锐角三角函数课课件.doc

28.1锐角三角函数

学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.初步了解正弦、余弦、正切概念.
2.能较正确地用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
3.熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
【重点难点】
1.正弦，余弦，正切概念
2.用含有几个字母的符号组sinA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
知识概览图
锐角三角函数
锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
特殊角的三角函数值
同角、互为余角的三角函数关系
sin2 A＋cos2 A＝1
sin(90°－A)＝cos A，cos(90°－A)＝sin A
锐角三角函数值的变化情
况及取值范围

正弦(正切)值随角度的增大而增大
余弦值随角度的增大而减小
O＜sin α＜1，0＜cos α＜1(0°＜α＜90°)
tanα＞0(0°＜α＜90°)，
新课导引
【生活链接】 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为了使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管?
【问题探究】 这个问题可以归结为：如右图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB．根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即，可得AB＝2BC＝70 m，也就是说，需要准备70 m长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管?
教材精华
知识点1 当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值
(1)任意画一个锐角A，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，从而得到一个Rt△ABC，如图28－1所示．Rt△ABC中的三条边每两边构成一个比，一共可以得到如下六个比例式：
(2)在锐角A的AB边上再另取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，从而得到另一个Rt△AB1C1，Rt△AB1C1中的三条边也构成如下六个比例式：, .
那么由两个直角三角形所得到的对应比有怎样的关系呢?
∵BC⊥AC，B1C1⊥AC1，∴BC∥B1C1，∴Rt△ABC∽Rt△AB1C1，
∴…都为定值．
∵点B1在AB边上是任取的，∴前面的操作方法具有普遍性．
∴当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值．
知识点2 正弦和余弦的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值，∠A的邻边与斜边的比值也是一个固定的值．
在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图28－2所示．
(1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sin A，即sin A＝.
(2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦．记作cos A，即cos A＝.
拓展 (1)正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值．
(2)正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)sin A，cos A是整体符号，不能写成sin·A，cos·A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠ABC．
(5)sin2 A表示(sin A)2，而不能写成sin A2．
(6)三角函数还可以表示成sinα，cosβ等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正弦、余弦值．
点拨 如图28－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．
由在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可知BC＝AB，再由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，
得AB2＝AC2＋(AB)2，即AC2＝AB2，∴AC＝AB，
∴sin A＝，cos A＝
即sin 30°＝，cos 30°＝．
类似地，sin 60°＝,cos 60°＝.
如图28－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．
∴CB＝CA，由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，
得AB＝BC＝AC，即．
∴sin A＝，cos A＝，即sin 45°＝cos 45°＝.
知识点3 正切的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与邻边的比值是一个固定的值，如图28－5所示．
在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tan A，即tan A＝.
拓展 (1)正切是一个比值，是一个没有单位的数值．
(2)正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)tan A是整体符号，不能写成tan·A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC．
(5)tan2A表示(tan A)2，而不能写成tan A2．
(6)三角函数也可以表示成tan α等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正切值．
点拨 如图28－6所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
∴BC＝AB，AC＝AB；∴tan A＝.
类似地，tan B＝.
即tan 30°＝，tan 60°＝.
如图28－7所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．
∴∠A＝∠B，∴CA＝CB，
∴tan A＝＝1，tan B＝＝1，即tan 45°＝1．
知识点4 锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
(1)三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化．
(2)由定义可知，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，tan A＞0．
令y＝sin A，y＝cos A，y＝tan A，则函数中自变量的取值范围均为0°＜A＜90°．
函数的增减性分别为：
①y＝sin A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．
②y＝cos A在自变量的取值范围内，y随A的增大而减小．
③y＝tan A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．
(3)常见的特殊角的三角函数值如下表：
锐角α
三角函数
30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

