)=M(1)对于任意的x e/,都有(2)存在使得/(%。)=M结论M是f(x)的最大值M是/(x)的最小值考点四函数的奇偶性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数/(X)的定义域内 任意一个X,都有/(-x)=/(x),那么 函数/(X)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数/(X)的定义域内 任意一个X,都有/(r)=-f(x),那 么函数/(X)就叫做奇函数关于原点对称2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(2)在公共定义域内，(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数；(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数；(iii)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.考点五函数的周期性1.周期函数的概念对于函数/(%)，如果存在一个非零常数T,使得当%取定义 域内的任何值时,都有/(x+T)=f(x)，那么函数/()叫做周 期函数，非零常数T叫做/(光)的周期.如果所有的周期中存在一 个最小的正数，那么这个最小正数就叫做了(久)的最小正周期.2.关于函数周期性的几个常用结论(1)若/(尤+a)=/(x+，)(a4)，则/(C的周期是 7=l a-用.(2)若/(x+a)=/x),则/(x)的周期是 T=2l al.(3)若/(+&)=-c/(x+a)=-77,其中/(龙)W0,贝1/(久)的周期是7=2是I.(4)设/(久)是R上的偶函数，且图象关于直线尤=a(。卢0)对称，则/(无)是周期函数,2l al是它的一个周期.(5)设/(%)是R上的奇函数，且图象关于直线x=a(aW0)对称，则/(%)是周期函数,4l al是它的一个周期.命篇知能雪知能拓展 i1刻剖析知懦内涵 会面提升美键靛力5年高考3年模拟A版 高考数学/一2考法一函数定义域的求法例1 函数/(久)=不+l n(x+4)的定义域为.解题导引根据函数式的结构列不等式组,然后解不等式 组求出定义域.(4-4 力0解析 要使/(无)有意义，则有-U+40,-4x Wl,r.函数/(x)的定义域为(-4,1.答案(-4,1方法总结已知函数的解析式求定义域，解此类题要从使 解析式有意义的角度入手.一般来说，在高中范围内涉及的有：(1)开偶次方时被开方数为非负数；(2)分式的分母不为零；(3)零次哥的底数不为零；(4)对数的真数大于零；(5)指数、对 数的底数大于零且不等于1；(6)实际问题还需要考虑使题目本 身有意义.例2 已知函数/(2x+l)的定义域为(0,1),求/(无)的定义域.解题室I函数/(2x+l)中的自变量是谁？(0,1)是谁的 取值范围？要求/(无)的定义域是求/(2x+l)中谁的取值范围？解析/(2彳+1)的定义域为(0,1),0久1,.12#+13,，/(4)的定义域是(1,3).方法总结求复合函数的定义域的题目一般有两种情况：(1)已知y=/(x)的定义域是从，求y=/g(x)的定义域，可 由g(%)eA求出的范围，即为y=Hg(%)的定义域.(2)已知y=/t g(x)的定义域是4,求),=/(%)的定义域，可 由4 求出g(%)的范围，即为、=/(尤)的定义域.经典例题教师用书例 已知函数y=/(无)的定义域为(-1,0),则函数y=/(2x+1)的定义域为)A.(-IJ)c.(-i,o)D.解析 由已知得1 2久+1 0,解得1%0,解得工 l o g2(x-l)#0,N 3,因此函数/(x)的定义域为3,+8).(2)要使函数/(4)有意义，则1-v()1解得:彳0,2函数/(久)的定义域为考法二函数解析式的求法例3 已知/(五+1)=久+2正，求/(久)的解析式.解题导引解法一：设2=忘+1,解出X=(l)2,代入函数 式得/(尤)的解析式.解法二:把式子 叶2正配凑为关于石+1的式子结构得/(%)的解析式.解析解法一：设=77+1(/力 1 1)2z)=(t-1)-+2(z 1)=厂2f+1+2z-2=z 1.x)=X-1(x N 1).