数学天地.doc

数学天地：唐诗中的“数字”

　　欣赏唐诗，常常发现许多含有数字的句子，这些简单的数字就它本身来说，既无形象，也不能抒情言志，但经诗人妙笔点化，却能创造出各种美妙的艺术境界，表达出无穷的妙趣。

　　(一) 数字的连用

　　“两人对酌山花开，一杯一杯复一杯。我醉欲眠卿且去，明朝有意抱琴来。”这是李白的《山中与幽人对酌》。诗得首句写“两人对酌”，对酌者是意气相投的“幽人”，于是乎“一杯一杯复一杯”地开怀畅饮了，接连重复三次“一杯”，不但极写饮酒之多，而且极写快意之至，读者仿佛看到了那痛饮狂歌的情景，听到了“将进酒，杯莫停”(《将进酒》)那兴高采烈的劝酒的声音，以至于诗人“我醉欲眠卿且去”，一个随心所欲，恣情纵饮，超凡脱俗的艺术形象挥之欲出。

　　(二)数字的搭配

　　“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪。门泊东吴万里船。”这是杜甫的即景小诗《绝句》。

　　“两个”写鸟儿在新绿的柳枝上成双成对歌唱，呈现出一派愉悦的景色。“一行”则写出白鹭在“青天”的映衬下，自然成行，无比优美的飞翔姿态。“千秋”言雪景时间之长。“万里”言船景空间之广，给读者以无穷的联想。这首诗一句一景，一景一个数字，构成了一个优美、和谐的意境。诗人真是视通万里，思接千载，胸怀广阔，让读者叹为观止。

　　(三)数字的对比

　　“黄河远上白云间，一片孤城万仞山。羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关。”这是王之涣《凉州词》。这首诗通过对边塞景物的描绘，反映了戍边将士艰苦的征战生活和思乡之情，表达了作者对广大战士的深切同情。首联的两句诗写黄河向远处延伸直上云天，一座孤城坐落在万仞高山之中，极力渲染西北边地辽阔、萧疏的特点，借景物描写衬托征人戍守边塞凄凉忧怨的心情。千岩迭障中的孤城，用“一”来修饰，和后面的“万”形成强烈对比，愈显出城地的孤危，勾画出一幅荒寒萧索的景象。

　　(四)用数字点睛

　　“万木冻欲折，孤根暖独回。前村深雪里，昨夜一枝开。风递幽香出，禽窥素燕来。明年如应律，先发望春台。”这是齐己的五言律诗《早梅》。齐己曾就这首诗求教于郑谷，，诗的第二联原为“前村深雪里，昨夜数枝开。”郑谷读后说：“‘数枝’非‘早’也，未若‘一枝’佳。”齐己深为佩服，便将“数枝”

　　改为“一枝”，并称齐己为“一字师”，这虽属传说，但说明“一枝”两字是极为精彩的一笔。这首诗的立意在于“早”：一场大雪过后，万物被积雪所盖，唯见一枝坚毅的梅花蓓蕾初放。

　　“一”在此表示少，但突出的却是＂早＂，而“一枝开”使人联想到“昂首怒放花万朵”，其中蕴含的对梅花顽强生命力的赞颂又自在言外。“一”字妙用，切合了“早梅”的立意，在全诗中起到了画龙点睛的作用。

　　唐诗中运用数字的例子是不胜枚举的，仅此文一斑，我们便可窥见数字在诗人笔下所产生的审美情趣是多么神奇。
数学家祖冲之的故事

　　祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．

　　祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形， 求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率 ，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率， 外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．

　　祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元．

　　祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理， 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．
数学家苏步青的故事

　　苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可量，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。

　　那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。

　　杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。

　　17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”

　　这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心。
数学家故事：失明的数学家欧拉

　　欧拉的惊人成就并不是偶然的。他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾较大的孩子在旁边喧哗。欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，过了30年以后，他的另一只眼睛也失明了。在他双目失明以后，也没有停止过数学研究。他以惊人的毅力和坚韧不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，还口述著作了几本书和400篇左右的论文。由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。

