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一道几何题的引导与探究
大豫镇兵房初级中学 顾建辉
如图， Rt△ABC中，∠ACB= Rt∠，D为斜边AB的中点，E为AC上的一点，F为BC上的一点，且+=+，求证：△DEF为直角三角形。
课余，一数学4人学习小组来请教老师这样一道平面几何题，审题之后，我从没有见过这道题，深感此题有一定的份量，不能马上指导学生解题。凭着多年来的教学经验，给了学生一些想法和思路，但我的思路能否直达目标心中并没有底，有可能“挂黑板”。
1．∠ACB= Rt∠，你们会想到什么？学生甲：勾股定理；
2．D为斜边AB的中点，你们会想到什么？学生乙：连接CD，显然有AD=CD=BD；
3．条件+=+如何利用？学生们无从回答，老师也不得而知；
4．要证△DEF为 Rt△，显然∠EDF为Rt∠，用什么方法证明∠EDF=Rt∠？学生丙：看着题目给出条件的形式是否可以考虑利用勾股定理的逆定理，证明+=。
同学们能否向目标“+=”进军呢?咱们一起尝试一下吧!
又问:如何表示、、？
学生丁：显然=+，要得到、，可以利用勾股定理，作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，则=+，=+。
接下来我们一起试着计算+：
+=+++
=+(CG－CE）++(CF－CH）
=+－2·CG·CE+++－2·CF·CH+
=（+）+（+）－2（CG·CE +CF·CH）+（+）
（这里DG=CH，CG=DH）
=2+2－2（CG·CE +CF·CH）+（+）
=2（+－CG·CE －CF·CH）+
（这里+=）
=2［（－CG·CE）+（－CF·CH）］+
=2［CG（CG－CE）+ CH（CH－CF）］+
=2（CG·GE－CH·HF）+
如果本命题成立，一定有CG·GE=CH·HF。如何证得？学生丁说：还有两个条件没有用上：①D为斜边AB的中点；②+=+。接下来我们向另一个目标“CG·GE=CH·HF”进军。
由条件②得－=－，
（AE+CE）（AE－CE）=（CF+BF）（CF－BF），
AC·［（AG+EG）－（CG－EG）］=BC·［（CH+HF）－（BH－HF）］，
由条件①得AG=CG，BF=CF，所以有2CG·2GE=2CH·2HF，
至此，CG·GE=CH·HF得证，原命题成立。
思路理清了，同学们脸上露出了满意的微笑。接着老师布置了任务：完成此题的证明，并写出解题后的感悟。另外考虑是否有其它解法，老师给出的思路不一定是最好的。
学生甲的感悟：老师平时讲的由因导果——综合法，执果索因——分析法，这两种方法都用上了，这实际上就是综合分析法，我要学会使用这把解题钥匙。
学生乙的感悟：这道几何证明题用上了代数知识：因式分解和整式运算，代数与几何联姻，他们是一家。
学生丙的感悟：常言道：巧几何笨代数，我思考了老半天都没有思路，看来我不会分析问题，因而不会解决问题。老师的分析使我学到了一些分析问题解决问题的方法和技巧。
学生丁的感悟：本题找准目标+=是关键，充分利用已知条件+=+是解题的突破口。
老师写下这样的教后感：展示思维过程，引导学生学会思考、分析和质疑，提高思维的品质，授之以渔比什么都重要，因为这些都是新课程倡导的。