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以题论法，让作业讲评课精彩纷呈
一、背景说明
作业讲评是初中数学教学的重要环节，但是，有较多的教师不重视作业讲评课，没有把作业讲评课当成一堂课去精心设计，有的只是把学生做错的题目重做一遍，有的甚至将作业讲评理解为“对答案”，使“讲者乏力，听者乏味”。实际上，真正有效的作业讲评，有助于完善学生的知识结构，提高学生的数学反思能力，是对平时课堂教学的升华。我区提倡“高效课堂”和“高效作业”，当然作业讲评课的课堂效率更值得我们去思考和探究。
在学完二次函数的应用后，学生已经对二次函数有一个全面的认识，但据作业情况来看，没有达到预定的目标。我安排两位班干部去调查学生对学习二次函数的体会和感悟。大部分学生都觉得二次函数挺难的，65%的学生说自已是听懂了，很多时候对于解答题是摸不着头绪；15%的学生说自已能较好地理解二次函数，会解简单的二次函数解答题；5%的学生觉得二次函数挺好玩的，学起来比较轻松；还有5%的学生连听也听不懂。问题的重点在于那些听懂了，但不是很会解简答题的学生。由于二次函数对于学生来说是一块较难理解的内容。于是，在二次函数的应用三课时学完之后，对学生的作业进行重点讲评。
二、案例描述与分析
在上作业讲评课之前，对学生的每一节作业进行精心批改，记录学生错误的题型、典型的错解、典型的优解，分析学生错误的原因。针对学生存在的问题，我把学生错误的题型分成四类，第一类，最值求法型；第二类，数量关系型，第三类，数形结合型；第四类，建模应用型。
【片断一】
呈现作业中的题目：
1．二次函数y=（x+3）2-4的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．-4 D．-3
2．二次函数y=3（x-1）2+4（2≤x≤5）的最小值是（ ）
A．4 B．1 C．7 D．2
3．函数y=的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．7
同时呈现上面一组题目，并告诉学生这些题目都是作业题中所选，引起学生回忆，问：“请仔细观察，这三道题有什么区别？”一生口答：“第1道是没有范围求最值，第2道是给定范围求最值，最后一道是根号内求最值。”学生的口答基本上把题目间的区别给点出来了。再请了一位中下水平的学生口答第1道题目，解决得较为轻松。第2道题目部分学生就限入最值求法的怪圈，没有好好考虑范围，我便引导学生试着画出草图，利用草图大部分学生能找到最值，此时引导学生归纳：开口向上，如果对称轴取值在范围之内，最小值就是顶点纵坐标，最大值是离对称轴取值最远的x的值所对应的y；如果范围在对称轴左边或是右边，利用增减性找到最大最小值.此时停顿半分钟，由学生思考内化。第3道题的分析，是先让题目隐去根号，学生轻松求出最小值，再加上根号，且补充说明：“被开方数越大，算术平方根也越大。”于是问题就解决了。
分析：这一组题目的讲评让学生对类似题目的解决有相同之处，但也有不同之时，学会清晰辨别处理，训练学生思维的严密性。
【片断二】
学生对于文字多，数量多的题目原本就怕，再加上用到的是刚学的二次函数，心理上就有一种俱怕感。
首先呈现一个选择题：
1.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件。在确保盈利的前提下，若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围是（ ）
A．y=(60-x)(300+20x) (0<x<20) B．y=(20-x)(300+20x) (0<x<20)
C．y=(40-x)(300+20x) (0<x<60) D．y=20x(20-x) (0<x<20)
由学生自主通读全题，再设问：“这样的问题背景很熟悉，在一元二次方程应用时候见过。我们就利用当时的分析方法去找出其中的数量，挖出它们之间的关系。”然后呈现表格：
进价
每件售价
每周销售量
每周利润
40元
60元
300件
？
40元

学生先回答表格第一行的每周利润（60-40）×300=6000元，再对应题中“每件降价x元”，表示出此时每件售价：300+20x元，此时一般的学生模仿表格第一行轻松表示总利润式子：（60-x-40）(300+20x)。“它就是y。”一位学生叫起来，于是学生就可以得出函数关系式y=（60-x-40）(300+20x)。“此处的自变量取值范围有没有要求？”我问。“应该有，因为这是实际问题。”一位学生很肯定地说。“那应该符合什么条件呢？”我继续问。“x要大于0且60-x-40也要大于0。因为它们是表示钱。”这样就找到了正确的选项。
当学生对上一题基本能深刻理解后，呈现第二题：
2.某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，当每件售价为130元时，每星期可卖出80件。商家决定降价销售，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件。（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
