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抓住数学思想方法是根本——《植树问题》的思考与实践

首先和大家简单介绍一下我们教研团队的一些情况。秀田的数学团队，是一个有着优良传统的优秀团队，在南宁市的教科研队伍中一直是一股不断进取的力量。我们的团队精神是以刻苦诠释拼搏，用奉献铸就卓越，以勤奋诠释追求，用团结描绘梦想。目前，这支队伍不段壮大，建立起以秀田总校大组为基本，加入恒大分校及明天校区的新锐力量，辐射周边这样的集团化管理教科研模式，在城区教研室和市教所的专家领导充分引领提升下，不断前行，锐意进取。

在这次活动之前，当我们拿到数学思想方法的主题时，团队就组织力量进行了研讨，数学领域这么广泛，应该从哪里做为切入点比较合适呢，我们进行了深入讨论，我们看到一些观点：““植树问题”的教学设计中，解题不是主要的教学目的，主要的任务是向学生渗透一种思想，……”（《小学数学教师》2012年)；“设计上的一个重要思考是向学生渗透一种思想，一种在数学上和研究问题方面都很重要的思想……”（《小学数学》2014年）

     “植树问题”作为经典的数学问题，具有很高的数学思维含金量和很强的探究空间，人教版教材编在五年级上册“数学广角”里。正是这个内容的独特魅力使之成为教学研究的持续热点。最终我们选定这节课，做为研究数学思想方法的切入点，得到了肖主任的支持、肯定和帮助。
为做好这个课例，我们的执教者庞金玲老师及团队成员在教学准备阶段，研读教材，分析课例。发现不同的教师对这一课的处理可以说是“仁者见仁智者见智”。有的教师只特别重视关于“植树问题”三种不同类型的区分，即 “两端都种”“只种一端”与“两端不种” ，普遍采用“学生独立探究(或分组探究)、反馈交流、教师总结”的模式进行教学。并将“三种情况”的区分以及相应的计算法则(“加一”“不加不减”“减一”)看成一种“定式规律”要求学生牢固地掌握。 
难道这个内容仅仅是“三种情况”的区分和计算法则吗？还有什么更深层次的东西吗？ 
通过对教材和课例的深入解读，我们认为“植树问题”就教学而言， “三种情况”只是显性教学内容，一直得到师生的重视，而“植树问题”中作为隐性教学内容的数学思想方法，常常容易被老师们忽视了。
翻开人教版教材“数学广角”一章的教学建议，它是这样写的： 
“本册主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题⋯ ⋯” 
其实植树问题的建模过程并不复杂，只要通过画线段图或观看课件或动手操作，就能得出数学模型。但是，让学生不拘泥于模型的套用，能灵活的处理各类植树问题，最重要的就是让学生在体验“建模过程”中，提炼出此过程中的数学思想方法。然后，以数学思想方法的渗透为武器去解决植树问题，从而达到举一反三的效果，才能真正使学生通过“植树问题”的解决，起到促进学生思维发展的作用。 
那么，庞老师的这节课都从哪些地方体现了数学思想方法的渗透呢？我想主要有以下几个方面：
一、渗透复杂问题简单化思想 
根据需要，并结合身边的情境，我们将教材例1的100米小路有目的的扩大到3000多米，一上来给的数就比较大，学生难以想象出全种完后会是怎样的情况。此外，再加上，“间距”、“间隔”、“间隔数”、“总长”、“棵数”等专业术语，当例题抛出时，大多数学生愣住了，或者只是机械的用直接÷5来算。来看师生的对话。碰到大问题大困难时，退而求其次，引导学生先用简单数，通过画线段图等手段来探究植树问题的规律后，再回来解决例题的问题，甚至解决再复杂的问题，学生就能水到渠成，顺利解答的学生越来越多。

二、渗透一一对应思想
动态课件的制作，能有效体现间隔数有没有与棵数之间一一对应。
我们来看看试讲中师生的对话。
此时此刻，学生已经发现了棵树与间隔数之间的数量关系。一一对应的数学思想在潜移默化中培养了起来。而且学生已能够利用这种数学思想从图形到抽象的线段图完成数学建模。 因此我们可以用对应的数学思想贯穿课堂，紧紧抓住间隔问题的本质也就是对应问题进行教学，植树问题的三种情况就是间隔排列的不同情况，因此植树问题的本质也是对应问题。一一对应数学思想的渗透，看似只是简单的一个对一个，却使学生从“知其然”到“知其所以然”，真正理解规律而不是死扣公式。

三、渗透数形结合思想
数形结合，使我们的数学学习变得有趣味，这符合小学生的学习心理。数学学习的终极目标是要促进学生思维的发展，所以我们在让学生理解数量关系时，都是通过较小数让学生看图或画图来寻找间隔数与棵数之间的一一对应关系，数形结合的思想也在潜移默化中培养了起来。
先猜想解答，再通过画图验证，这样的数学活动，体现了数形结合的思想，彰显了数学学习的价值，学生的思维水平得到了提升。

四、渗透建模的数学思想
1．模型的建立。引导学生用摆学具、画线段图进行分析、比较、综合、猜想、验证、概括等思维方法自主构建数学模型。数学建模的目的不仅仅是获得数学结论，而是要在建模的过程中促进知识的内化、思想的升华。
在得出“植树棵数=间隔数+1”后，教师引导学生讨论：“师：我们算出4个间隔之后+1才得棵数。别的长度5米，10米，15米，25米，是不是也需要+1呢？（学习单）” “师：长度改变了，“棵数=间隔数+1”的规律还能成立吗?为什么棵数不是等于间隔数而是等于“间隔数+1”呢? 以此类推，25米、35米、100米、10000米，一共要种几棵树的规律你们能找到吗？”这样的设计，引导学生进一步解释模型，有效促进学生理解“棵数=间隔数+1”这一两端种树的数学模型。

2．模型的应用。引导学生利用抽象出的模型解决实际问题。向学生展示了生活中的一些类似问题，如路灯问题、锯木问题等等，并结合南宁市的情境，安排了饮料站的问题。在应用模型的过程中，不再让学生简单地套模型，而引导学生展示解决问题的思维过程，并对各环节进行剖析，进一步加深学生对数学模型的理解，促进模型的内化。

3．模型的拓展。为让学生对植树问题有整体的感悟，建立相对完整的知识结构，我们对教材进行了重组，在本节课上均呈现了植树的三种情况。如得出两端都栽树的模型“植树棵数=间隔数+ 1”后，让学生推理得出“只栽一端”和“两端都不栽”的植树模型，这一过程是学生通过知识迁移，逐步构建的起来的，同时巧妙的打通三种类型的知识联系，让学生真正认识到解决植树问题的本质。

通过这次数学思想方法的专题研究，使我们团队的专业化水平进步提升，很多年轻老师迅速的成长起来。在课例的反复实践过程中，我们也得出了一些思考。。。专家们的用心点拨，引领着我们不断走向完美。
那么，宝贵的时间，应该留在即将到来的时刻，请老师们带着思考一起走进我们的数学课堂。谢谢!