解法二:x+lJ x=(7x)2+2a/%+1-1=(而/./(7x+l)=(Vx+l)2-l,./(x)=x2-1(x 1).方法总结1.换元法.已知/z(x)=g(x),求/(x)时，可 设做了)=,从中解出明代入g(无)进行换元.应用换元法时要注 意新元的取值范围.2.配凑法.已知/以无)=g(无)，求/(无)的问题，可把g(x)整理或配凑成只含M无)的式子，用无将人(无)代换.例4 已知/(x)是一次函数且满足(尤+1)-劣(x-l)=2 久+17,求/(%).解题导引 设/(%)=a%+6(a声0),代人y(X+1)-(#-1)=2x+17得关于a,6的方程组，求出a,6的值，得/(%)的解析式.解析设/(*)=ax+6(a/0).y(x+1)2/(x 1)=2x+17,3ax+3a+3b-2ax+2a-2b-2x+17.ax+b+5a=2x+17.(a-2,f a=2,、/.s/././(x)=2x+l.l/+5a=17,(6=7.方法总结待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函 数、二次函数)，比如二次函数可设为/(%)=a+/+c(a，0)，其 中a4、c是待定系数，根据题没条件列出方程组，解出待定系数 即可.例5 定义在(-1,1)内的函数/(%)满足=l g(%+l),求函数/(*)的解析式.解题导引 令X为-X,得关于/(%),/(-X)的一个方程，从 而求出/(X)的解析式.解析尤时，有4(x)-/(-x)=l g(尤+1).以-尤代无，得 2f(-x)-jx)=l g(-x+1).联立彳 Y()/-x)=l g(x+l),2 1解得/(*)=于 l g(4+l)+y l g(If),x e(-1,1).方法总结解方程组法.已知/(工)满足某个等式，这个等式 除/(%)是未知量外，还有其他未知量，如/(十)等，必须根据已 知等式构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出/(4).经典例题教师用书例(1)已知/(%)是二次函数，若/(0)=0,且/(x+l)=/(x)+%+1，试求函数/(%)的解析式；(2)已知=d+，求人%)；(3)已知/(；+1)=3x,求/(%)的解析式；(4)已知函数/(%)满足/(4)+(F)=%k求/(X)的解 X析式；(5)已知定义域为R的函数/(%)满足/(/(%)-+%)=/(%)-了+%.若有且仅有一个实数与，使得/(3)=%。，求函数;(%)的解 析式.解析(1)设/(冕)=a%2+f ex+c(a0),由/(0)=0 知 c=0,所以/(%)=ax2+Ax.由 f(%+l)=/(%)+%+l,得 a(%+1)2+6(%+1)=ax2+bx+x+1,即 ad+(2a+6)x+a+b=ax2+(6+1)%+l,J 2a+b=b+1 故有=a=b=与.2因此，/(工)=3-+-.(2)解法一(配凑法)：43+_L=所以/(%)=%3-3%(%32或忘-2).解法二(换元法)：令t=x+-(t2或t W-2),则t2-2=x2+XOT=(f，所以小)=一 3),所以/(%)=%3-3%(%22 或4W-2).2 2(3)令 I-+1(x 0),贝I x-(zl),x t-12 2(4)由/(%)+(-%)=*-,得/(-%)+M*)=-*+-,X X贝 i j/(%)=-%+X(5)因为对任意.R,有/(/(%)-必+%)=/(%)-+%有且只有一个实数0,使得/(%。)=%0,所以对任意%e R,有/(%)-+%=0,在上式中令%=%o,有/(%()-%;+%o 二%0，又因为/(%0)=%0,所以“0=0,故 0=0 或0=L 若xo=0,则/(x)-x2+x=0,即/(%)=/_%,但方程%2 一%=%有两个不同实根，与题设条件矛盾，故化0 X0；若0=1,则有/(%)-%?+%=1,即/(X)=%2 一%+1,易验证该函 数满足题设条件.综上，所求函数解析式为/(%)=%2_%+1.考法三分段函数问题的解题策略2*2%v 1,且/()=-3,则-l o g2(%+1),%1,/(6-a)=.解题导引 分类讨论a的范围，求出a的值，得/(6-.)的值.解析 当a这1时，/(q)=2-2=-3,无解.