文科数学试卷.doc

文科数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
S=S﹡i
1.已知是虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为实数，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3．已知程序框图如右，则输出的为
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个
等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（ ）
A.
B.
正视图
3
侧视图
俯视图
4
2
4
2
C.
D.
5.已知O为坐标原点，点A的坐标是，
点在不等式组所确定的
区域内（包括边界）上运动，则的范围是 （ ）
A. B. C. D.
6.设函数，函数，下列说法正确的是 （ ）
A.在单调递增，其图像关于直线对称
B. 在单调递增，其图像关于直线对称
C. 在单调递减，其图像关于直线对称
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
F
E
D. 在单调递减，其图像关于直线对称
7.已知E、F分别是正方体
棱BB1、AD的中点，则直线EF和平面所成的
角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8．如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）
A. B. C. D.
C
A
B
E
D
9.如图，已知直角三角形的三边的长度成等差数列，点为直角边AB的中点，点D在斜边AC上，且，若，则
A. B. C. D.
10.已知点P在半径为1的半圆周上沿着APB路径运动，
⌒
AP
设弧 的长度为x，弓形面积为（如图所示的阴影部分），
则关于函数的有如下结论：
P
B
A
O
①函数的定义域和值域都是；
②如果函数的定义域R，则函数是周期函数；
③如果函数的定义域R，则函数是奇函数；
④函数在区间上是单调递增函数.
以上结论的正确个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．
11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________．
5.5 6 6.5 7 7.5
时间∕
频率

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1

12.等比数列中，.若分别为等差数列的第4项和第16项，则数列的前项和= .
13.在圆上，与直线的距离最小值是 .
14.已知集合，集合，，则实数的范围是 .
15.如果复数，，记个的积为，通过验证，的结果，推测 .（结果用表示）
16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是 　 ．
6
14
t/h
O
T/℃
30
10
17.已知，直线与函数有且仅有一个公共点，
则 ；公共点坐标是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
18.（本题满分12分）武汉地区春天的温度的变
化曲线近似地满足函数
（如图所示，单位:摄氏温
度,）.
（Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；
（Ⅱ）求出一天（，单位小时）
温度的变化在时的时间.

本科（单位：名）
研究生（单位：名）
35岁以下
3
y
35—50岁
3
2
50岁以上
x
0
19.（本题满分12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是，是35岁以下的研究生概率是.
（Ⅰ）求出表格中的x和y的值；
（Ⅱ）设“从数学教研组任选两名
教师，本科一名，研究生一名，50
岁以上本科生和35岁以下的研究
A
B
C
D
P
生不全选中” 的事件为A，求事件A概率.
20. （本小题满分13分）已知平面平面,
矩形的边长，
.
（Ⅰ）证明：直线平面；
（Ⅱ）求直线和底面所成角的大小.
21. （本题满分14分）
已知函数，在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；
（3）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．21.（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，点， 为上两点，斜率为的直线与椭圆交于点，（，在直线两侧）．
（I）求四边形面积的最大值；
（II）设直线，的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

1.已知是虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】，故选C.
【命题意图】考查复数的运算法则和模的定义及运算.
2.已知为实数，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】，不一定成立，例如，有，
但是不成立；反之，，则，根据对数的运算法则，，所以一定成立，故选B.
【命题意图】考查对数的运算法则，充要必要条件内容的考查.
S=S﹡i

3．已知程序框图如右，则输出的为
A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C.
【解析】由程序框图可得
时，，故输出的为9，
故选C.
【命题意图】考查程序框图的基本内容，考查
简单的逻辑推理能力.

