数学学习迁移概述.doc

数学学习迁移概述人民教育出版社章建跃迁移是数学学习中的一种普遍现象。正是由于迁移，学生掌握的数学知识才能以某种方式联系起来，并能够在数学问题的解决中发挥作用。数学新知识的掌握总在某种程度上改变着已有的数学认知结构；学生对已经掌握的不同数学知识进行组合，往往可以形成新的数学知识。诸如此类的数学知识之间的相互影响，都是数学学习的迁移现象。1.什么是数学学习迁移。 学习的迁移是指一种学习对另一种学习的影响。学习的迁移现象在数学学习中是广泛存在的。例如，加法的学习会影响乘法的学习，有理数的学习会影响代数式的学习，而代数式的学习又会影响函数的学习，平面几何的学习会影响立体几何的学习，等等。不仅如此，在数学知识、技能和能力之间也存在着迁移现象。例如，随着代数知识学习的深入，学生会逐渐把方程知识、不等式知识与函数知识有机地联系起来，形成合理的知识组块。在面临有关问题时，通过这些知识的合理转换，形成合理简捷的解决方法。例如，解一元二次不等式 （a0），利用二次函数 的图像，转化为解一元二次方程 和考察函数图像特征的问题。这是数学知识的学习促进数学技能发展的典型例子。2.数学学习迁移的作用。 数学学习的迁移存在于整个数学教学系统中，它在数学学习中的作用主要表现在如下两个方面。（1）使学生习得的各种数学知识建立更加广泛而牢固的联系，使之概括化、系统化，形成具有稳定性、清晰性和可利用性的数学认知结构，能够有效地吸收数学新知识，并逐渐向自我生成数学新知识发展。数学学习的目的是为了发展学生的思维能力，能够应用所学知识解决问题，这些都要依靠数学学习迁移来实现。数学知识的应用过程中，在解决当前问题的同时，在迁移的作用下使已有数学认知结构得到组织和再组织，提高其抽象概括程度，使其更加完善和充实，形成一种稳定的调节机制，在今后的数学活动中发挥更好的作用。（2）是数学知识、技能转化为数学能力的关键。数学“双基”是数学活动调节机制中不可缺少的因素，是数学能力的基本构成成份。数学能力作为一种个体心理特征，是一种稳定的、能有效调节数学活动进程和方式的心理结构，它的形成既依赖于数学知识、技能的掌握，更依赖于这些知识技能的不断概括化、系统化，即类化。数学知识技能的掌握是在新旧知识相互作用过程中实现的，因此必然存在着迁移，而且，数学知识技能的类化只有在迁移中才能实现。3.数学学习迁移的机制。 （1）数学学习迁移的宏观机制。数学学习的迁移过程是一个数学知识的相互作用、逐渐整合的过程。任何数学知识的获得都不是一蹴而就的，而是在一个较长的时间内，有层次地、螺旋上升地逐渐获得的。人的数学认知结构的形成过程是一个复杂的、对各种数学知识主动地进行组织和再组织的过程。人的大脑总是倾向于把不同时间、不同地点获得的数学知识加以综合，从而组织起一个系统的数学认知结构。在人的数学认知结构中，各种数学知识并不是孤立存在的，而是建立了广泛联系的网络型结构。这种网络型结构的形成过程，也就是数学知识的整合过程，即是迁移的宏观机制。数学知识的整合，是通过如下三条途径实现的。a.同化性迁移。同化就是新数学知识内化到已有数学认知结构中去。数学知识的这种整合过程就叫做同化性迁移过程，其根本特点是“自上而下”的迁移。已有数学认知结构作为一种上位结构，把处于下位结构中的新知识吸收到自身中去，从而完成旧知识对新知识的同化。从另一个角度来说，这也是一个将新知识纳入到已有认知结构中去的过程，这个过程我们称其为类化。例如，在建立了“四边形”概念后，再学习平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等概念，四边形这个上位概念结构就可以把下位的平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等下位概念同化到自身中去，建立起一个四边形的概念系统。而对平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等下位概念的学习来说，则是类化到四边形概念中去的过程。在学习具有类属关系的内容时所发生的迁移，都属于同化性迁移。b.顺应性迁移。顺应性迁移也叫协调性迁移。在已有数学认知结构不能把新数学知识吸收（即同化）到自身中去，但新旧知识间存在共同要素的情况下，已有认知结构发生顺应新知识的变化，即建立一种新的上位结构，以包容已有的下位知识，这就是顺应性迁移过程。顺应性迁移是在学习既有联系、又有区别的并列性教材时发生的。例如，在学习了圆、椭圆、双曲线等以后再学习抛物线知识，由于圆、椭圆及双曲线等概念不能把抛物线概念吸收到自身的结构中去，这时，人就产生一种建立一个上位概念，即建立圆锥曲线概念的需要，以便把这些既有联系有又区别的下位概念都吸收到圆锥曲线概念中去。显然，在这个过程中，已有的认知结构发生了顺应变化。其中所产生的迁移就是顺应性迁移。c.结构重组性迁移。已有数学认知结构中的有关知识成分，按照新的需要重新组合，从而建立起一种新的认知结构，就是结构重组性迁移。这里，结构重组指的是习得的知识的组成成分在新的组合中，仅仅在结合关系上进行调整或重新组合，而经验的构成成分不变。