当 a 1 时，由/(a)=-l o g2(a+1)=-3 得 a+1=8a=7,./(6-)=/(-l)=2-2=4311-y方法总结分段函数问题的常见题型及解法1.求函数值.弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算.专题三函数概念与基本初等函数/一32.求函数最值.分别求出每个区间上的最值，然后比较大小.3.解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入 相应的解析式求解.4.求参数.“分段处理”，采用代人法列出各区间上的方程.经典例题教师用书%+2a%2若/(/(1)3片，则。2+1,x33a2,即/_2。_30,解得-l a2.当-1,2时，/(“)=/1 2 9x2-x-2=I%I-彳，由二次函数的性质可得/(%)e 一9，所以函数的值域是4,0U(2,+8).答案上，0卜(2,+8)5年高考3年模拟A版 高考数学考法四判断函数单调性的方法例1 已知/(尤)=/+/*.证明：/(无)在(0,+8)上为增函数解题导引 证法一：任取孙，2 (，+8),且%I%2，然后作差/(冬)也犯)，变形、定号、判断.证法二：先求导数/(%),然后判断/(%)与零的大小关系，最后作出判断.证明 证法一：任取力,%2(，+8),且孙 孙，贝/(孙)一/(町)=,+屋,-e-e=(e-e)(3一 1).1 0 x,0,*.*e 1,%+%20,*cx+x：1,-x 1 0,)-f(%?)0,/(町)0,el r-10,/(%)0,./(%)在(0,+8)上为增函数.方法总结(1)用定义法判断函数/(%)在给定区间。上的 单调性的一般步骤：硝/(4)-/(勾(蜘(勾式(崂)需通过因式分解、配方、通分、分母(分子)有理化 竿L等方法，向有利丁判断差的符号的方向变形良久 确定(或/(/)-/(%)的正负，当正负不确 丁厂!定时需进行分类讨论一下论H指出函数/3)在给定区间。上的单调用(2)用导数法判断函数单调性的步骤为求定义域一求导一 解不等式/()0(或()0)t单调性.解析式为三次或分式 或指数、对数式的复合函数的单调性常用导数法判断.例2 函数y=l x l(l-x)的增区间为()A.(-8,0)B.o,y C.0,+8)D.(：,+8)解题导引去绝对值符号转化为分段函数，画图象得增区间.y 1%I(1解析，(1-%)(%20),-%)=(-%(1-%)(%0)-x2+x(x0),x2-x(x 0)-卜一9)+十(4 0),画出图象如图所示.(%一了)_+(x 0,.3c x1.：.fx的定义域为 j x I-3x 1.令 u=-x2-2x+3,-3xch B.h ca C.h ac D.ah c解题导引 由/(-”)=/(窕)得/(%)为偶函数，然后得出/(%)在(0,+8)上的单调性，从而比较大小.解析 易知/(%)为偶函数，因为a=/(l o g 4-3)=/(-l o g23)=/(10区3),且1。出3：，022y 2-L2 0.又/(x)在区间(-8,0)内单调递增，且/(无)为偶函数，所以/(尤)在区间(0,+8)内单调递减，所以/(l o g 3)/(y)c a.故选 B.答案B方法总结 应用函数单调性比较大小时应将自变量转化到 同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.例5(2020河北邯郸空中课堂备考检测，12)设/(无)=+%+1 x N 0若对任意的x e m,m+，不等式/(2-x)N/(4+e x-x+l,x 0 时,-x 0,则/(-尤)=e*+x+1=/(%)；当 x 0,.-.且4-2。+3。20,.二 a e(2)由题意得E-4,4.故选 D.0a1,4a-3 p 1 3 一0,解得丁3al o ga(0+l)+l,的取值范围是9，告，故选C.答案(1)D(2)C方法总结 利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数 的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比 较求参数.需注意:若函数在区间a,口上是单调的，则该函数在此 区间的任意子集上也是单调的；对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外,还要注 意衔接点的取值.