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《数据、模型与决策》案例分析三
Vintage饭店预测食品和饮料销售案例报告

2014年01月20日
目录
一、 案例背景 3
二、 案例分析 4
三、 总结和建议 12

一：案例背景
1.预测食品与饮料的销售额
Vintage 饭店位于靠近佛罗里达的Fort Captiva岛上，是一个公众常去的场所。它由Karen Payne拥有和经营，到目前经营已超过30年。在这期间，Karen一直在寻求店建立以新鲜海味设置的高质量正餐的饭店信誉。Karen及其员工的努力被证实是成功的，她的饭店成为岛上最好的和营业额增长最快的饭店之一。
Karen为确定饭店未来的增长计划，需要建立一个系统，这个系统使她可提前一年预测今后每个月食品和饮料的销售额。Karen拥有如下资料，下表中的资料是在三年的经营中有关食品和饮料的销售总额。

附表：食品和饮料的销售额（单位：千美元）

月份
第一年
第二年
第三年
1
242
263
282
2
235
238
255
3
232
247
265
4
178
193
205
5
184
193
210
6
140
149
160
7
145
157
166
8
152
161
174
9
110
122
126
10
130
130
148
11
152
167
173
12
206
230
235

2.管理报告
分析Vintage饭店的销售资料，为Karen准备一份囊括你的发现、预测和建议的报告，其内容包括：
1、将给定数据输入到SPSS软件中，并在报告中显示出来；
2、时间序列的图形分析。（用SPSS软件绘图）
3、对数据的季节性分析。指出每个月的季节指数，并讨论各月销售额的高低。季节指数有直观上的意义吗？对此应加以讨论。
4、预测第4年1～12月的销售额。
5、假设第4年1月份的销售额为295（千美元），你的预测误差为多少？在你的报告中，给出分析评论的结果。

二：案例分析
1. 原理分析
通过观察Vintage饭店前三年销售额，我们发现，历史数据形成一个时间序列，同时，基于对卡普蒂瓦岛旅游市场的分析，我们估计Vintage饭店的销售额应该受旅游市场的季节性影响，即可能在冬季会有更高的销售额，因此我们考虑通过对Vintage饭店历史数据的趋势成分、循环成分、季节成分等进行分析，进而对时间序列的未来值进行合适的预测或判断。
2.使用工具说明
MiniTab16 Statistical Software
Microsoft Excel 2010
3.销售分析和预测
3.1时间序列图
历史三年的销售数据如下，将其按照时间先后建立应变量Yt（销售额）和t自变量t(月份)之间的对应关系，如表1所示：

表1：销售额和月份之间的关系表
月份
第一年
第二年
第三年
t
销售额
t
销售额
t
销售额
1
1
242
13
263
25
282
2
2
235
14
238
26
255
3
3
232
15
247
27
265
4
4
178
16
193
28
205
5
5
184
17
193
29
210
6
6
140
18
149
30
160
7
7
145
19
157
31
166
8
8
152
20
161
32
174
9
9
110
21
122
33
126
10
10
130
22
130
34
148
11
11
152
23
167
35
173
12
12
206
24
230
36
235
来源：自制

图1：历史三年的销售额时间序列图

来源：minitab软件

从图1可以看出，Vintage饭店销售额在每年1月份最高、9月份最低。1到9月份是一个下降的趋势，9到12月份逐步回升呈一个上升的趋势，且三年12个月的变化趋势基本一致，这可能和当地的气候和旅游的游客人数等因素有关，故此可以看出销售额存在一个按照月份变化的季节成份影响。 进一步分析可以看出，尽管每一年的各个月份存在一致的季节因素影响，但是每一年也比前一年存在一定的上升，故在季节因素之外还存在趋势模式。总的来说，通过序列图，基本可以看出销售额是一个随之月份变化的季节和趋势的复合模式的时间序列。

