高二期末训练题.doc

高二期末训练题
一．选择题 。
1. 设,则集合A中的元素个数为.（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
2. 设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0与a2x2+b2x+c2＞0的解集相同；命题Q：。则命题Q（ ）
A.是命题P的充分必要条件 B.是命题P的充分条件但不是必要条件
C.是命题P的必要条件但不是充分条件
D.既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件
3. （ ）
A.0 B. C.1 D.2
4. 分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.必要或充分条件
5. 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（ ）
A.-1 B.+1 C.2+2 D.2-2
6. 设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7. 抛物线 的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 在同一坐标系中，方程的曲线大致是（ ）

9. 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）
x
－1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
20.09

1
2
3
4
5

A. B. C. D.
10. 如图，所在的平面和四边形所在的平面垂直，
且， ， ，，
，则点在平面内的轨迹是（ ）
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
二.填空题。
y
x

1
0
-1
y=g(x)
y=f(x)
11. 曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为= .
12. 是奇函数，它们的定义域均为，
且它们在上的图象如图，则不等式 .．
13. 已知，且关于x的函数f(x)=在R上有极值，则与
的夹角范围为_______．
14. 若x，y∈R，且满足＝6，则x＋2y的最小值是________，最大值是_______.
15. 设x、y是两个实数，给出下列五个条件：①；②；③；
④；⑤其中能推出“x、y中至少有一个数大于1”的条件是___________.
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案

三.解答题 。
16. 已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

17. 已知函数f(x)= ∣x-a∣.
(Ⅰ)若不等式f(x) 3的解集为，求实数a的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

18. 如图，△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA = BC = 2，AB = 4，M、N、D分别是SC、AB、BC的中点. 试用向量知识
(1)求证：MN⊥AB.
(2)求二面角S－ND－A的余弦值.

19. 已知函数f(x)= (3x－b)的图象过点A（1，2），（2，5）
(1)求函数f－1(x)的解析式；
(2)记an=3f -1 (n),n∈N*,是否存在正数k,使得（1+）(1+)…(1+)≥k对一切n∈N*均成立，若存在求出k的最大值，若不存在说明理由.

20. 已知函数.
(1)设.试证明在区间 内是增函数；
(2)若存在唯一实数使得成立，求正整数的值；
(3)若时，恒成立，求正整数的最大值.

y

O

.
.

x
.
21. 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点，，是相应
椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点.
（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）当时，求的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，
使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
C
D
B
D
C
D
B
A
A
A
A
C
A
D
D
16
17
18
19
20

B
B
C
D
B

1. 解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,
3. 设(），即点在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形面积

∴（此时）
∵
∴的最大值为，
∴点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点．
4. 解析: 可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短.
5. 解析:
10. (x+5)2+y2=16
11. 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..
【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.
14. ① 正确，此点为点； ② 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）； ③ 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点
16. 可以计算出 , ∴A={2,-1} 选B
19. 若且 所以，∴ ，则()≥，选D
二.简答题答案:
21.
解析: 焦半径公式.
22.
【解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，画出三条直线的图象如右图，可求得A（，），B（1,0），三角形AOB的面积为：＝
23. ③
24.
25.
26.
27.
28. 32；80
三.解答题答案:
29.
30. (1)由已知得 解得 ∴f(x)=(3x+1) (4分)
令y=f(x),由y= (3x+1)得3x=2y-1,∴x=log3(2y-1) ∴f-1(x)=log3(2x-1)(x>)
(2)an=3log3(2n-1)=2n-1,n∈N* 设存在正数k，
使（1+）(1+)…(1+)≥k成立
则k≤,
记F(n)= ,则
F(n+1)= ,

∴F(n+1)>F(n) ∴F(n)是随n的增大而增大 （10分）
∵n∈N*,∴当n=1时，F（n）min=F(1)=, ∴k≤,即k的最大值为.
31. （1）解：取AB中点G，连FG、CG，则FG∥AE，
又AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD,
∴FG∥CD,∴F、G、C、D四点共面.
又平面FGCD∩平面ABC=CG，DF∥平面ABC，
∴DF∥CG,∴四边形FGCD是平行四边形，

(2)证明：直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中点，∴AF⊥BE，
又△ABC中，AC=BC，G是AB中点，∴CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，∴AE⊥CG，
又AE∩AB=A，∴CG⊥面ABE. ∵DF∥CG，∴DF⊥面ABE，∴AF⊥DF
又∵BE∩DF=F，∴AF⊥面BED，∴AF⊥BD .
（3）解：设面ADF∩面ABC=L，∵DF∥平面ABC，∴DF∥L，
又DF⊥面ABE，∴L⊥面ABE，∴L⊥AF，L⊥AB，
∴∠FAB即为所求二面角的平面角. 直角三角形ABE中，易得∠FAB=45°
∴平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°.
解法二：（1）同解法一.
（2）取AB中点G为坐标原点（0，0，0），连GC，以GC为x轴正向,以GB为y轴正向.做GH⊥平面ABC，以GH为z轴正向，易证GH必过F点，由AB=AE=2.
由此得G（0，0，），A（0，-1，0），F（0，0，1），B（0，1，0），E（0，-1，2），D（x,0,1)
=(0,1,1),=(x,-1,1) ∵·=0·x+1×(-1)+1×1=0
∴AF⊥BD
(3)由解法一可知，∠FAB为所求二面角的平面角.=（0，1，1），=（0，2,0）

32. ∵平面ABCD⊥平面DCEF，ABCD为正方形，DCEF为直角梯形，
∴以DA所在直线为x轴、DC所在直线为y轴、DF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则 …………2分
（1）……2分
∴异面直线AC与EF所成的角为. …………2分
（2） ∴
∴平面BDF的法向量为，…………1分
又设平面BEF的法向量，
则由 取
∴平面BEF的法向量为 …………2分

∴二面角的大小为 …………2分
（3）易知BF的中点H就是球心，HA＝HB＝HC＝HD＝HF＝…………2分
∴ …………1分
33. (Ⅰ)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3
又已知不等式f(x) 3的解集为，所以解得a=2.
(Ⅱ)当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5)，于是
g(x)=|x-2|+|x+3|=
所以当x<-3时,g(x)>5
所以当-3≤x≤2时,g(x)=5
所以当x>2时,g(x)>5
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)+f(x+5)≥m即g(x) ≥m 对一切实数x 恒成立，则m的取值范围为(-，5].
解法二：
(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5).
由∣x-2∣+∣x+3∣≥∣(x-2)-(x+3)∣=5 (当且仅当-3x2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)+f(x+5) ≥m 即 g(x) ≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-，5].
34. （1） ，
，
于是，所求“果圆”方程为
，.
（2）由题意，得 ，即.
，，得.
又. .
（3）设“果圆”的方程为，.
记平行弦的斜率为.
当时，直线与半椭圆的交点是
，与半椭圆的交点是.
的中点满足
得 .
， .
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是.
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上.
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.

35. （1）依题意，令

（2）
（ⅰ）当时，，
，若存在满足条件的点M，则有：
,,即这样的点M存在，且坐标为
（ⅱ）
令(x)=0，即3x2+4bx+b2+c=0；而=16b2－12(b2+c)=4(b2－3c)，
若=0，则(x)=0有两个相等的实根，设为x0，此时(x)的变化如下：
x

x0
（

+
0
+
于是不是函数的极值点.
的变化如下：
x

x1

（

+
0
—
0
+
由此，x=x1是函数F(x)的极大值点，x=x2是函数F(x)的极小值点.
综上所述，当且仅当