考法六函数奇偶性的判断及应用例7 判断下列函数的奇偶性./(4)=(-l)A/p；(2)/(x)=l g(1 AV 1-x lx-21-2(%2+%(X0),)-(3)/(%)=(4)/(%)=3-%2+-3；(5)/(%)=x-x-a +2.1+%解析(1)由-20,得定义域为-1,1)，不关于原点对 称，故/(冕)为非奇非偶函数.(2)由一：；得定义域为(-1,0)U(0,l),关于原(x-2-2#0,点对称，这时/(%)=lg(l-%2)=lg(l-%2)-(%-2)-2 x 方法总结解此类不等式主要是利用函数的单调性脱去函数符号.可按下列步骤进行.(1)先将不等式化为/(%)6出)的形式.(2)若函数在(a,6)内递增，则由axt b,ax2b,xt x2联 立解不等式组;若函数在(a,6)内递减，则由a%,b,ax2 x2联立解不等式组.(3)写出不等式的解集.例 6(1)若函数 y=l o g-L(A：2-ax+3a)在区间(2,+8)上是减函数，则Q的取值范围为()A.(o o,-4)U2,+o c)B.(4,4C.-4,4)D.-4,4(2)(2019福建三明模拟，7)已知函数/(%)=(x2+(4a-3)x+3a,xQ,.w v.,、(a0且a/l)在R上单调递减，则。的l l o g(x+l)+l,x 0取值范围是()/(-%)=-x=lg(1),=_(苫),./(%)为奇函数.X(3)当%0,贝/(-%)=(-%)2-(-%)=%2+%=/(%)；当 x0 时，一+(-%)=-%=/(%).对任意 (-00,0)U(0,+o o)都有/(-”)=/(%),故/(%)为偶函数.(3%20,_ _(4)由(得=-/或=-320,函数/(欠)的定义域为 又对任意的%1-73!,/(%)=0,/(-%)=/(”)，且/(-%)=7%)./(冕)既是奇函数又是偶函数.(5)函数/(%)的定义域为R.当a=0时，%)是偶函数；专题三函数概念与基本初等函数/一5当 qWO 时，/(a)=矿+2,/(-a)=a-2 a +2,/(a)展/(一0),且/()(一)=2(屋-向+2)=2(1。1-；1+高六0,./(x)是非奇非偶函数.方法总结判断函数奇偶性的一般方法1.定义法(非奇非偶函数)否(求函数定义域H慧务于产西5(确定/与/(-*)的关系)-(结论)2.图象法(关于原点对称)(火X)为奇函数(危)的图象gu断(关于)轴对称“(X)为一函数)3.性质法若/(%),g(%)在其公共定义域上具有奇偶性，则奇+奇=奇;奇、奇=偶，偶+偶=偶，偶、偶=偶，奇、偶=奇.2IvI+1+x3+2例8 已知函数/(%)=的最大值为M,最小值2+1为外则M+m等于()A.O B.2 C.4 D.8解析易知/(X)的定义域为R,5年高考3年模拟A版 高考数学/一6设g(%)=2；+,则 g(-x)=-g(x)(x eR),g(x)为奇函数，,g(x)11Mx+g(x)mM=0-M=/(%)M=2+g(%)1Mx,rn=f(x)min=2+g(x)mi,A/+w i=2+g(%)max+2+g(x)mi=4,it i C.答案C方法总结函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分 利用奇偶性得出关于/()的方程，从而可得/(X)的解析式.(2)已知带有字母系数的函数的表达式及其奇偶性，求参 数.常常采用待定系数法，利用/(X)身(f)=0得到关于字母的 恒等式，由系数的对等性可得出字母的值.(3)求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的 增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等 基本初等函数的单调区间.常用方法有:根据定义,利用图象和单 调函数的性质等.(4)奇函数o图象关于原点对称；偶函数o图象关于轴对称.因此在关于原点对称的区间上，奇函数的单调性相同；偶函 数的单调性相反.考法七函数周期性的确定及应用例9(1)已知定义在R上的奇函数/(%)满足/(久-4)=/%),且在区间0,2上是增函数，则()A./(-25)(l l)/(80)B./(80)/(!)