常州数学小一模.doc

2015届高三模拟考试试卷(九)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2015．2
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝________.
2. 函数f(x)＝log2(x2－6)的定义域为________．
3. 设复数z＝(m＞0，i为虚数单位)，若z＝z，则m的值为________．
4. 已知双曲线ax2－4y2＝1的离心率为，则实数a的值为________．

(第6题)
5. 函数f(x)＝cos的最小正周期为________．
6. 右图是一个算法流程图，则输出的a的值是________．
7. 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为________．
8. 若实数x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最小值为________．
9. 曲线y＝x－cosx在点处的切线方程为____________．
10. 已知函数f(x)＝|2x－2|(x∈(－1，2))，则函数y＝f(x－1)的值域为________．
11. 已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为________．
12. 设等比数列{an}的公比为q(0＜q＜1)，前n项和为Sn，若a1＝4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，则S6＝________.
13. 若不等式x2－2y2≤cx(y－x)对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x－y－8＝0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝，A＋3C＝π.
(1) 求cosC的值；
(2) 求sinB的值；
(3) 若b＝3，求△ABC的面积．

(本小题满分14分)
如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM.求证：

(1) OM∥平面PAD；
(2) OM⊥平面PCD.
17. (本小题满分14分)
某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．
(1) 求S关于x的函数关系式；
(2) 求S的最大值．

18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线l：x－my－1＝0(m∈R)过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知点D，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．
19. (本小题满分16分)
已知数列{an}(n∈N*，1≤n≤46)满足a1＝a，an＋1－an＝其中d≠0，n∈N*.
(1) 当a＝1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；
(2) 设集合M＝{b|b＝ai＋aj＋ak，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．
① 若a＝，d＝，求证：2∈M；
② 是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．
20. (本小题满分16分)
已知a，b为实数，函数f(x)＝＋b，函数g(x)＝lnx.
(1) 当a＝b＝0时，令F(x)＝f(x)＋g(x)，求函数F(x)的极值；
(2) 当a＝－1时，令G(x)＝f(x)·g(x)，是否存在实数b，使得对于函数y＝G(x)定义域中的任意实数x1，均存在实数x2∈[1，＋∞)，有G(x1)－x2＝0成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由.

2015届高三模拟考试试卷(九)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，已知AB是圆O的直径，P是上半圆上除直径AB端点A，B外的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点．求证：直线PC经过点E.

B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵M＝满足：Mαi＝λiαi，其中λi(i＝1，2)是互不相等的实常数，ai(i＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝，求矩阵M.

C. (选修44：坐标系与参数方程)
已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：y＝x和l2：y＝－x上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]．记＝＋，求动点M的轨迹的普通方程．
D. (选修45：不等式选讲)
已知a＞0，b＞0，证明：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品中的任一种不受其他商品的影响．
(1) 求该网民至少购买4种商品的概率；
(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．

23. 设n个正数a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an(n∈N*且n≥3)．
(1) 当n＝3时，证明：＋＋≥a1＋a2＋a3；
(2) 当n＝4时，不等式＋＋＋≥a1＋a2＋a3＋a4也成立，请你将其推广到n(n∈N*且n≥3)个正数a1，a2，…，an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．
2015届高三模拟考试试卷(一)(常州)
数学参考答案及评分标准

1. {0，1}　2. (－∞，－)∪(，＋∞)　3. 　4. 8　5. 2π　6. 127　7. 　8. 1
9. 2x－y－＝0　10. [0，2)　11. 　12. 　13. 2－4　14. －
15. 解：(1) 因为A＋B＋C＝π，A＋3C＝π，所以B＝2C.(2分)
又由正弦定理，得＝，＝，＝，化简，得cosC＝.(5分)
(2) 因为C∈(0，π)，所以sinC＝＝＝.
所以sinB＝sin2C＝2sinCcosC＝2××＝.(8分)
(3) 因为B＝2C，所以cosB＝cos2C＝2cos2C－1＝2×－1＝－.(10分)
因为A＋B＋C＝π，
所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.(12分)
因为＝，b＝3，所以c＝.
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×3××＝.(14分)
16. 证明：(1) 连结AC，因为ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点．(2分)
在△PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，所以OM∥PA.(4分)
因为OM平面PAD，PA平面PAD，所以OM∥平面PAD.(6分)