有了上一题的分析解答，学生再来看这一题，从学生的神情中可以看出感觉没有那沉重了。先让学生自主梳理思路，加以订正。在巡视过程中发现，第（1）小题学生基本能自主订正。第（2）小题，难点在于“降价5元”。一位学生说：“设降价x元，每星期的销售利润为y元，再先把降5元，多卖20件，变成降1元，多卖4件，就变成和第1题一致了。”“是个好方法，这位同学会用转化思想了！”我评价。另一位学生说：“我设降5x元，每周可多卖出20x,也可以列关系式了。”我再在这位同学的方法上加以说明，让其他学生也明白原理。此时还有一位学生说：“设降价x元，先让x除以5，表示几个5，每周销售量就是20×，这样就可以了。”学生都赞成。关系式找到之后，下面的问题就迎刃而解了。
分析：有意识地把两道大题进行归类对比，既可以省去学生进入问题思考的时间，找出区别，找到关键，利用有效的列表格方法达到降低难度解决问题。
o
x
3
-1
【片断三】
y
学习函数，从图形中获取信息需要具备一定的读图能力，在学生看来，也是属于比较难的。
1．如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象，
当y<0时，x的取值范围是（ ）
A．-1<x<3 B．x>3 C．x<-1 D．x>3或x<-1o
y
x
B(8,2)
A(-2,4)

2. 如图二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数
y2=kx+m(k≠0)的图象交于点A（-2，4），B（8，2），
则能使y1≥y2成立的x的取值范围是（ ）
A．-2<x<8 B．x<-2或x>8
C．-2≤x≤8 D．x≤-2或x≥8
呈现两个题目后，对学生说：“二次函数的解析式与二次函数的图象是关系密切。研究二次函数可以从解析式和图象两方面同时进行，它们是统一的。第1题是已知函数值的范围来确定自变量的范围，第2题是让学生对两个函数的函数值进行比较来确定自变量的取值范围。第1题让一位学生利用彩色粉笔勾勒出y<0的函数部分，找出端点自变量的取值，确定符合要求的比端点取值大还是小。由第1题作为基础，第2题由学生按上面的分析步骤进行阐述，用两种色彩的粉笔来勾勒，学生很直观地看出范围，我再加以说明同学们错误点，加深学生的理解。
分析：数形结合思想的熟练巧妙的运用一向是学生头疼的问题，把一类问题在此处讲评透彻，让学生体会深刻，在心理上消除俱怕感，提高图形分析能力。
【片断四】
利用二次函数模型解决实际问题，学生学习的困难点在于建模的过程。为解决这一难题，我选择下面的题目进行讲评，同时呈现学生的错解。
在一大片空地上有一堵墙（线段AB），现有铁栏杆40m,准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃。
A B
（1） 如果墙足够长，那么应该如何设计可使矩形花圃的面积最大？
（2） 如果墙AB=8m，那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大？
A
B
D
E
问题的第（1）小题根据常规的建立模型方法，请了一位学生进行分析阐述思考过程，学生基本上能在学生的分析下理清思路。但是第（2）小题就错
漏百出，我就把各种典型错误直接呈现。
错解1：如图，因为AB=8m,
所以与墙垂直的一边长为（40-8）÷2=16（m），
所以矩形的面积S=16×8=128（m2）
呈现错解1后，学生纷纷议论，一生说：“把整堵都用起来，不见得是最大的。在我印象中，好象正方形的面积大一点。”“有道理。但是为什么正方形的面积最大呢？”我说。
错解2：设与墙平行的一边的长为xm,
则矩形的面积S=x(20-)=(x-20)2+200,
所以当x=20时，矩形的面积最大为200m2.

一生问：“这里x能取到20吗？”另一生接话：“不行吧！先看看自变量的取值范围吧。”“肯定不行！x的取值要小于等于8。”“你们的分析很对！你们看看那第三位同学的做法对吗？”此时呈现错解3。
错解3：同错解2，得矩形的面积S=x(20-)= (x-20)2+200,
因为x≤8,
所以当x=8时,
S有最大值8×16=128m2.
A
B
C
F
D
E
“对！”很多学生都叫起来。“围矩形花辅一定要把墙当作一边吗？题目中有明确规定吗？”我问。学生沉思，课堂的气氛有点凝重。“哦！还可以把墙当作一边的一部分。”一位学生兴奋的喊出来。许多学生一脸狐疑状。我便让这位学生上讲台画出他所想的图形。他慢慢地讲出自已的想法，显然，他是在边讲边琢磨，终于把思路讲清楚了。毕竟这个题目有点复杂，我便呈现正解，供学生理解。
正解：对于第（2）小题，可分以下2种情况进行讨论。
① 如图，设DE=xm(0<x≤8),
则矩形的面积S=x(20-)= (x-20)2+200
所以当DE=8m时，矩形面积的最大值为128m2.
② 延长AB至点F，作如图所示的矩形花圃，设BF=x,则AF=x+8,AD=16-x.
A
B
D
F
E
所以矩形的面积S=（x+8）(16-x)=-x2+8x+128=-(x-4)2+144.