/-(-25)C./(l l)/(80)/(-25)D./(-25)/(80)利用换底公式变形得一分类讨论，得值域5%-1 5 7解析(1)由 y=可得 y=_一T7zr r-.-3 w/w-1,-7 4%+2 7 4 4(2%+1)7 7 7 8 8 J.元一记石广彳-彳三产3,即好y,3.1 力2(2)(代数换元法)令公，1%(20),贝I x=-.：.y=-t2(1 2 5 1 3+Z+1=-U-I+(0)./.当 二?，即黑=-时,y 取最大值,彳，且y无最小值，.二函数的值域为(-8,-j.(3)(三角换元法)令 x=3c o s 0,0 e,0,7r,则 y 3c o s 6+4+3si n 6=3Asin(6+-)+4.八 八 万八 ir 57r./八.0 Wg WT T,.，.WJh-W,/.-si n I 0-I W 1.5 4 4 4 2 4/1W)W371+4,.,.函数的值域为1,371+4.(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,整理得(y-2)6+2(y-2)x+3y+7=0.(X)显然yX2(运用判别式法之前，应先讨论d的系数).将(X)式看作关于久的一元二次方程.易知原函数的定义域为R,则上述关于x的一元二次方程 有实根，所以A=2(y-2)2_4(y-2)(3y+7)0.解不等式得.又)K2,二原函数的值域为l-y,2l.(5)y=l o g3x+l o gt3-1 变形得 y=l o g3x+-1.l o g3x当 l o g 34，即#1 时-1 2-1=1,当且仅当l o g3x=1,即X=3时取=.当 l o g 3%，即“1 时,yW-2-1=-3.当且仅当 l o g3x=-1,x=:时取=.综上所述，原函数的值域为(-8,-3 U 1,+8).例11(1)用mi n a,b,c 表示a,b,c三个数中的最小值.设/(%)=mi n|2、/+2,10-*(0)，则/(%)的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019陕西西安高新区一中模拟，6)已知函数/(久)=5-k)g 3%x e(3,27,则/(X)的值域是()A.(2,4 B.2,4)C.-4,4)D.(6,9解题导引(1)画出函数/(%)的图象，由图象得最大值.(2)函数/(%)=5-l o g3x为减函数,利用单调性求值域.解析(1)作出/(x)的图象(如图实线部分)，可知4(4,6)为函数/(久)图象的最高点.(2)因为y=l o g3x为增函数，所以/(x)=5-l o g3x为减函数.因为3x W27,所以l l o.尤3,所以2W/(先)0)，转化为二次函数求值域.三角换兀:如 y=x+-，可令 x=c o s 0,0 g.利用换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响.(4)判别式法把函数转化成关于4的一元二次方程，通过方程有实根，知 a%2+1)%+c判别式 0,从而求得原函数的值域，形如y=(a,a2x+b2x+c2a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解.用判别式法求值域的注意事项：函数的定义域应为R;分式的分子、分母没有公因式.(5)有界性法形如 si n a=/(y),x2=g(y),/=/?(y)等，由 I si n a I W 1,N 0,优0可解出y的范围，从而求出其值域.(6)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用 数形结合的方法.(7)基本不等式法利用基本不等式：a+b2-Tab(a0,60).用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.(8)单调性法:先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(9)图象法:先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点,求出最值.(10)导数法:先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后 结合端点值，求出最值.