（江苏金陵中学物理名师工作室）中学物理习题中几种常见的极值类型——朱建廉.doc

中学物理习题中几种常见的极值类型
朱建廉
南京市 金陵中学 （210005）

一、“”的极值类型

Ｅ
Ｒ
ｒ
图１
例1：如图1所示，理想变压器输入端接在电动势为、内阻为的交流电源上，输出端接上负载，则变压器原、副线圈的匝数之比为多大时，负载上获得的电功率最大？最大功率为多少？
解：设原、副线圈的匝数、电压、电流依次分别为和、和、和，则

于是可把负载上获得的电功率表示为原线圈电流的函数为

这是一个形如“”的二次函牧。由此知：当

时，有最大值为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
此时有

而

于是有

即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
所以，当变压器原、副线圈匝数之比为（２）式所给出时负载获得的电功率最大，最大值如（１）式所给出。

二、“”的极值类型

图２
Ａ
Ｂ
Ｆ
例２：如图２所示，长2、重为的光滑均匀杆AB，其A端用光滑铰链铰接在水平地面上，B端搁在高度为的物体上。当用水平力把物体缓慢向左推时，求物体给杆的最大支持力。
图３
Ａ
Ｂ
Ｆ
Ｇ
Ｎ
q
解：设把物体推到使杆与水平面夹θ角时，杆除了在A端受到的力外，只受如图３所示的重力和物体的支持力Ｎ。另外，由于物体是被缓慢向左移的，因此杆在这一过程中的任一状态均可视为平衡状态。于是就有

即

这是一个形如“”的三角函数。显然当
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
时，有最大值，为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）
所以，在物体刚开始向左移时，杆与水平面间的夹角为

当推到使杆与水平面的夹角如（３）式所给出时，物体对杆的支持力最大，最大支持力如（４）式所给出。

三、“”的极值类型

例３：如图4所示，半径为的绝缘光滑圆环被固定在方向水平的匀强电场中，圆环面在竖直平面内且平行于电力线，一个质量为的带正电的小球套在圆环上。小球受到的电场力的大小等于其重力的0.75倍。当把小球从圆环最低点处由静止释放后，小球所能获得的最大动能是多少？
Ｏ
Ｅ
图４
Ｏ
Ｅ
图５
N
qE
mg
q

解：设小球静止释放后运动到图５所示的位置处时获得动能为。这过程中小球受到重力、电场力和圆环的弹力。做负功、做正功、而不做功。根据动能定理有

而把

代入后并整理后可得

这是一个形如“”的函数（本例中的函数又加上了一个常数），在对这类函数的极值问题的分析时可取

而将函数转化为

后，再计算其极值。于是有

显然，当
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）
时，有极大值，为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）
所以，小球从圆环最低点处静止释放后，当运动到和圆环中心的连线与竖直方向间夹角如（５）式所给出时所获得的动能最大，最大动能如（６）式所给出。

四、“两数和为常数，则两数相等时其积最大”的极值类型

图６
Ｌ
h
例4：如图6所示，粗细均匀的玻璃管长，开口向上竖直放置时，上端齐管口有一段的水银柱封闭着27℃的空气柱，大气压强为。现使空气柱温度逐渐升高，问：欲使管内水银全部溢出，温度至少升到多高?
解：设管内空气柱温度升到时，管内水银柱柱长度为，取管的横截面积为S。则

将数据代入并整理，得

由于

为常数，所以当

时，即当
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（７）
时，有极大值，为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８）
也就是说，在水银缓慢溢出的过程中，温度并不是呈单调变化，而是当管内水银柱长度如（７）式所给出时，温度取得极大值如（８）式所给出。所以，若用逐渐升高空气柱温度的方式使水银全部溢出，温度至少要升到（８）式所给出的值。

五、“两数积为常数，则两数相等时其和最小”的极值类型

例５：如图7所示，点光源到屏的距离为，焦距为、半径为的凸透镜位于和之间，其主轴过而垂直于，如，则透镜距为多远可使上的光斑最小？光斑的最小半径为多大？
L
S
O
M
S/
u
v
图8
L
S
O
M
图7

解：设透镜半径为，与相R距为，当时，成虚像，此时屏上光斑半径必大于，这种情况可以不予考虑。当时，另外由于，所以成的实像必在屏的后面（如图8所示），此时屏上的光斑半径必小于，于是有

由此可得

考虑到：此式中、、均为常量，而

亦为常量，所以当

时，即当
（9）
时，有最小值，为
（10）
所以，当透镜与点光源的距离如（9）式所给出时，屏上的光斑最小；且光斑的最小半径如（10）式所给出。

六、“函数形式复杂，但可借助于对物理过程的分析找到极值点”的极值类型

例6．如图9所示，质量为的小球从光滑的半径为的1/4圆弧形轨道上的A点静止释放（A点与圆弧轨道的圆心O等高），则小球从A运动到B的过程中；重力对小球做功的最大功率为多大?
解：设小球从A点静止释放后运动到C点时速度为(如图10所示)，则根据机械能守恒定律有

此时重力对小球做功的功率为

由此可把表为的函数为

显然，这个函数形式较为复杂，直接针对这个函数求极值比较困难。下面我们通过对小球运动过程的分析来确定极值点，进而求出极值。
分析：重力做功的功率等于重力与小球运动的竖直分速度

的乘积，因此求最大功率的关键在于求小球的最大竖直分速度。不妨就设小球运动到C点时其竖直分速度达到最大，于是：小球从A到C时，轨道弹力的竖直分力小于重力，小球的竖直分速度从零逐渐增到；小球从C到B时，轨道弹力的竖直分力大于重力，小球的竖直分速度又从逐渐减到零。因此在C点处必有

另外

而此时所对应的重力做功的功率即为所求的最大功率

由此可解得：当
（11）
时，重力做功的最大功率取得最大值，为
（12）
所以，当小球运动到和圆轨道的圆心连线与水平方向间夹角如（11）所给出时，重力做功的功率取得最大值，其最大功率如（12）式所给出。

——发表于《中学物理教学参考》1994年第3期
转载于《中学物理教学》
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