以一道名校中考模拟题为例管窥二次函数背景下的几何综合题.docx

以一道名校中考模拟题为例
管窥二次函数背景下的几何综合题
一、 原题呈现

二、 解法展示
（1）略。
（2）
解法1：由直线y=m与抛物线相交可列方程
由DE=2PQ可得∣x1-x2∣=2m，即(x1-x2)2=4m2，利用求根公式或根与系数的关系即可求出m。
解法2：易知PH=PQ=m，∴E点坐标为(+m,m)，代入解析式即可求出m。
解法3：易求直线PE的解析式为y=x-，与联立方程即可求出m（y=m）。
（3）解法1：如上图所示，由旋转易求F1、F2、F3、F4的纵坐标，由△DEF5∽△COA或DEF5≌△CGD可得EF5=2，又OG=1，∴F5的纵坐标为3，∴求m=3。求F6的纵坐标方法一样。
解法2：由题意易知BC⊥AC，易求直线BC解析式为y=2x+2，设点F的坐标为(x,2x+2)，由点F和点C的距离=AC可建立方程求出x，再代入解析式y=2x+2即可求出y，这样就可求出F1、F2的纵坐标，同理求出F3、F4、F5、F6的纵坐标。
三、 变式探究
几何综合题中的存在性问题，主要是围绕等腰三角形的存在性、直角三角形的存在性、平行四边形的存在性、三角形相似的存在性展开探究，这类题目往往会把上述特殊图形置于平面直角坐标系中，以函数图像为载体，重在研究几何图形的性质。
此题是探究等腰直角三角形，如果改成等腰三角形，得变式1：在x轴上点F使得△ACF是等腰三角形，求点F的坐标。如下图所示，有4种情况：

变式2：在y轴上点F使得△ACF是等腰三角形，求点F的坐标。
变式3：在抛物线对称轴上点F使得△ACF是等腰三角形，求点F的坐标。
改成直角三角形，则可得到以下变式：
变式4：在坐标轴上点F使得△ACF是直角三角形，求点F的坐标。
变式5：在对称轴上点F使得△ACF是直角三角形，求点F的坐标。如下图所示，有4种情况：

如上图所示，由△BGF1∽△COA易求GF1，从而得到F1坐标。同理可求F2的坐标，由勾股定理易求EF3，由GF3=GE+EF3可求F3的纵坐标。同理可求F4的坐标。

改成相似三角形，则可得到以下变式：
变式6：抛物线对称轴与x轴交于点G，对称轴上点F使得△AGF与△BOC相似，求点F的坐标。如下图所示，有4种情况：

改成平行四边形，则可得到以下变式：
变式7：在x轴上一点M，抛物线上一点N，使得以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M、N的坐标。
如下图所示，有4种情况（N4与N1重合）：

改成菱形，则可得到以下变式：
变式8：在直线AC上一点M，平面上一点N，使得以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M、N的坐标。如下图所示，有4种情况：

由△OHC∽△AOC可求HC从而求得CM3，由△CKM3∽△COA可求M3坐标，再求N3坐标。其他种情况易求。
四、一点经验
掌握点的坐标与线段长度之间的关系，把求线段长度与几何图形的性质联系起来，灵活运用转化思想、数形结合思想、分类思想、方程与函数的思想，知道怎样解题。
由于笔者才疏学浅，难免有不对的地方，敬请各位同仁包涵与指正。