专题三函数概念与基本初等函数3.2二次函数与基函数基础篇里4支基考点清单 评标考点知幅林理高上靠考易彳号活单考点一二次函数1.二次函数的解析式(1)一般式：/(%)=a%?十及+4q六0)；(2)顶点式:若二次函数图象的顶点坐标为(6),则其解 析式为/(%)=a为7i)2+A:(aX0);(3)两根式:若相应一元二次方程的两根为孙，孙，则其解析 式为/(%)=0(欠一%1)(“一九2)(。卢)5年高考3年模拟A版 高考数学/一8(1)当-冬e m,n，即对称轴在所给区间内时，/(%)的最 2a小值在对称轴处取得，其最小值是人-5)=?；若一意五t,则/(%)的最大值为/(fi);若-！则/(%)的最大值 2 2a 2为 Km).(2)当-土生m,n,即给定的区间在对称轴的一侧时，2a/(%)在m/上是单调函数，若-3Vm,，则/(%)在上是增 2a函数，/(%)的最小值是/(机)，最大值是/();若几则/(%)在m，,屋上是减函数，/(%)的最小值是/(屋)，最大值是/(m).(3)当不能确定-二是否属于区间机,几时，则需分类讨 2a论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值.考点二幕函数1.幕函数的定义一般地，形如y=/(a e R)的函数称为幕函数，其中a为常数.2.基函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x：的图象x_ x 13.幕函数 y=x,y=x2,y=x,y=x2,y=的性质y=x2y-x1 y=”y=%,定义域RRR。,+8)(-oo,0)U(0,+8)值域R0,+8)R0,+8)(-00,0)U(0,+8)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-00,0)上减，(0,+OO)上增增增(-00,0)上减，(0,+8)上减定点(0,0),(1,1)(1.D翻篇知能当知能拓展：深刻剖析知幅内涵 全面提升关键靛力考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)例1(2019山西晋中模拟，18)已知/(x)=a_2x+”a,a e R.(1)求/(%)在0,2上的最小值g(a)；(2)若关于 x 的方程/(2，)=(a+1)4x-a (2+1)-2+,+3 有正实数根,求实数a的取值范围.解题导引(1)通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；(2)化简方程，得到4、-a-2,+2=0,令，=2(0),问题转 2化为了+=。在(1,+8)上有实根，求出a的取值范围即可.解析(1)当a=0时，/(%)=在0,2上单调递减，故最小值 g(a)=/(2)=-3.当a 00时，/(%)=ax2-2x+1-0是关于式的二次函数，其图2令/(f)=7+t,t e(1,+o c),则P(t)在(1,+8)上的值域为2疗,+8),故 a g 272,+8).方法总结二次函数求最值问题，一般先用配方法化成y=a(4-m)2+“(a#0)的形式，得其图象的顶点坐标为(m,n),对称轴为 直线=m，再结合二次函数的图象求解,常见的有三种类型：(1)对称轴、区间都是给定的；(2)对称轴动，区间固定；(3)对称轴定，区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点 一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点及两个端点的中 点，轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨 论的思想求解.对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外 两大类情况进行讨论.简单地讲,轴在区间外，端点处取最值,轴在区间内，顶点和 端点处有最值.