　　欧拉在他的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如sinx，cosｘ，……等等直到现今还在用。

　　欧拉1720年秋天入巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰·伯努利的尝识，给以特别的指导。欧拉同约翰的两个儿子尼古拉·伯努力和丹尼尔·伯努利也结成了亲密的朋友。

　　欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金，从此开始了创作生涯。以后陆续得奖多次。1725年丹尼尔兄弟赴俄国，向沙皇喀德林一世推荐欧拉，于是欧拉于1727年5月17日到了彼得堡，1733年丹尼尔回巴塞尔，欧拉接替他任彼得堡科学院数学教授，时年仅26岁。

　　1735年，欧拉解决一个天文学的难题（计算慧星轨道）。

　　这个问题几个著名数学家，几个月的努力才得以解决，欧拉却以自已发明的方法，三日而成。但过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明，这时才28岁。
数学故事：０和它的数字兄弟

　　有一天，森林里面来了一群特殊的“客人”。它们长相很特别，动物们都很奇怪，要求他们一一介绍自己。第一 个走出来一个瘦子，它说：“我是 1，像支铅笔细又长”。接着又走出一个说：“我是 2，像只小鸭水上飘。” 第三个说“我是 3，像只耳朵听声音。”“我是 4，像面小旗随风飘。”“我是 5，像支衣钩挂衣帽。”“我是 6， 像棵豆芽咧嘴笑。 ”“我是 7， 像把镰刀割青草。 ”“我是 8， 像支麻花拧一道。 ”“我是 9， 像把勺子能盛饭。 ”“我 是 0，像个鸡蛋做蛋糕。”他们刚介绍完了，小鹿又问道”你们中间谁最大？谁最小呢？”9 站出来，很骄傲地 说“我是 9，我最大。” 0 耷拉着脑袋说“我最小。”“对，就是这个表示什么都没有的 0。”9 用冷淡的口气 说道。9 刚说完，动物们和它的数字兄弟都笑了。0 更加不好意思了，动物们看到 0 这么没有用，都不愿意和它 一起玩。它们在一起唱呀！跳呀！非常开心。 突然一只大象不小心掉进一个洞里面，洞很深，又很黑，大象在里面挣扎了很久，用了很大的力气总想爬上 来，它爬呀爬累得满头大汗，腿也挂破了，鲜血直流。可是，怎么也爬不上来，它只好在里面大声喊“救命呀！ 救命呀！”动物们听到了，就纷纷跑到洞口边，想把大象救出来。数字 1 到 9 也来帮忙了。他们组成最大的数字 987654321，显示了最大的力量，费了九牛二虎之力，也没有把大象拉上来。这个时候，只听见后面有一个微弱 的声音说道“我也来试试。”它们一看是 0，就勉强的同意它也来帮忙。它们重新组成数字 9876543210，它们的 力量一下子就增大 10 倍。哈哈……，一下子就把大象拉上来了。动物们都很感谢数字兄弟，同时也为冷落了 0 感到愧疚，它们都来到 0 的身边，愿意和 0 做朋友。数字兄弟也开始重视 0 了，愿意和它一起玩耍。 从此以后，0 再也不自卑了，它觉得自己还是很有用的。