正视图
3
侧视图
俯视图
4
2
4
2

4．已知一个几何体的三视图如下，正视图和
俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么
该几何体的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【解析】由图可知，该几何体是上下底
面试正方形，高度是3的四棱台，
根据台体的体积公式
得：
，故选B.
【命题意图】考查三视图和简单几何体的基本概念，台体的体积计算公式和运算能力.
A（3,0）
B（2,2）
C（0，3）
x
y
O
5.已知O为坐标原点，点A的坐标是，点在不等式组所确定的区域内（包括边界）上运动，则的范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】先求出三条直线
的交点，交点分别是
、、，可行域是
如图所示的区域（包括边界），因为，令，如图平行移动直线，当直线过时，取得最小值6，当直线过时，取得最大值10，，故选C.
【命题意图】考查二元一次不等式组表示的平面区域，简单的线性规划问题和向量的数量积.
6.设函数，函数，下列说法正确的是 （ ）
A.在单调递增，其图像关于直线对称
B. 在单调递增，其图像关于直线对称
C. 在单调递减，其图像关于直线对称
D. 在单调递减，其图像关于直线对称
【答案】D.
【解析】解法一：.所以f(x) 在单调递减，其图像关于直线对称，故选D.
解法二：直接验证 由选项知不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然不会是对称轴故选D.
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
F
E
【命题意图】本题考查三角函数图像和性质，属于中等题.

7.已知E、F分别是正方体
棱BB1、AD的中点，则直线EF和平面所成的
角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】[方法一]设正方体的棱长为2，由于E、F分别是正方体
棱BB1、AD的中点，连接BD，AE，过F作BD交BD于H，则FH⊥，因为,，直线EF和平面所成的
角的正弦值是，故选B.
[方法二]建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
【命题意图】考查空间直线和平面的位置关系，简单的空间直角坐标系数.

8．如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：由条件可知，则，当时，方程为，表示焦点在轴的双曲线，半焦距为，此时B和D选项不是椭圆，而A和C选项中均表示焦点在轴上得椭圆，矛盾；当时，方程为，表示焦点在轴的双曲线，半焦距为，此时A和C选项不是椭圆，B选项为 ，D选项为均表示焦点在轴上得椭圆，只有D选项的半焦距为，因此选D．
【命题意图】考察圆锥曲线的基本概念、圆锥曲线的标准方程以及分类与整合的数学思想.
9.如图，已知直角三角形的三边的长度成等差数列，点为直角边AB的中点，点D在斜边AC上，且，若，则
C
A
B
E
D
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】三边的长度成等差数列，设为
，则
，则，不妨令
因此三边长分别为，
,.
由得：，即，，
所以，因此选B.
【命题意图】考查向量的运算法则，数量积和解决问题的能力.
⌒
AP

10.已知点P在半径为1的半圆周上沿着APB路径运动，设弧 的长度为x，弓形面积为（如图所示的阴影部分），则关于函数的有如下结论：
P
B
A
O
①函数的定义域和值域都是；
②如果函数的定义域R，则函数是周期函数；
③如果函数的定义域R，则函数是奇函数；
④函数在区间上是单调递增函数.
以上结论的正确个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B.
【解析】因为，，所以
，它的定义域是，，在区间上是增函数，，显然该函数不是周期函数，如果函数的定义域R，则函数是奇函数，故①、②不正确，③和④正确，选B.
【命题意图】考查学生创新意识和解决实际问题的能力，考查运用数学知识解决实际问题的能力，考查函数的基本性质.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________．
5.5 6 6.5 7 7.5
时间∕
频率

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1

【答案】h.
【解析】.
【命题意图】考查直方图的基本概念，考查解决实际问题的能力.

12.等比数列中，.若分别为等差数列的第4项和第16项，则数列的前项和= .
【答案】.
【解析】设的公比为, 由已知得，解得.
又，所以.
则，，则，.
设的公差为，则有 解得
则数列的前项和
【命题意图】考查等数列和等比数列的基本概念，考查等数列和等比数列通项与求和方法，考查学生的计算能力.
13.（在圆上，与直线的距离最小值是 .
【答案】.
【解析】圆的半径是2，圆心到的距离是，所以圆上，与直线的距离最小值是，所以应该填.
【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.
14.已知集合，集合，，则实数的范围是 .
【答案】
【解析】，由于，则，
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，若，则，即；
综合以上讨论，实数的范围是.
【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.
15.如果复数，，记个的积为，通过验证，的结果，推测 .（结果用表示）
【答案】.
【解析】由条件
，
；