经典例题教师用书例若函数/(%)=#-24+1在区间a,q+2上的最大值为 4,则a的值为()象的对称轴为直线x=.a当a0时,=-0 ft0,a当-i-e(0,2),即a时，/(%)在(0)上单调递戒，在上单调递增，故最小值g(a)=/(，)=1-加工；a)a/a当L 2,+8),即 0aw 4-时，/(%)在0,2上单调 a 2递减，故最小值 g(a)=/(2)=3a-3.13q3,a W,2综上所述,g(a)=0),则方程变形为t2-at+2=0,根据题意得，原方程4-a 2+2=0有正实数根，即关于，的一元二次方程/-必+2=0有大于1的实数根，2而方程广ai+2=00-nt=a在(1,+8)上有实根，A.l B.-l C.1 或-1 D.0解析,/函数/(无)=-2尤+1=(x-1)2在区间a,a+2上 的最大值为4,/(-1)=/(3)=4,.,.函数/(%)在区间a,a+2上 的最大值在x=-l或x=3处取得.结合二次函数图象可得q=-1,或q+2=3,.a=T,或a-.故选C.答案c例(2016皖北第一次联考，8)已知函数/(久)=-+2四+1-a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为()A.2 B.-1 或-3C.2 或-3 D.-1 或 2解析 函数/(x)=(x-a)2+2-a+l图象的对称轴为x=a,且开口向下，分三种情况讨论如下：当a这0时，函数/(无)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是 减函数，.,./(%)0,或=/()=1-a,由 l-a=2,得 a=-l.当0a W 1时，函数/(4)=-x2+2ax+1-a在区间0,a上 是增函数，在(a,1上是减函数，/(x)mo x=/()=a2+2a2+a=aa+1,由 a2-a+1=2,解得a 2-或a=2 00,.抛物线开口 向上，：e 1,4,3 3当工=5时,/(%)取得最小值且/(x)最小值=-彳；当支=4时,/(%)取得最大值，且/(x)最大值=11.故选D.答案D例(2016浙江名校(柯桥中学)交流卷四，18)已知/(4)=x2-3a2,g(x)=(2a+1)%.(1)若/(x)0t|解不等式组得结论II利用特殊值1和区间的)定义,得实数Q的范围专题三函数概念与基本初等函数/一9讨论函数P(x)在区间 内的最大值和最小值解析(1)令/(x)=/(%)-g(4)=x2-(2a+1)x-3a2,若a=0,则/(x)g(x)的解集为(0,1),不满足条件;若0片0,则 F(0)=-3a20,所以广川解得上U十,且l/(l)-gI W4a,可得:所以F(%)=-(2a+1)%-3a2的图象的对称轴为直线x=a1 1+,SL a+e2 2,(IF(l)l 4a,(1-20-302 1s4a则 即，I I/(4a)I 这4a,(15a2-4a I W4a,.2解得0 W a W，所1 1a;4 2IF(l)l 4a,1 2 l/(4a)IW4a,|F(a+T)I。，I-2a-3a21 W4a,bcJ 15。24。1 W4a,加出3一行一 _3+后16a2+4a+1 48 8W4a,也,1 3+6所以 a W G一 2 o综上，a的取值范围是a这一-.4 82，1 心亍mN 1+或 mW-K,-1 m0.故m的取值范围是则0,/(1)0,=N O,0-m0)的两实5年高考3年模拟A版 高考数学/2。考法二一元二次方程根的分布例2 已知关于非的二次方程1+2/71+2,?2+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区 间(1,2)内，求加的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围.解析 令/(x)=/+2m:+27n+1.(1)由条件知,抛物线/(x)=，+2m+2zn+l与x轴的交点 的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内，如图所示，则/(0)=2m+l 0,/(1)=4w+20故加的取值范围是r 1 m-.I 66 5 2)(2)抛物线与x轴的两个交点的横坐标均落在区间(0,1)内，如图所示，经典例题教师用书例已知函数/（x）=（m-2）+m*+（2m+l）（m六2）的两个 零点分别在区间（-1,0）和区间（1,2）内，则实数m的取值范围是（）解析 当ni-20,即m2时，需满足/(-l)=2;n-l 0,/(0)=2m+l 0,无解./(l)=4m-l 0,当机-20,即m2时，需满足/(-l)=2/n-l 0,/(O)=2m+lO,斛仔m e/(l)=4m-l0,/(2)=8m-70,故选A.