1

拓展 (1)锐角的三个三角函数都是一个比值．当锐角不变时，该角的正弦、余弦、正切值也不变．
(2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关．
(3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sin A，cos A，tan A．
知识点5 同角三角函数之间的关系
如图28－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠A＝α，则sinα＝，cos a＝，tan α＝．
(1)平方关系．
∵sin2α＋cos2α＝()2＋()2＝，
又∵a2＋b2＝c2，∴sin2α＋cos2 α＝＝1．
(2)商数关系．
∵，tan α＝，∴＝tan α．
拓展 对公式sin2α＋cos 2α＝1(α为锐角)的理解与应用要注意：sin2α代表的含义是sinα的平方(即比值的平方)，书写格式应为sin2α，而不是sinα2．
知识点6 互为余角的三角函数关系
观察下列等式：
sin 30°=cos 60°＝，sin 45°＝cos 45°＝．
cos 30°=sin 60°＝，cos 45°＝sin 45°＝．
不难发现等式有下面三个特点：(1)三角函数名称互换，即正弦变余弦，余弦变正弦；(2)角度互余；(3)三角函数值相等．
上述规律可以推广到任意锐角，即sin A＝cos(90°－A)，cos A＝sin(90°－A)．
用语言叙述上述规律为：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
拓展 对公式sin A＝cos(90°－A)和cos A＝sin(90°－A)的理解要注意以下两点：
(1)∠A为锐角．
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比，实际上就是∠B(即90°－∠A)的对边与斜边的比．
规律方法小结 求锐角三角函数值时，应构造一个直角三角形，运用数形结合思想来解决数量问题．
课堂检测
基础知识应用题
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cos B的值为 ( )
A. B． C． D．
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC等于 ( )
A．3：4 B．4：3
C．3：5 D．4：5

3、在Rt△ABC中，如果各边都缩小4倍，则锐角A的正切值 ( )
A．缩小4倍 B．扩大4倍 C．没有变化 D．不能确定
4、如图28－10所示，在Rt△OPQ中，求sin P，cos P，sin Q，cos Q的值．

5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．
(1)求AB的长；
(2)求sin A，cos A的值；
(3)求sin2 A＋cos2 A的值；
(4)比较sin A与cos B的大小；
(5)比较tan A与的大小．

6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值为 ( )
A． B． C． D．
7、sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°·tan 30°＝ ．
8、若sin α＝2m－3(α为锐角)，求m的取值范围．

综合应用题
9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)和点B(0，－4)，则cos∠OAB等于 ( )
A． B．－
C． D．

10、如图28－12所示，已知△ABC的两边长AC＝3，AB＝5，且第三边长BC为关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根之一，求sin A的值．

11、已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别是一个直角三角形两锐角的余弦值，且－n＝，求m，n的值．

12、已知△ABC的三边a，b，c中，b＝5，c＝3，锐角θ的正弦值是关于x的方程5x2－15x－ax＋3a＝0的一个根，试求a的取值范围．

13、已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x2－2xtan θ－3＝0的两个根的平方和等于10，求以tan θ，为根的一元二次方程．

14、如图28－13所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝2－，求BC的长．

15、如图28－14所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，sin B＝，求四边形AECD的周长．

探索与创新题
16、用几何方法求tan15°的值．

17、曙光中学有一块三角形形状的花圃，现可直接测得∠A＝30°，AC＝40米，BC＝25米，请你求出这块花圃的面积．

18、阅读下面的材料，再回答问题．
三角函数中有常用公式：sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，求sin(A＋B)的值．
例如：sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ .
试用公式cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B求cos 75°的值．

19、(1)如图28－18所示，在△ABC中，∠B，∠C均为锐角，其对边分别为b，c，求证；
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝，∠B＝45°，则这样的△ABC有几个?请作出来(不写作法和理由)，并求出∠C的度数．

