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专题八 第2讲不等式选讲
长沙县第九中学 数学 游畅
一、考情回顾
1、命题 规律
高考中，常常命制求给定含绝对值的不等式的解集，有时还会含有字母参数．一般难度不大，属中等难度，比较适中．
2、方法 点拨
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.
二、例题展示
例一、1．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若f(x)的图象与坐标轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
突破点拨
(1)根据x的取值范围，去绝对值符号求解；
(2)将f(x)的解析式表示为分段函数的形式，利用图象与x轴围成的三角形的面积，求a的范围．

例二、(2016·辽宁协作体一模)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|－2.
(1)解不等式f(x)≥0；
(2)若存在实数x，使得f(x)≤|x|＋a，求实数a的取值范围．
突破点拨
(1)由零点分段法去绝对值符号，注意结果为三种情况的并集 .
(2)将未知量x的式子移项到一边，然后利用大于最小值即满足条件求解．

1．(2016·河南洛阳检测)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)＜|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．
解析：(1)不等式f(x)≤6，
即|2x＋1|＋|2x－3|≤6，
所以①或
②或
③
解①得－1≤x＜－，解②得－≤x≤，
解③得<x≤2，
即不等式的解集为.
(2)因为f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即f(x)的最小值等于4，
所以|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5.
故实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
3．(2016·河南郑州调考)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
解析：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为，
所以当a≤0时，不合题意．
当a>0时，－≤x≤，
得a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f，
则h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
所以k的取值范围是[1，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜3；
(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．
解析：(1)因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝

所以f(x)<3的解集为.
(2)|2x－a|＋|x＋1|＝＋＋≥＋0＝
当且仅当(x＋1)≤0且x－＝0时，取等号．
所以＝1，解得a＝－4或0.
5．设函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|.
(1)解不等式f(x)≥2；
(2)当x∈R,0＜y＜1时，证明：|x＋2|－|x－2|≤＋.
解析：(1)由已知可得，
f(x)＝
所以，f(x)≥2的解集为.
(2)证明：由(1)知，|x＋2|－|x－2|≤4，
＋＝[y＋(1－y)]＝2＋＋≥4(当且仅当y＝时取等号)，
所以|x＋2|－|x－2|≤＋.
6．已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值．
解析：(1)由|x＋a|<b，得
－b－a<x<b－a，
则解得a＝－3，b＝1.
(2)＋
＝＋≤
＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.