【数学】山东省枣庄第八中学东校区2018年自主招生考试数学试题-含答案.doc

九年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 已知，则的值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
第2题图
2．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C.8 D.12
3．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（ ）
A．5组 B．7组 C．9组 D．11组
4．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（　　）
A． B．5 C．6 D．

第5题图

第4题图

5.将函数y＝2x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为（ ）
A. -4≤b≤-2 B. -6≤b≤2 C.-4≤b≤2 D. -8≤b≤-2
6.设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的有（　　）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
7.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是( )
A． B． C． D．
x
O
y
C1
D1
A1
B1
E1
E2
E3
E4
C2
D2
A2
B2
C3
D3
A3
B3
第7题图

第8题图
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在
（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3. 其中说法正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9.若关于的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数的值的总和为（ ）
A． B． C． D．
第10题图
10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE,CF. BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（　　）
①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE
④S△HDG：S△HBG＝tan∠DAG ;⑤线段DH的最小值是2﹣2．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2018的坐标为　 　．
12. 如图, 点A，C都在函数的图象上，点B，D都在轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．

第12题图
第13题图

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A(0,6),B（4，6）,C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 .

14. 已知有理数x满足：，若的最小值为a，最大值为b，则ab= .
第15题图
15.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），减去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为　　 cm．
三、解答题（每题10分，共50分）
16. （本题满分10分）
已知非零实数，b满足，求的值

17. （本题满分10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；
（2）猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(3) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.

18. （本题满分10分） 边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．
（1）连接CQ，证明：CQ=AP；
（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，证明你的结论．

18备用图2
18备用图1
第18题图

19. （本题满分10分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE
（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）在(2)的条件下,设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

19备用图2
19备用图1
第19题图

O
A
B
xB
y
P
Q
C
E
D
F
第20题图
20. （本题满分10分）如图，已知抛物线y=ax2＋bx经过点A()和B()．点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线段，与直线OB交于点C，延长PC到Q，使QC=PC．过点Q的直线分别与x轴、y轴相交于点D、E，且OD=OE，直线DE与直线OB相交于点F．设OP=t．
（1）请直接写出抛物线和直线OB的函数解析式；
（2）当点Q落在抛物线上时，求t的值；
（3）连结BD：
①请用含t的代数式表示点F的坐标；
②当以点B、D、F为顶点的三角形与△OEF相似时，
求t的值．

九年级数学参考答案
一、 选择题（每题3分，共30分）
1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C
二、填空题（每题4分，共20分）
11. （1，4）；12. （，0）；13. ；14. 5；15. 40或
三、解答题（每小题10分，共50分）
16. （本题满分10分）
由题意得： ………………………………………. 2分
……………………………… 3分

……………6分
又因为，故 ……… 8分
则， ………………………………… 9分
故=25 ………………………… ………………………… ……………………10分
17．（本题满分10分）
解：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）……………………2分
（2）任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：
设任意四位“和谐数”形式为：abcd，则满足：
最高位到个位排列：a，b，c，d 个位到最高位排列：d,c,b,a
由题意，可得两组数据相同，则：a=d,b=c
则为正整数
∴ 四位“和谐数” abcd能被11整数 又∵a，b，c，d 为任意自然数，
∴任意四位“和谐数”都可以被11整除…………………………………………5分
（3）设能被11整除的三位“和谐数”为，zyx,则满足：个位到最高位排列：x,y,z 最高位到各位排列：z,y,x.由题意得,两组数据相同,则:x=z.故
为正整数
∴y=2x()……………………………………………………8分
18. （本题满分10分）
（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，
∴BP=BQ，∠PBQ=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°．
∴∠ABC=∠PBQ．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．
在△BAP和△BCQ中，
∵，
∴△BAP≌△BCQ（SAS）．
∴CQ=AP；………………………………………………………………………………3分
（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，
∵DC=AD=2，
由勾股定理得：AC==4，
∵AP=x，
∴PC=4﹣x，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=45°，
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，
∴∠CPQ=∠ABP，
∵∠BAC=∠ACB=45°，
∴△APB∽△CEP，………………………………………………………………………………5分
∴，
∴，
∴y=x（4﹣x）=﹣x（0＜x＜4），
由CE=BC==，
∴y=﹣x=，……………………………………………………6分
x2﹣4x=3=0，
（x﹣3）（x﹣1）=0，
x=3或1，
∴当x=3或1时，CE=BC；……………………………………………………7分
（3）解：结论：PF=EQ，…………………………………………………………8分
理由是：
如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，
∵∠BPQ=45°，
∴∠GPB=45°，
∴∠GPB=∠PQB=45°，
∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，
∴△PGB≌△QEB，
∴EQ=PG，
∵∠BAD=90°，
∴F、A、G、P四点共圆，
连接FG，
∴∠FGP=∠FAP=45°，
∴△FPG是等腰直角三角形，
∴PF=PG，
∴PF=EQ．…………………………………9分
当F在AD的延长线上时，如图3，同理可得：PF=PG=EQ．
…………………………………10分

19. （本题满分10分）证明：（1）如图1，连接BC，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠A=∠ABC，
∵EC=AE，
∴∠A=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AE•AB；………………………………………………………………………………3分
（2）PB=PE，……………………………………………………………………………4分
理由是：
如图2，连接OB，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
∴∠PBN+∠OBN=90°，
∵∠OBN+∠COB=90°，
∴∠PBN=∠COB，
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，
∠COB=2∠A，
∴∠PEB=∠COB，
∴∠PEB=∠PBN，
∴PB=PE；………………………………………………………………………………7分
（3）如图3，∵N为OC的中点，
∴ON=OC=OB，
Rt△OBN中，∠OBN=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，
∵Q为⊙O任意一点，
连接PQ、OQ，
因为OQ为半径，是定值4，
则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，
当P、Q、O三点共线时，PQ最小，
∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，
∠A=∠COB=30°，
∴∠PEB=2∠A=60°，
∠ABP=90°﹣30°=60°，
∴△PBE是等边三角形，
Rt△OBN中，BN==2，
∴AB=2BN=4，
设AE=x，则CE=x，EN=2﹣x，
Rt△CNE中，x2=22+（2﹣x）2，
x=，
∴BE=PB=4﹣=，
Rt△OPB中，OP===，
∴PQ=﹣4=．
则线段PQ的最小值是．……………………………………………………10分

20. （本题满分10分）
O
A
B
xB
y
P
Q
C
E
D
F

G
解：
（1）抛物线的函数解析式是，………………………2分
直线OB的函数解析式是； ………………3分
（2）∵OP=t，PC⊥x轴于点P，交直线OB于点C，
∴PC=，∴PQ=，即Q（t，t），………………4分
当点Q落在抛物线上时，，
解得：； -…………………………………………6分

（3）①作FG⊥x轴于点G，设FG=n，
由（2）得：PQ=，∵OD=OE，OD⊥OE，
∴，∴△PDQ是等腰直角三角形
∴PD= PQ=，∴OD=2t，
同理可得：FG= DG=，∴OG=，
将x=，y=n代入得：，
∴OG=，∴F（，）； ………………………………………8分
②由（3）①得：OF=，，
∵，，
∴BF=,,
Ⅰ．当点F在射线OB的点B的右侧时：∠BFD>90°,而△OEF中无钝角，故此时△OEF与△DBF不相似；
Ⅱ．当点F在线段OB上时：
∵∠OFE=∠BFD，∴OE和BD是对应边，
当△OEF∽△DBF时，，即，解得：，
当△OEF∽△BDF时，，即，解得：．
∴或4． …………………………………10分