显然，在数学知识的综合应用、数学知识与相关学科知识的综合应用中所发生的迁移，大量都是结构重组性迁移。例如：已知角、满足条件 。试证的如下证明：点 都在单位圆 上。如图所示，ABC的重心坐标。令 ，则G的坐标变为 。无论ABC怎样变化，它的重心G都在单位圆内，而且在直线 上。特别地，当A，B，C三点重合时，点G在单位圆上。因此，。由此得：，即 。成立。在这一证明中，所用的知识都是过去学习过的，只是对知识作出了重新组合：利用几何知识及解析几何知识，把三角不等式问题转化成了距离问题，避免了复杂的三角变换。另外，结构重组还可能引导人们发现全新的数学方法，获得前所未有的数学实现。在数学的发展史上，这种例子是很多的。坐标法的引进和解析几何的不断发展就是一个典型的例证。结构重组在数学教学中是非常重要的。例如，如果学会了分数的意义、性质以及通分、约分等知识技能后，就可以在同分母分数加减、异分母分数加减等分数运算中，应用结构重组进行教学。这不但能极大地节约教学时间，而且还能提高教学效率和效果。不仅能使学生掌握知识之间的内在联系，而且还能使学生利用知识的发生发展过程来认识概念，学会通过知识的重新组合来发展自己的认知结构。又如，如果学生很好地掌握了三角函数中的任意角概念、三角函数的定义以及诱导公式，那么他们在学会了余弦函数的和角公式后，就可以通过结构重组式的同化迁移，完成三角函数的“和”、“差”、“倍”、“半”公式的学习。总之，结构重组式迁移在数学教学中的应用非常广泛。教学中，教师首先应当引导学生掌握进行结构重组所需的基本要素，然后放手让学生自己利用这些基本要素进行结构重组式迁移，从而大幅度促进有关的派生性教材的掌握。为此，教师应认真研究教材，挖掘数学知识之间的内在联系，分析出知识的基本成分或教材的主干内容，在此基础上对知识内容及其教学顺序作出统筹安排。在学生熟练掌握基础知识和基本技能后，利用结构重组，实现经验增值性学习。这样才能使学生在最少的时间内获得更多的数学知识和技能。（2）数学学习迁移的微观机制。数学学习迁移微观机制是指学习迁移中的认知成分。心理学家认为，这种认知成分可分为两类。a.分析与抽象。任何迁移过程都包含对新知识的组成成分以及与之相关的原有知识进行分析，对新、旧知识的组成成分加以识别，从而进一步抽象出这些不同知识之间的共同的、本质的属性。分析与抽象是实现迁移的不可缺少的认知成分。分析是把事物分解成不同部分，或分出事物的不同特征及不同的联系或关系。例如，把角分解为锐角、直角、钝角、平角、；把四边形分解为平行四边形、梯形、，又把平行四边形分解为长方形、菱形、正方形、；把数分解为实数和虚数，又把实数分解为有理数、无理数，又把有理数分解为整数、分数，。人们对事物的分析具有不同的水平和层次。分析可以对个别事物进行，这是低级分析形式；也可以对一类事物进行，这是高级的分析形式。通常，在数学学习中，为了获得概念而对具体实例所进行的分析属于低级分析，而对概念的性质所进行的分析则属于高级分析形式。抽象是在区分一类事物的共同的、本质的特征与个别的、非本质特征及其联系的基础上，舍弃个别的非本质特征而把共同的本质特征联系抽取出来的高级分析过程。例如，函数y2x1，yx2，y0.5x， yx3，虽然形式各异，但它们都是形如yaxb（a、bR，a0）的函数，这就是一次函数所具有的共同的、本质的特征。这里我们舍弃了a、b的具体性，只抽取了“实数（其中a0）”这一本质特征，而对于自变量x，我们则抽取了“指数为整数、最高次数为1”，这就是抽象。抽象与分析的区别在于所指向的范围不同。分析指对个别事物的个别性质的认识，抽象是对一类事物的本质属性的认识。抽象是在分解同类的若干个别事物的特征或联系的基础上，进一步区分出哪些是共同的、本质的。因此，抽象是高级的分析。b.概括与综合。综合是将分析得出的个别事物的属性联合为一个整体，从而形成对事物的整体认识。综合与分析相对应，在认识具体事物的过程中，分析与综合同时在发挥作用。综合是在对相互联系的各个属性进行分析的基础上实现的。例如，在解答数学问题时，一般是要在阅读题目的基础上，对问题的条件、所求进行分析，还要对需应用哪些相关知识作出分析，找出条件与结论之间的联系，然后在此基础上，对问题的解答思路进行综合，总结出解题方法。概括与抽象相对应，是指把抽象出来的一类是的共同的、本质的属性联系起来，形成对此类事物的整体认识。概括在本质上也是一种综合，是一种高级的综合。例如，在解答了同类的若干数学题后，通过分析、抽象而获得了它们在解法上的共同特点，在此基础上，通过概括可以使学生从整体上认识解决此类问题的普遍方法。在迁移过程中，不但要对不同知识的构成成分进行分解，抽象出新旧知识的共同本质属性或联系，而且还要进行综合或概括。通过综合，对不同知识产生完整的认识；通过概括，对新旧知识间的本质属性产生整体认识，这样才能顺利实现迁移。因此，综合与概括也是学习迁移产生的必须认知成分。当然，在任何迁移过程中都存在分析、抽象和综合、概括这四个认知活动成分。它们之间相互联系、相互制约，组成一个有机联系的整体，共同构成了概括过程。2004-07-28