　　奇数和偶数

　　活动课上，黑熊老师笑着对大家说：“我们来做个游戏好不好？” “好！”小动物们齐声回答。“请你们每位准备两张小纸条。”黑熊老师清了清嗓子说。小动物们不知道黑 熊老师要他们做什么游戏，一个个兴奋的眼睛发亮，很快都把小纸条准备好了。 黑熊老师环视一下全班同学，说：“请你们在两张小纸条上分别写一个奇数和一个偶数，写好后，两手各握 一张。不要给我也不要给你身边的同学看。” 小动物们不久前刚学过关于奇数和偶数的知识，不一会儿，大家都完成了黑熊老师提出的要求。“听着，” 黑熊老师一字一句清晰地说道：“你们各位都请将右手中的数乘 2，左手中的数乘 3，再把乘积相加。不要算出 声音来。” 等小动物们一个个都算好了，黑熊老师又叫算出得数是奇数的小动物们排成一队；得数是偶数的排成一队。 小动物们都站好了，一个个感兴趣地看着黑熊老师，猜测着它下以步要它们做什么。 “好了！”黑熊老师指着得数是奇数的那排小动物说：“你们左手握的都是奇数。” 它又指着另一排小动物说：“你们左手握的都是偶数。” 两排小动物们摊开手掌一看，可不是，黑熊老师猜得完全正确。 小动物们惊奇极了，忍不住纷纷问道：“老师，您是怎么知道的？” 黑熊老师于是分析道：“ 奇数×2＝偶数 偶数×2＝偶数 偶数＋偶数＝偶数 奇数×3＝奇数 偶数×3＝偶数 偶数＋奇数＝奇数

　　左手是奇数时，奇数×3 是奇数，奇数＋偶数（右手中的偶数×2），结果是奇数。而如右手是奇数时，奇 数×2 成偶数，偶数＋偶数（左手中的偶数×3），结果是偶数。 这就是最后结果与左手中数字奇偶相同的原因，也即我这个猜法的根据。” 小动物们恍然大悟……
史上难题 “女生散步问题”

　　“七大千年数学难题”之一的庞加莱猜想，是本次国际数学家大会讨论的焦点。其实，除了“七大千年数学难题”之外，数学史上还有一些有趣的数学难题给人留下深刻印象。

　　哥德巴赫猜想

　　提出者：德国教师哥德巴赫；提出时间：1742年；内容表述：任何一个大于2的偶数都可以表示为

　　两个素数之和；研究进展：尚未完全破解。

　　费马大定理

　　提出者：法国数学家费马；

　　提出时间：1637年；

　　内容表述：x的n次方加y的n次方等于z的n次方，在n是大于2的自然数时没有正整数解；

　　研究进展：由英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。

　　四色猜想

　　提出者：英国学生格思里；

　　提出时间：1852年；

　　内容表述：每幅地图都可以用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色；

　　研究进展：于1976年被计算机验证。

　　女生散步问题

　　提出者：英国数学家柯克曼；

　　提出时间：1850年；

　　内容表述：某学生宿舍共有15位女生，每天3人一组进行散步，问怎样安排，才能使每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每周一次；

　　研究进展：已获证明。

　　七桥问题

　　提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇（今俄罗斯加里宁格勒）；

　　提出时间：18世纪初；

　　内容表述：一条河的两条支流绕过一个岛，有7座桥横跨这两条支流，问一名散步者能否走过每一座桥，而且每座桥只能走一次，就让这名散步者回到原地
趣谈“九连环与格雷码”

　　九连环的解法　 九连环的历史

　　分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。 

　　第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。

　　00000－00000－0－00000

　　10000－00001－1－00001

　　11000－00011－2－00010

　　01000－00010－3－00011

　　01100－00110－4－00100

　　11100－00111－5－00101

　　10100－00101－6－00110

　　00100－00100－7－00111

　　00110－01100－8－01000

　　10110－01101－9－01001

　　11110－01111－10－01010

　　01110－01110－11－01011

　　01010－01010－12－01100

　　11010－01011－13－01101

　　10010－01001－14－01110

　　00010－01000－15－01111

　　00011－11000－16－10000

　　10011－11001－17－10001

　　11011－11011－18－10010

　　01011－11010－19－10011

　　01111－11110－20－10100

　　11111－11111－21－10101

　　我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码！ 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是

　　10111－11101－22－10110

　　00111－11100－23－10111

　　00101－10100－24－11000

　　10101－10101－25－11001

　　11101－10111－26－11010

　　01101－10110－27－11011

　　01001－10010－28－11100

　　11001－10011－29－11101

　　10001－10001－30－11110

　　00001－10000－31－11111

　　这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。

　　注 由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变（0变为1，1变为0）。例，二进制数11011的格雷码是10110.