；
推测
【命题意图】考查复数的运算和三角变换，以及归纳推理的等数学知识，考查学生运用数学知识解决问题的能力.
16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是 　 ．
【答案】.
【解析】设三角形的三边长分别是，三个角分别是．由正弦定理得，，所以，由余弦定理得，
，即，，（舍去），所以三边分别是，周长为，答案填.
【命题意图】考查利用基本不等式求最值的技能，考查不等式使用的条件和解题技巧.
17.已知，直线与函数有且仅有一个公共点，
则 ；公共点坐标是 .
【答案】，.
【解析】构造新函数，，令
有，因为，当时，；当时，
所以，在处有最大值，当时，直线与函数有且仅有一个公共点，即，
，，则,即公共点坐标是，所以两空分别填，.
【命题意图】考查导数和函数零点等知识解决问题的能力，考查学生创新意识、运用数学知识解决问题的能力和计算能力.

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18.（本题满分12分）（课本必修4第60页例1改编）
武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数（如图所示，单位:摄氏温度,）.
6
14
t/h
O
T/℃
30
10
（Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；
（Ⅱ）求出一天（，单位小时）
温度的变化在时的时间.
解：（Ⅰ）由条件可知
解得
因为，所以.
所以.
将点代入上式，得.从而解析式是.………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），令，
得.
所以，………………………………①
或………………………………②
由①，得.取，得.
由②，得.取，得；取，得.
即一天温度的变化在时的时间是，，三个时间段，共4小时………………………………………………（12分）
19.（本题满分12分）
某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是，是35岁以下的研究生概率是.

本科（单位：名）
研究生（单位：名）
35岁以下
3
y
35—50岁
3
2
50岁以上
x
0
（Ⅰ）求出表格中的x和y的值；

（Ⅱ）设“从数学教研组任选两名
教师，本科一名，研究生一名，50
岁以上本科生和35岁以下的研究
生不全选中” 的事件为A，求事件A概率.
【解析】（Ⅰ）从科研所任选一名研究人员，是本科生概率是，是35岁以下的研究生概率是.
所以，解得
因此该科研所的研究人员共有12名，其中50岁以上的具有本科学历的2名，35岁以下具有研究生学历的2名；
（Ⅱ）设具有本科学历的研究人员分别标记为，其中是50岁以上本科生，研究生分别标记为,35岁以下的研究生分别标记为，事件A的基本事件是共有32种：
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，
50岁以上的具有本科学历和35岁以下具有研究生学历的研究人员全部被选上的有，，，有4种，所以
【命题意图】考查古典概型基本知识和解决概率问题基本方法，考查学生应用数学知识解决问题的能力、逻辑推理能力和计算能力.
A
B
C
D
P
20. （本小题满分13分）已知平面平面,矩形的边长，.
（Ⅰ）证明：直线平面；
（Ⅱ）求直线和底面所成角的大小.
【解析】（Ⅰ）因为四边形是矩形
，…………………2分
又平面…………………4分
平面…………………5分
所以直线平面……………6分
（Ⅱ）由条件平面平面
平面平面
A
B
C
D
P
E
过点P作，……………7分
又因为
根据平面和平面垂直的性质定理得
平面,平面……………9分
所以，直线是直线在平面内的射影
直线和底面所成角，
且……………10分
在中，
因为所以
在中，
，
…………11分
直线和底面所成角的大小为.…………12分

21. （本题满分14分）
已知函数，在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；
（3）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

【解析】（1） …………1分
根据题意，得 即
解得 …………3分
（2）令，解得
，
时， …………5分
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值，都有

所以所以的最小值为4。 …………6分
（Ⅲ）设切点为
， 切线的斜率为
则
即， …………8分
因为过点，可作曲线的三条切线
所以方程有三个不同的实数解
即函数有三个不同的零点， …………9分
则
令

0
（0，2）
2
（2，+∞）

+
0
—
0
+

极大值

极小值

…………10分
即，∴ …………12分

21.（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，点， 为上两点，斜率为的直线与椭圆交于点，（，在直线两侧）．
（I）求四边形面积的最大值；
（II）设直线，的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
【解析】（I），设椭圆，将点代入椭圆，得，
所以椭圆的方程为 …………2分
设直线的方程为，
，得
则, …………4分
又
=
显然当时, = …………6分
（II）设直线、的方程分别为 （5） （）
将（5）代入（4）得：则 …………8分
同理：
…………10分
化简得：
即为定值。 …………12分

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