答案A例 若关于尤的方程（m+3）-4mx+2m-l=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大，那么实数机的取值范围是（）答案A例（2017江西九江七校联考，13）若方程#-松+m-1=0 有两实根，则其中一根大于2,另一根小于2的充要条件是解析 令/(%)=x2-mx+m-1,由已知得/(2)m3.答案m3考法三 幕函数的图象及性质的应用例3（1）（2020广东揭阳三中第一次月考，7）如图的曲线是幕函数厂炉在第一象限内的图象.已知n分别取2,土;四（2）（多选题）（2019湖北荆门一模，4改编）已知点个值,与曲线g,a,a,c相应的 i iA.2,-2C.-,-2,2,A.-3m0C.m0B.Om3D.zn32,)解析由题意知，A=16m2-4(m+3)(2m-1)0,(1)4机%+%2=高百0,2m 1X.X-,=-0,m+3由解得-3m（其中abc且a70），若a+b+c=O,xl,x2为f（x）的两个零点,则出Fzl的取值范围为（）A.奇函数B.偶函数C.定义域每个区间内的减函数D.定义域每个区间内的增函数解题导弓（1）根据寻函数图象的变化规律求解.（2）先根 据题设条件求出事函数的解析式,后根据解析式判断各选项.解析（1）根据赛函数的图象与性质，得在直线#=1的右 侧越远离久轴的曲线，指数越大，所以与曲线C,C2,C3,C4相应 的n,依次为2,-2.故选A.A.B.(2,2V3)(2)设 y=/(x)=/,把(2,代入函数解析式中，得2C.(l,2)D.(1,2A)Q 解析/abc,a+b+c=0,a0,c 0,b=-a-c,0,%1,X2 ac-b0,1 h-0,2a2-(-2)-40,解得m=1,选B.答案B例（2019上海春，10,5分）如图，正方形O4BC的边长为专题三函数概念与基本初等函数/2一a(al),函数y=3/的图象交48于点Q,函数丁=/丁的图象交 8C于点P,则当14QI+1 CP I最小时,a的值为.IAQI+ICPI,则/()=上+L,所以/()=上+,N 2/-二当且仅当上=，即时取等号，此时a=VJ.73 t答案73例(2017山西一模，13)已知函数/(*)=/-1是定义在区 间-3-机,上的奇函数，贝IJ/(机)=.解析 由已知有一3-机+m2-m=0,即m2-2m-3=0,m=3 或 m=-1；当 m=3 时，函数为/(%)=%-,x e -6,6，而/(%)在%=0 处 无意义，故舍去.当m=-l时，函数为/(%)=”、此时x E -2,2,./(机)=/(-1)=(-1)3=-1.综上可得，/(机)=-1.答案-15年高考3年模拟A版 高考数学3.3指数与指数函数基础篇里4支基考点清单 课标考点知诵梳理高考隼考易转清单考点指数与指数函数1.根式的概念2.两个重要公式(a 为奇数,根式的概念符号表示备注一般地，如果=Q,那么化 叫做a的n次方根;心1且 e N*当,是奇数时，正数的n次 方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数零的n次方根是零当是偶数时，正数的八次 方根有两个,这两个数互为 相反数7a(a0)负数没有偶次方根(X)=2(注意a必须使而有意义).3.有理指数事(1)哥的有关概念(i)正数的正分数指数幕:。丁=7(a0,?n,，2 eN*,且”1)；,1 1(ii)正数的负分数指数赛:a=(aO.m.ne N*,a左且儿1);(iii)O的正分数指数骞等于。,0的负分数指数暴没有意义(2)有理指数幕的性质(i)aa=a*(aO,r,s e Q)；(ii)(a)=a(aO,r,s e Q)；(iii)(a6)r=ar6r(aO,6O,r eQ).4.指数函数的图象与性质5.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数a 10a0 时,yl；当0时,0勺0时,0勺1；当%l在(-8,+00)上是单调增函数在(-8,+8)上是 单调减函数大小的关系如图所不，其中0c J l a0.62C.0.8-(,11.25a2