(2) 连结PO.因为O是BD的中点，PB＝PD，所以PO⊥BD.
因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO平面PBD，所以PO⊥平面ABCD.从而PO⊥CD.(8分)
因为CD⊥PC，PC∩PO＝P，PC平面PAC，PO平面PAC，所以CD⊥平面PAC.
因为OM平面PAC，所以CD⊥OM.(10分)
因为PA⊥PC，OM∥PA，所以OM⊥PC.(12分)
因为CD平面PCD，PC平面PCD，CD∩PC＝C，所以OM⊥平面PCD.(14分)
17. 解：(1) 由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8，450)．(6分)
(2) 因为8<x<450，所以2x＋≥2＝240，(8分)
当且仅当x＝60时等号成立．(10分)
从而S≤676.(12分)
答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.(14分)
18. 解：(1) 由题设，得解得 从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
(2) 令m＝0，则A，B或者A，B.
当A，B时，P；当A，B时，P，
所以，若满足题意的直线存在，则定直线l2只能是x＝4.(6分)
下面证明点P恒在直线x＝4上．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P(4，y1)在直线BD上．(8分)
由得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
∵ Δ＝144(1＋m2)>0，∴ y1＋y2＝，y1y2＝.①(10分)
∵ kDB－kDP＝－＝－＝＝，(13分)
① 式代入上式，得kDB－kDP＝0，∴ kDB＝kDP.(15分)
∴ 点P(4，y1)恒在直线BD上，从而直线l1、直线BD与直线l2：x＝4三线过同一点P，
∴ 存在一条定直线l2：x＝4使得点P恒在直线l2上．(16分)
19. (1) 解：当a＝1时，a16＝1＋15d，a31＝16＋15d，a46＝16＋15.(2分)
因为d≠0，d＋≥2，或d＋≤－2，所以a46∈(－∞，－14]∪[46，＋∞)．(4分)
(2) ① 证明：由题意an＝＋，1≤n≤16，b＝1＋.(6分)
令1＋＝2，得i＋j＋k＝7.
因为i，j，k∈N*，1≤i<j<k≤16，所以令i＝1，j＝2，k＝4，则2∈M.(8分)
② 不存在实数a，d，使，1，同时属于M.(9分)
假设存在实数a，d，使，1，同时属于M.
因为an＝a＋(n－1)d，所以b＝3a＋(i＋j＋k－3)d，
从而M＝{b|b＝3a＋md，3≤m≤42，m∈Z}．(11分)
因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z(x，y，z∈[3，42])，
使得从而则＝.(13分)
因为35与48互质，且y－x与z－x为整数，
所以|y－x|≥35，|z－x|≥48，但|z－x|≤39，矛盾．
所以不存在实数a，d，使，1，都属于M.(16分)
20. 解：(1) F(x)＝＋lnx，F′(x)＝，令F′(x)＝0，得x＝1.(1分)
列表：

x
(0，1)
1
(1，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)