　　由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变。

　　例 格雷码11011表示为二进制数是10010.

　　以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。

　　例 设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步？过程如何？

　　解 初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326－141＝186，完整解法需要186步。

　　简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数，

　　对于N=141，得到N0=103；对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139.这个结果很容易在下一页九连环电脑游戏上验证。
祝福短信里的数学

　　电话、手机、计算机，朋友之间传信息；新年、新春、新景象，祝福朋友皆安康。逢年过节，近道的走亲访友，远路的打电话问候。随着生活的发展，除打电话拜年问好之外，用手机、计算机发短信祝福又成了时尚。除夕夜，我的手机短信接连不断，读着远方朋友的真挚祝福，我发现这短信里也有很多数学。 

　　数学是交流的语言，尤其是数字，一二三四五，六七八九十用得最多。如：

　　（1）一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘子六斤桃，年年招财又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒果十斤瓜，愿你天天乐开花！

　　（2）祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安，五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同心，十全十美。

　　（3）新年到了，送你一个饺子平安皮儿包着如意馅，用真情煮熟，吃一口快乐两口幸福三口顺利然后喝全家健康汤，回味是温馨，余香是祝福。

　　（4）传说薰衣草有四片叶子：第一片叶子是信仰，第二片叶子是希望，第三片叶子是爱情，第四片叶子是幸运。送你一棵薰衣草，愿你猴年快乐！

　　有的干脆把汉字一二三四五，换成了阿拉伯数字12345，如：

　　（5）新的1年开始，祝好事接2连3，心情4季如春，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点小财，烦恼抛到9霄云外！

　　（6）新的1年就要开始了，愿好事接2连3，心情4春天阳光，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点小财，一切烦恼抛到9宵云外，请接受我10全10美的祝福。

　　两条短信很类似，有很多成语是相同的，除了都精选了吉祥的含有数字的成语外，都取了“发”的谐音8.第二条短信中“心情4春天阳光”，还取了“似”的谐音4.

　　下面的这条短信，则把一年的时间用不同的计时单位进行了换算。

　　（7）在新的一年里，祝你十二个月月月开心，五十二个星期期期愉快，三百六十五天天天好运，八千七百六十小时时时高兴，五十二万五千六百分分分幸福，三千一百五十三万六千秒秒秒成功。

　　用一年两个字能表示的，却用三千一百五十三万六千秒这一“冗长”的话来表达，好话语百听不厌嘛。不如此，不足以表达自己真挚、细腻、酣畅而热烈的美好祝愿。

　　祝福的话说得越多越好，有限的词语与无限的祝福相比较，总有言不尽意之感觉，如何解决这多与少的矛盾，数学中整体与部分的关系在这里有了用武之地：

　　（8）如果一滴水代表一个祝福，我送你一个东海；如果一颗星代表一份幸福，我送你一条银河；如果一棵树代表一份思念，我送你一片森林。祝你新年快乐！

　　解决祝福的心情无限与词语有限的矛盾，还有一个方法，就是用虚数表达。我国汉语中有很多数字是虚数，不是实指，而是代表很多。下面两则短信中的“千万”、“万两”都是虚数。前一条还用到了数学中的加减与分解，后一条诙谐幽默，着实能给我们以快乐。

　　（9）新年到了，想想没什么送给你的，又不打算给你太多，只有给你五千万：千万要快乐！千万要健康！千万要平安！千万要知足！千万不要忘记我！

　　（10）圣旨到！奉天承运，皇帝诏曰：猴年已到特赐红包一个，内有幸福万两，快乐万两，笑容万两，愿卿家饱尝幸福快乐之微笑，钦此！