体验中考
如图28－20(1)所示，在正方形网格中，sin∠AOB等于 ( )
A． B． C． D．2

学后反思

附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 由勾股定理可知AB＝＝5，根据余弦的定义可知cos B＝，即cos B＝＝．故选B．
2、分析 根据题意画出图形，如图28－9所示，由正弦的定义可知sin A＝，即sin A＝＝，故可设BC＝3 k，AB＝5 k(k＞0)，由勾股定理可知AC＝ ＝＝4 k，∴BC：AC＝(3k)：(4k)＝3：4．故选A．
【解题策略】 本题中BC：AC的值实际上是∠A的正切值，即tan A，可借助图形来解决问题．
3、分析 锐角A的正切值是一个比值，它只与∠A的大小有关，而与△ABC的大小无关．故选C.
4、分析 无论直角三角形如何放置，其顶点字母如何标记，正弦值总是等于这个锐角的对边比斜边，余弦值总是等于这个锐角的邻边比斜边，本题已知直角边长，应先求斜边长．
解：在Rt△OPQ中，∠O＝90°，OP＝，OQ＝2，
由勾股定理,得PQ＝，
∴sin P＝，cos P＝，
同理，sin Q＝，cos Q＝.
【解题策略】 此类问题考查的是三角函数的定义与特征，数形结合思想是解决此类问题时常用的思想方法．
5、解：(1)∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．
(2)sin A＝＝,cos A＝＝．
(3)sin2 A＋cos2 A＝()2＋()2＝＝1．
(4)∵cos B＝＝，∴sin A＝cos B．
(5)∵tan A＝＝，＝，∴tan A＝．
【解题策略】 解答本题的关键是正确理解锐角三角函数的概念，并找准相应的边．
6、分析 利用特殊角的三角函数值即可求得cos B的值．在Rt△ABC中，∵sin A＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴cos B＝cos 30°＝.故选C.
【解题策略】 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sin A＝cos(90°－A)．任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cos A＝sin(90°－A)，同时有sin2α＋cos2α＝1(α为锐角)，tanα＝．
7、分析 sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°·tan 30°＝＋－－×＝1－－1＝－．故填－.
【解题策略】 解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
8、分析 由α为锐角，0＜sin α＜1，知0＜2m－3＜1，由此可求得m的取值范围．
解：∵0°＜α＜90°，∴0＜sin α＜1，即0＜2m－3＜1，∴＜m＜2．
【解题策略】 当α为锐角时，正弦值随着a的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着α的增大(或减小)而减小(或增大)．
9、分析 如图28－11所示，易知OA＝3，OB＝4，则AB＝ ＝5，此时cos∠OAB＝．故选C.
【解题策略】 本题从表面上看是三角函数与平面直角坐标系的综合应用，实际上还是在直角三角形中研究边与角的关系，注意运用转化思想来求解．
10、解：设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根，
由根与系数的关系可知x1＋x2＝4，x1x2＝m．
又∵x是正整数，∴x1＝1，x2＝3，或x1＝x2＝2，或x1＝3，x2＝1，
∴BC只能取1，2，3．
根据三角形三边之间的关系可知5－3＜BC＜5＋3，
即2＜BC＜8，∴BC＝3．
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∴AC＝BC＝3，AD＝AB＝×5＝2.5．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CA＝3，AD＝2.5，
∴CD＝，
∴sin A＝.
【解题策略】 解题的关键是先根据根与系数的关系求出BC的值，再构造直角三角形求出sin A的值．
11、分析 利用两锐角的余弦值、根与系数的关系组成方程组，求得m，n的值，再检验m，n是否符号题意.
解：设方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别为cosα，cosβ(α＋β＝90°)，
由根与系数的关系得
∵α＋β＝90°，∴cosβ＝sin α，
∴
将①两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝m2，③
把②代入③，得1＋2·n＝m2，∴m2－2n－1＝0．④
又∵－n＝，即m＋5n－1＝0，⑤
∴解得或
当m1＝1，n1＝0时，sin α＋cos α＝－m＝－1＜0，应舍去，即
【解题策略】 此题综合运用根与系数的关系以及锐角的三角函数值来求解．
12、分析 对于a，实际上有两个限制条件：(1)a是△ABC的一边，则5－3＜a＜5＋3，即2＜a＜8；(2)由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0，因为sin θ是该方程的根，所以必有5sin θ－a＝0，即a＝5sin θ，再由sin θ来确定a的取值范围．
解：由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0，
∴x1＝3，x2＝．
∵sin θ是该方程的根，且0＜sin θ＜1(θ是锐角)，
∴＝sin θ，即a＝5sin θ，∴0＜a＜5．①
又∵a是△ABC的一边，∴b－c＜a＜b＋c，