极小值

所以F(x)的极小值为F(1)＝1，无极大值．(4分)
(2) 当a＝－1时，假设存在实数b满足条件，则G(x)＝lnx≥1在x∈(0，1)∪(1，＋∞)上恒成立．(5分)
1) 当x∈(0，1)时，G(x)＝lnx≥1可化为(bx＋1－b)lnx－x＋1≤0，
令H(x)＝(bx＋1－b)lnx－x＋1，x∈(0，1)，问题转化为：H(x)≤0对任意x∈(0，1)恒成立(*)；则H(1)＝0，H′(x)＝blnx＋＋b－1，H′(1)＝0.
令Q(x)＝blnx＋＋b－1，则Q′(x)＝.
① b≤时，因为b(x＋1)－1≤(x＋1)－1<×2－1＝0，
故Q′(x)<0，所以函数y＝Q(x)在x∈(0，1)时单调递减，Q(x)>Q(1)＝0，
即H′(x)>0，从而函数y＝H(x)在x∈(0，1)时单调递增，故H(x)<H(1)＝0，所以(*)成立，满足题意；(7分)
② 当b＞，Q′(x)＝＝，
因为b>，所以－1<1，记I＝∩(0，1)，则当x∈I时，x－>0，
故Q′(x)>0，所以函数y＝Q(x)在x∈I时单调递增，Q(x)<Q(1)＝0，
即H′(x)<0，从而函数y＝H(x)在x∈I时单调递减，所以H(x)>H(1)＝0，此时(*)不成立；所以当x∈(0，1)，G(x)＝lnx≥1恒成立时，b≤；(9分)
2) 当x∈(1，＋∞)时，G(x)＝lnx≥1可化为(bx＋1－b)lnx－x＋1≥0，
令H(x)＝(bx＋1－b)lnx－x＋1，x∈(1，＋∞)，问题转化为：H(x)≥0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立(**)；则H(1)＝0，H′(x)＝blnx＋＋b－1，H′(1)＝0.
令Q(x)＝blnx＋＋b－1，则Q′(x)＝.
① b≥时，b(x＋1)－1>2b－1≥×2－1＝0，
故 Q′(x)>0，所以函数y＝Q(x)在x∈(1，＋∞)时单调递增，Q(x)>Q(1)＝0，
即H′(x)>0，从而函数y＝H(x)在x∈(1，＋∞)时单调递增，所以H(x)>H(1)＝0，此时(**)成立；(11分)
② 当b<时，
ⅰ) 若 b≤0，必有Q′(x)<0，故函数y＝Q(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，所以Q(x)<Q(1)＝0，即H′(x)<0，从而函数y＝H(x)在x∈(1，＋∞)时单调递减，所以H(x)<H(1)＝0，此时(**)不成立；(13分)
ⅱ) 若0<b<，则－1>1，所以当x∈时，
Q′(x)＝＝<0，
故函数y＝Q(x)在x∈上单调递减，Q(x)<Q(1)＝0，即H′(x)<0，所以函数y＝H(x)在x∈时单调递减，所以H(x)<H(1)＝0，此时(**)不成立；
所以当x∈(1，＋∞)，G(x)＝lnx≥1恒成立时，b≥.(15分)
综上所述，当x∈(0，1)∪(1，＋∞)，G(x)＝lnx≥1恒成立时，b＝，从而实数b的取值集合为.(16分)
2015届高三模拟考试试卷(九)(常州)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 证明：连结AE，EB，OE，则∠AOE＝∠BOE＝90°.(2分)
因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，所以∠APE＝∠AOE＝45°.(5分)
同理可得∠BPE＝45°，所以PE是∠APB的平分线．(8分)
又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．
所以直线PC经过点E.(10分)
B. 解：由题意，λ1，λ2是方程f(λ)＝＝λ2－ab＝0的两根．
因为λ1＝1，所以ab＝1.　①(2分)
因为Mα2＝λ2α2，所以＝λ2，从而(5分)
所以λ＝ab＝1.
因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1.从而a＝b＝－1.(8分)
故矩阵M＝.(10分)
C. 解：设M(x，y)，则(2分)
两式平方相加得x2＋y2＝2.(5分)
又x＝sin，y＝sin，θ∈[0，π]，所以x∈，y∈.(8分)
所以动点M轨迹的普通方程为x2＋y2＝2(x，y∈)．(10分)
D. 证明：因为a>0，b>0，所以a2＋b2＋ab≥3＝3ab>0，(4分)
ab2＋a2b＋1≥3＝3ab>0，(8分)
所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.(10分)
22. 解：(1) 记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i＝4，5，
则P(A5)＝××××＝，
P(A4)＝××××＋C××××＋C××××＝，(2分)
所以该网民至少购买4种商品的概率为P(A5)＋P(A4)＝＋＝.
答：该网民至少购买4种商品的概率为.(3分)
(2) 随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P(η＝0)＝××××＝，
P(η＝1)＝C××××＋C××××＋××××＝，
P(η＝2)＝××××＋××××＋C××××＋C××××＋C××C××＝，
P(η＝3)＝1－P(η＝0，1，2，4，5)＝1－－－－－＝，
P(η＝4)＝P(A4)＝，P(η＝5)＝P(A5)＝.(8分)
所以，随机变量η的概率分布为

η
0
1
2
3
4
5
P

故Eη＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.(10分)
23. (1) 证明：因为an(n∈N*且n≥3)均为正实数，
左－右＝＋＋
≥＋＋
＝0，
所以，原不等式＋＋≥a1＋a2＋a3成立．(4分)
(2) 解：归纳的不等式为
＋＋…＋＋＋≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且n≥3)．(5分)
记Fn＝＋＋…＋＋＋－(a1＋a2＋…＋an)，
当n＝3(n∈N*)时，由(1)知，不等式成立；
假设当n＝k(k∈N*且k≥3)时，不等式成立，即
Fk＝＋＋…＋＋＋－(a1＋a2＋…＋ak)≥0.
则当n＝k＋1时，
Fk＋1＝＋＋…＋＋＋＋－(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1)
＝Fk＋＋＋－－－ak＋1(7分)
＝Fk＋ak－1ak＋ak＋1＋(ak＋1－ak)
≥0＋a＋ak＋1＋(ak＋1－ak)
＝(ak＋1－ak)，
因为ak＋1≥ak，＋≥2，≤＝2，
所以Fk＋1≥0，所以当n＝k＋1，不等式成立．(9分)
综上所述，不等式＋＋…＋＋＋≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且n≥3)成立．(10分)