所以当x=4m时，矩形面积的最大值为144m2.
按方案②围建的矩形花圃面积最大为144m2.
分析：这类问题需要同学们综合运用学过的知识，构建出二次
函数模型，此类题有一定的难度。在讲评中引导学生根据现有
的思维水平，寻找问题的知识载体和问题综合的方法，以正确的思维方式，对问题进行化归解决，做到变中求解，解中求真，从而使学生的数学思维水平更好地得以提高。
三、反思体会
1．适时适度，导向清晰，让作业讲评课精确有效。
作业上交之后，学生对作业内容记忆深刻，可能已经进行了积极的交流，对于作业的解答情况已有了一个初步的判断，而且对于其他学生所用的解题方法也有了一定的思考，此时学生能以较清晰的记忆和积极的心态参与到作业讲评中。这种状态的最佳保持期为2至3天，此后，随着时间的推移，学生对题目的关心和记忆随着时间的延长而淡化。因此，教师应尽快批阅并及时讲评，否则，讲评效果将大大降低。本案例中的作业讲评课是学生在上完二次函数复习课后所完成的作业题之后。作业讲评的目的是对学生的错误加以纠正，这些错误反映了教学中还没有达到的目标，需要进一步强化，也是对学生进行解题技巧的渗透与答题规范化指导，以及不良心理的纠正。
作业讲评切不可不分轻重，面面俱到，并不是错得多的题就一定讲，也不是没有错的题就一定不讲。教师应站在学生的角度去仔细分析出错的原因，若题目涉及到多个知识点，则可以“融会贯通”地进行讲解，这样，不仅能使讲解“系统化”，还能有计划、有步骤地突出重点、细化难点。总之，教师应讲在重点、难点、疑点和关键点上，使讲评具有导向性，让作业讲评课精确有效。
2．归类整合，方法提炼，让作业讲评课精练有效。
作业题中的许多题目，可能涉及的知识是同一内容的不同方面，或是不同知识的同一方面，也可能在方法上存在异同。这样的题目孤立讲解，不仅费时，而且低效。在讲评过程中，应对相同知识归一、不同知识对比的方法进行点评，让学生从“异”的表象中发现“同”的本质，从“形似”的表象中发现“质异”的本质，在认知冲突和方法比较中，消除思维定势的影响，从而培养学生举一反三的能力，同时提高了学生思维的深刻性。如片断一中的最小值的求法，让学生比较异同，沿着常规分析方法，寻找解决问题的规律。片断二的问题，通过变式，让学生从问题的关键点着眼，突破难点，顺其自然达到解决问题的目的。通过归类整合，方法提炼，让作业讲评课精练有效。
3．呈现错误，剖析思路，让作业讲评课精彩有效。
美国教育家杜威曾说：“一盎司经验胜过一吨理论”。东北师范大学生史宁中校长也说：“创新能力来自知识积累、经验积累和思维训练”。教师若能引导学生发现错误利用其价值，这类错误就自然成为学生重要的学习资源和学习经验。订正作业作为学习学生经验积累的最好训练，既可以让学生真正掌握知识，还能提高他们的反思水平和反省能力，继而培养起新课标要求的情感、态度和价值观。在讲评教学中，用平常心对待学生的错误，重视错解中合理成分的提取与激活，才能让学生认同和接受，并对其思维过程做出调整与修正。同时能促使学生积极思考，取长补短，学会如何学习吸收，自觉地改进学习的态度和方法。片断四中问题（2）的分析就是采用错误呈现，让学生在讨论中剖析解题思路，自主发现问题解决的方法，让作业讲评课精彩有效。
4．一题多变，以题论法，让作业讲评课精致有效。
通过变式训练，能更多地挖掘相关知识，形成知识网络，从而帮助学生掌握问题的实质，加深对同类问题的理解，形成规律，再遇到“改头换面”的类似题目时，就可以得心应手、游刃有余，做到“解一题，通一类，带一串”，使学生脱离稿“题海”，提高学习效率。如片断一中虽然都是求最小值，但是条件发生了变化，对学生的分析问题能力要求有所提高。片断二中的两个问题区别就在于降价1元和降价5元，造成数量之间的关系复杂化，也需要学生在分析问题方面深入进去。看来，通过变式进行讲评，对学生思维的广阔性和敏捷性的培养具有一定的作用。一题多变，一题多解让作业讲评课通过以题论法更加精致有效。
四、结语
总之，在作业讲评前，要做好错解、巧解、优解的统计，使讲评更具有针对性。讲评课上要做好题目的变化、类化、深化和优化，避免就题论题，使学生能触类旁通、一题多解、方法灵活。对于有代表性的题目要精讲，要善于引导学生类比分析、归纳总结，培养学生分析、解决问题的能力，从而提高数学作业讲评课的有效性。

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