即5－3＜a＜5＋3，∴2＜a＜8，②
由①②得a的取值范围是2＜a＜5．
【解题策略】 此题综合运用了锐角正弦值的取值范围以及三角形的三边关系，这些都是确定不等关系的依据．
13、分析 构造一元二次方程的关键是求tan θ＋和tan θ·的值，故应由已知条件求出θ的度数．
解：设x1，x2是方程x2－2xtan θ－3＝0的两个根.
由根与系数的关系可知x1＋x2＝2tan θ，x1x2＝－3．
∵x12＋x22＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
即(2tan θ)2－2×(－3)＝10，∴4tan2 θ＝4，tan θ＝±1．
又∵0°＜θ＜90°，∴tan θ＝－1不符合题意，舍去，
∴tan θ＝1，θ＝45°,∴＝＝ ＝ ，
∴tanθ＋＝1＋，tan θ·＝1×＝，
∴以tanθ，为根的一元二次方程是x2－(1＋)x＋＝0.
【解题策略】 此类题是锐角三角函数与一元二次方程的有关知识相结合的题目，主要考查综合运用知识的能力．
14、分析 BC不在直角三角形中，故应作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作AD⊥BC，垂足为D，此时分BC的两条线段CD，BD可分别在Rt△ACD和Rt△ADB中求得．
解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ACD中，sin C＝，∠C＝45°，
∴AD＝AC·sin C＝AC·sin 45°＝AC．①
在Rt△ADB中，sin B＝，∠B＝30°，
∴＝sin 30°，∴AD＝AB·sin 30°＝AB．②
由①②可知AC＝AB，∴AB＝AC③
又∵AB－AC＝2－，∴AC－AC＝2－，∴AC＝.
∵cos C＝，∴CD＝AC·cos C＝·cos 45°＝×＝1．
∵cos B＝，∴BD＝AC·cos B＝×·cos 30°＝2×＝．
∴BC=CD＋DB=1＋.
【解题策略】 对于非直角三角形，常通过添加辅助线构造直角三角形来求解．
15、分析 要求四边形的周长，就要知道各边长，利用勾股定理及三角函数值可求得各边长．
解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，sin B＝，
设AE＝5x，则AB＝13x，由勾股定理得BE＝12x，
∵EC＝1，∴BC－BE＝1，
即AB－BE＝1，∴13x－12x＝1，x＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝13，AE＝5，EC＝1，
∴四边形AECD的周长为AE＋EC＋CD＋DA＝5＋1＋13＋13＝32．
【解题策略】 解此类问题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个三角形中，然后根据图形并结合已知条件选择合适的方法来求解．
16、分析 同求30°，45°，60°角的三角函数值一样，要把15°角放在一个直角三角形中，如图28－15所示，考虑到15°＝×30°，所以可以通过构造∠BDC＝30°，从而表示出各边长．
解：作如图28－15所示的直角三角形，
使∠C＝90°，∠A＝15°，在AC上取一点D，使∠BDC＝30°，
∵∠BDC＝∠A＋∠DBA，∴∠DBA＝15°，∴DA＝DB．
设BC＝x，则BD＝DA＝2x，DC＝x，
∴AC＝AD＋DC＝2x＋x＝(2＋)x.
在Rt△ACB中，tan15°＝.
【解题策略】 此题的方法使我们进一步加深了对锐角三角函数的概念的理解，此题的方法还可以用来求75°角的三角函数值．
17、解：①如图28－16所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝40，
∴CD＝20，AD＝AC·cos 30°＝20(米)．
在Rt△CDB中，CD＝20，CB＝25，
∴DB＝＝15，
∴S△ABC＝AB·CD＝(AD＋DB)·CD
＝(20＋15)×20＝200＋150(米2)．
②如图28－17所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，
由①可知CD＝AC＝20，AD＝20，BD＝15，
∴S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝AD·CD－BD·CD＝(AD－
BD)·CD＝(20－15)×20＝200－150(米2)．
【解题策略】 解此题的关键是应用分类讨论思想，千万不要忽略第二种情况．
18、分析 欲求cos 75°的值，必须牢记特殊角的三角函数值，然后代入已知公式求解即可．
解：∵cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
∴cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝.
【解题策略】 解此题的关键是将75°分解为45°和30°的和．
19、证明：(1)过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B，即AD＝c·sin B，
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin C，即AD＝b·sin C，
∴c·sin B＝b·sin C，∴.
解：(2)符合条件的△ABC有两个，如图28－19所示的△ABC1和△ABC2，
此时∠AC1B＝120°或∠C2＝60°．
【解题策略】 解此题的关键是将斜三角形转化为直角三角形．
体验中考
分析 如图28－20(2)所示，设OD＝l，则CD＝2，从而由勾股定理得OC=，∴sin∠AOB＝sin∠COD＝．故选B．
【解题策略】 解此题的关键是找出锐角∠AOB所在的直角三角形．

