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函数性质知识点汇总
一．知识梳理：
（一）、单调性：
1、定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当且x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间D上是增函数；
⑵若当且x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间D上是减函数.
注意点：1）、函数单调区间是定义域的子集（）；2）函数单调性与区间密不可分，是局部概念，不能直接说某函数是增函数或减函数；3）不连续的单调区间不能并集。
3）函数增减性符号表示：
增函数
减函数
2、判断方法：
1）图像法：沿横轴从左向右看，在区间D上图像上升（或下降）；
2）定义法：五步骤：设元作差变形（较难）定号定论。
3）性质法：增+增增，增-减增，减+减减，减-增减。
4）复合函数单调性：，内函数，外函数，内外函数单调性相同为增函数，不相同为减函数。简称“同增异减”。
注意： ①增（减），增（减），则增。
② 增（减），减（增），则减。
5）导数法：已知函数在区间可导：若的解集为，那么函数在区间内单调递减；若的解集为那么函数在区间内单调递增。
（二）奇偶性知识点：
1、定义：定义域内任意一个自变量x，都有，则函数是奇函数（或偶函数）。
注意点：1）函数具有奇偶性定义域关于原点对称；
2、判断方法：1）图像法：奇函数图像关于原点对称；
偶函数图像关于y（x=0）轴对称。
2）定义法：定义域是否关于原点对称判断与关系定论。
3）性质法：若函数为奇函数，为偶函数试
判断的奇偶性。
奇函数奇函数奇函数，偶函数偶函数偶函数
奇函数奇函数偶函数，奇函数偶函数奇函数
偶函数偶函数偶函数。
3、结论：1）图像性质：奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y（x=0）轴对称；
2）一次函数为奇函数（）：（图像过原点）；二次函数是偶函数的条件：（对称轴为y轴x=0）；
3）定义域含0或定义域的奇函数：；
4）关于原点对称的两个区间偶函数单调性相反，奇函数在关于原点对称的两个区间单调性相同。
5）非零常函数为偶函数，y=0为即奇又偶函数。
（三）图像变换：
1）平移变换：简称“左加右减，上加下减”。
由 ，当沿横轴向左平移，当，沿横轴向右平移。由，当，沿纵轴向上平移，当，沿纵轴向下平移。
2）对称变换： 图像关于y轴对称；
图像关于x轴对称；
图像关于(0,0) 对称
图像关于直线y=x对称
3）翻折（部分对称）：，将原来图像的右半部分关于y轴对称，再擦去左半部分原来的图像。
，将原来图像的下半部分关于x轴对称，再擦去下半部分原来的图像。
（四） 函数对称性：
⑴若函数满足则自身关于y轴对称；
⑵若函数满足则自身关于（0,0）对称；
⑶若函数对任意x满足或则自身关
于x=a对称；
⑷若函数满足则自身关于点（a,b）对称；
（或可写成或）。
5）函数 满足 的充要条件是 图象关于直线 对称。
6)若函数是偶函数
对称。
7）若函数是奇函数
关于（a,0）对称。
（五）周期性：
2）如果函数 满足 且 ，（ 和 是不相等的常数），则 是以为 为周期的周期函数。
3）如果奇函数 满足 （ ），则函数 是以4T为周期的周期性函数。
4）若奇函数满足，则函数是以2a为周期的周期函数。
4）如果偶函数 满足 ，则函数 是以2a为周期的周期性函数。
五、函数零点：
1、函数零点定义：函数图像与x轴交点的横坐标方程的实数根
转化为两个可作的函数图像交点不等式解集的临界值。
2、函数零点存在定理：（1）函数在上是连续不断的曲线；（2）满足；
（3）存在使得，则为函数零点。
3、存在唯一零点：（1）在上是连续不断的曲线；（2）满足；
（3）在上具有单调性。

基本初等函数图像和性质
一、 具体函数图像和性质
1、一次函数：

k>0
K<0

图

象

性
质
(1)定义域：R
(2)值域：R
(3)当b=0时，图像过原点（0,0）为奇函数。

R上是增函数
R上是减函数（单调性与k值有关系）
2、反比例函数：

k>0
K<0

图

象

函数三要素
(1)定义域：
(2)值域：
单调性
上是减函数
上是增函数（单调性与k值有关系）
奇偶性
定义域上的奇函数，关于原点（0,0）对称。即对称中心（0,0）
渐近线
Y轴（x=0）,x轴（y=0）

3二次函数：一般式：
顶点式：；零点式：。

a>0
a<0

图

象

函数三要素
(1)定义域：R
值域
值域：
单调性
增区间：
减区间：
减区间：
增区间：
奇偶性
非奇非偶函数。当对称轴为y轴（一次项系数b=0）时为偶函数
对称轴

4、指数函数：

a>1
0<a<1

图

象

性
质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，+∞)
(3)过定点(0，1)，即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1
(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.
(5)在 R上是增函数
(5)在R上是减函数
图像
特征
底数a越大，图像向上越靠近y轴；向下越靠近x轴.
底数a越小，图像向上越靠近y轴；向下越靠近x轴.

5、对数函数：；

a>1
0<a<1

图

象

函数三要素
(1)定义域：
(2)值域：R
图像
特征
恒过点（1,0），即x=1,y=0

底数a越大，图像向上越靠近x轴；向下越靠近y轴.
底数a越小，图像向上越靠近y轴；向下越靠近x轴.

当0<x<1,y<0;当x>1,y>0
当0<x<1,y>0;当x>1,y<0
单调性
增区间：
减区间：
奇偶性
非奇非偶函数
6、幂函数：

图像

定义域

值域
=1,3时是R；
奇偶性
为奇数时，函数为奇函数；为偶数时为偶函数。
单调性

对称性

图像特征

7、双曲线形函数：

a>1
0<a<1

图

象

函数三要素

定义域：
值域：
值域：R
图像
特征
过（1,2）和（-1，-2）点
过（-1,0）和（1,0）点

当且仅当取等号

单调性
增区间：
减区间：
增区间：
奇偶性
奇函数；有两条渐近线：y=x和y轴。
8、分段函数： ，

图

象

函数三要素
定义域：
值域：
值域：
图像过点
当x+a=0时，即x=-a是勾点
即（-a,0）
单调性
减区间：
增区间：
增区间：
减区间：
奇偶性
a=0时偶函数。
必修1公式
一、 初中衔接课公式：
1、 完全平方和（差）：；平方差：
2、 立方和（差）：
二：对数、指数公式。
（一） 指数公式：
次方根的定义及性质： ；
指数公式结论：。
2、分数指数幂：⑴指数运算： ，，
，；零的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义.
3、 运算性质：，；；。
（二）、1、对指互化公：,；.
2、运算性质：;
。
结论：。
3、换底公式：；
推广：；；
，；

典例分析：
问题1．计算： ；
已知，求的值；
巩固练习：
已知，则
2. 设，则（ ）

3. 若，求的值。
问题2. 计算：
；（2） （3） ；
；
巩固练习：
1.，则 2.若，
3.的值为 （ ）

4.求值或化简：=
=
问题3．（1）已知，且，求的值．
已知，求；
（3）若，则
问题4．（上海春）方程 的解是
（2）方程的解是
（3）方程的解是