常见数学解题策略的反思.doc

辨析型问题一例
——常见数学解题策略的反思
最近，在我区的数学高考模拟试题中，命题者设计了这样一道题：
有这样一个问题：已知函数的值恒小于1，求实数的取值范围.
某同学解答如下：因为.故当时，函数的最大值为.则由或.因此，实数的取值范围是.
请问：该同学的解答是否正确？若正确，请计算当时，函数的值域；若不正确请写出你认为正确的答案： .
这类问题由于考查目标中包含了对数学问题解决方法或策略的评价与辨析，故一般被称为辨析型问题。上海市二期课改数学课程标准提出要让学生获得“批判与反驳”等学习过程的体验，故这类问题在2003年上海市数学高考卷的第12题中首次出现，从反馈的信息来看，辨析型问题是一类能考查学生数学能力和一般能力综合程度的新颖的试题类型。
试题的原型其实十分普通：
“函数的最大值为 .”（答案：）
由于发现一个分式型函数的分母上是一个二次函数，故本题的解题策略是先求出的最小值，它的倒数则就是函数的最大值了。
那么，如果我们将其常数项变成一个实参数，解题策略会发生哪些变化呢？题目中给出了一种典型的解题方法，阅读解题过程我们不难看出，它采用的是和原型题相同的策略。这样的解法是否有问题呢？
首先，若一时找不出问题，我们不妨按照题目的要求，计算一下当时，函数的值域。因为当时，分母是二次函数，故问题变成了当时，函数的值域。不难解得。细心的同学一定已经发现，它与条件“函数的值恒小于1”矛盾！看来，题目中的解法一定存在错误。那么，错误发生在哪个环节呢？
其实，对于这样一个问题的判别同学们也许并不陌生，即命题“”是一个假命题。反例很简单“当时，有”。转化到问题中，我们不妨假设分母上的二次函数的最小值为，当时，我们不能推出的结论。对于本问题而言，当时，的最小值小于0，但的取值范围包括了这样的区间，所以此时对应的取值范围可趋向无穷大。所以满足条件的的取值范围不应包括。而当时，的最小值大于0。此时，题目中给出的解题策略才不会发生错误。故本题的结论应当是。
当然，我们不妨也可采用这样的辨析思路：
若我们令，它为开口向上的抛物线。假设，则必有的取值区间，而它对应倒数的取值范围一定趋向于无穷大，不能符合“函数的值恒小于1”的条件。于是，对于函数，必有即，再结合原题中的解法知本题结论应为。
解决了这个问题之后，值得同学们反思的是：即使是常见数学问题的解题策略，在正确应用之前，往往必须留意它的前提，不能随意地迁移。就如本题错误的实质是：“对于，当取得最小值（）时，取得相应的最大值。”这个命题是不正确的。我们虽然经常采用类似的解题策略，那是因为一定有一个容易被我们忽略的前提：“的最小值”。

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