28.2.1解直角三角形

学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
【重点难点】
1.直角三角形的解法．
2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3.实际问题转化成数学模型.
知识概览图
解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程
三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)
解直角三角形
直角三角形的有关性质

两锐角关系：两锐角互余
边角关系：三角函数
30°角所对的直角边等于斜边的一半
解直角三角形的基本类型及方法

两边一角：由勾股定理求另一边，再求角
一边一角：由三角函数求另两边，再求角
新课导引
【生活链接】如右图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6 m的梯子．
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙?(结果保留小数点后一位)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角a等于多少?这时人是否能够安全使用这个梯子?(结果保留整数)
【问题探究】 对于问题(1)，当梯子与地面所成的角α为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度，即在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．由sin A＝，得BC＝AB·sin A＝6sin75°．由计算器求得sin 75°≈0.97，∴BC≈6×0.97≈5.8(m)．那么对于问题(2)，该如何求解呢?
教材精华
知识点1 解直角三角形的概念
如图28－30所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，c＝5，如何求∠B，a，b呢?
由∠A＋∠B＝90°，∠A＝50°，得∠B＝90°－∠A＝40°．
由sin A＝，得a＝c·sin A＝5·sin 50°≈5×0.7660＝3.83．
由cos A＝，得b＝c·cos A＝5·cos 50°≈5×0.6428＝3.214．
上述问题中，除直角外，已知一条边和一个锐角，求另外两条边和一个锐角，于是有：
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
拓展 直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素．
知识点2 解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．
(3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝.
(4)直角三角形中的有关定理．
①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
③直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°．
④直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项．如图28－31所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则CD2＝AD·DB．同理AC2＝AD·AB，CB2＝BD·BA．
⑤面积公式：如图28－31所示，S△ABC＝CA·CB＝AB·CD．
拓展 运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形：(1)锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A．(2)三边之间的常用变形：a＝，b＝，c＝. (3)边角之间的常用变形：a＝c·sin A，b＝c·cos A，a＝b﹒tan A，a＝c·cos B，b＝c·sin B，b＝a·tan B.
知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法
解直角三角形有四种基本类型：(1)已知斜边和一直角边；(2)已知两直角边；(3)已知斜边和一锐角；(4)已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：
图 形
已知类型
已知条件
解法步骤

两边
斜边，一直角边(如c，d)
(1)b＝
(2)由sin A＝，求∠A
(3)∠B＝90°－∠A
两直角边(如a，b)
(1)c＝
(2)由tan A＝，求∠A
(3)∠B＝90°－∠A
一边一角
斜边，一锐角(如c，∠A)
(1)∠B＝90°－∠A
(2)由sinA＝，求a＝c·sin A
(3)由cos A＝，求b＝c·cos A
一直角边，一锐角(如a，∠A)
(1)∠B＝90°－∠A
(2)由tanA＝，求b＝
(3)由sin A＝，求c＝
拓展 虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种，但为了计算方便，最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则．
规律方法小结 本节知识利用数形结合思想，将锐角三角函数运用到直角三角形中．使问题得以解决，在解决问题时，有时也会用到分类讨论思想．
课堂检测
基础知识应用题
1、根据下列条件解直角三角形．(结果保留小数点后两位)
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝2 ；
(4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝15，∠A＝42°6′．

2、如图28－32所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，BC＝10，求它的腰长和底角．(腰长保留小数点后两位)

3、如图28－33所示，在△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝，求∠A的各个三角函数值．

4、如图28－34所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，D为AC边上一点，∠DBC＝30°，CD＝12，求AD的长和△ABD的面积．(长度保留小数点后一位，面积保留小数点后两位)

5、如图28－35所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α．
(1)求α的各个三角函数值；
(2)若∠B＝α，求BD的长．

6、在Rt△ABC中，∠C＝30°，a＝10，且S△ABC＝，求∠A．

7、已知17cos A＋13cos B＝17，17sin A＝13sinB，且∠A，∠B都是锐角，求∠A＋∠B的值．

8、已知关于x的方程5x2－10xcosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10，且两边夹角为α的菱形的面积．

综合应用题
9、如图28－37所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝6，BC＝4，解这个直角三角形．

10、如图28－38所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．

11、如图28－40所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是BC边上的中线，求证cos∠BAD和sin∠BAD是一元二次方程10x2－4x＋3＝0的两个根．

12、如图28－41所示的是某型号飞机的机翼形状，其中AB∥CD，根据图中的数据计算AC，BD和CD的长度．(结果保留根号)

13、如图28－42所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经过16小时到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知：一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°(即∠NAC＝60°)方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
(1)B处是否会受到台风的影响?请说明理由；
(2)为了避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(参考数据：≈1.4，≈1.7)

探索与创新题
14、如图28－43所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是 ( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm

15、如图28－44所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC边上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为 ( )
A． B．2
C．1 D．2
16、如图28－45所示，在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．

17、在△ABC中，AB＝AC，它的一个外角为80°，底角平分线的长为cm，求腰上的高．

18、如图28－47所示，山上有一座铁塔，山脚下有一