3.2季节性分析
Vintage饭店销售额的时间序列除了季节成分和趋势成分外，我们假设还存在不规则成分，那么可以采用时间序列的乘法模型进行分析，用Tt、St、It分别表示时间序列的t期趋势成分、季节成分和不规则成分，假设Yt表示时间序列的值，则：Yt= Tt×St×It
我们首先对季节指数St进行分析。图1表明，1月份的销售额最高，随后逐渐下降，至9月最低，随后又上升，因此，我们有足够理由推断，Vintage饭店销售额存在季节影响。我们先通过计算12个月的中心化移动平均数，将复合在一起的季节成分和不规则成分与趋势成分分开，然后确定每个月的季节影响（计算数据详见附录A、附录B），使用minitab计算调整后的季节指数的计算结果如表2所示。

表2：销售额的调整后季节指数
月份
调整后季节指数
月份
调整后季节指数
1
1.443587458
7
0.828306721
2
1.299700472
8
0.852974633
3
1.344120314
9
0.62798724
4
1.041201712
10
0.700322809
5
1.049386711
11
0.852759367
6
0.80038072
12
1.159271844
来源：自制

表1中的季节指数，解释了Vintage饭店销售额的时间序列观测值，同时如下图2，季节指数较好的拟合了季节销售数据的变化趋势。从季节指数来看，1月最高，为1.444，9月最低，为0.628，表明最佳销售月份在1月，它的销售水平比总平均水平高出44.4%，最差的销售月份在9月，它的销售水平比总平均水平低37.2%。

图2：销售额的季度指数模式下的模型预测值

来源：minitab软件

销售额的季节成分很明显的对应着卡普蒂瓦岛旅游市场的变化情况。对于销售主要依靠外地游客的Vintage饭店来说，旅游市场的繁荣程度将直接影响其销售业绩。在经济环境、旅游资源保持相对稳定的情况下，卡普蒂瓦岛的旅游市场主要受气候条件的影响，1月的美国北部气候寒冷，而卡普蒂瓦岛则气候宜人，平均温度在17度左右，此时处于休假的北方居民多数愿意选择到美丽的海滨小镇度假，这也势必为Vintage饭店1月份的销售带来积极影响，使其获得比平常高出许多的销售额也就不足为奇了。地处佛罗里达南部区域的卡普蒂瓦岛，受热带气候的影响，每年9月将遭受一年中最频繁的飓风袭击，此时的旅游市场相对萧条，因而Vintage饭店9月份的销售额降至最低。
3.3消除季节影响的趋势性分析
通过上述的季节性分析，得到季节指数，根据Yt= Tt×St×It，为了更加直观的观测时间序列的趋势，我们可以通过消除季节影响成分的影响，调整季节变异后的经济时间序列，而通过用时间序列的观测值除以相应的季节指数，即可将季节影响从时间序列中消除，消除季节影响后的时间序列图如图3所示

图3：消除季节性影响后的销售额时间序列图

来源：minitab软件

从图3可以看出，消除季节影响后的时间序列图虽然有一定的上下波动，但是总体仍呈现一个向上的线性增长趋势。我们可以考虑通过建立线性回归方程预测未来的销售趋势，对于这个线性趋势，销售额的估计可以表示为时间的函数，即： Tt=b0+b1t
Tt表示第t期销售额的趋势值
b0表示趋势线的截距
b1表示趋势线的斜率
通过minitab计算，时间序列线性趋势成分的表达式为Tt=169.349+1.021t。计算结果如下所示：
回归分析:Yt 与 t

回归方程为
Yt = 169 + 1.02 t

自变量 系数 系数标准误 T P
常量 169.349 1.093 155.00 0.000
t 1.02130 0.05150 19.83 0.000

S = 3.20978 R-Sq = 92.0% R-Sq（调整） = 91.8%

方差分析

来源 自由度 SS MS F P
回归 1 4052.2 4052.2 393.32 0.000
残差误差 34 350.3 10.3
合计 35 4402.5
该回归方程的判断系数R-sq(调整)=91.8%，表明销售Tt的变异性的91.8%能够被以t作为自变量的回归方程所解释，此方程拟合度较高。 式中斜率为1.021，表示在过去的3年，消除季节影响之后，Vintage饭店的销售额每月增长1021美元。
3.4时间序列分解预测第四年的数据
我们假设过去36个月的趋势可以用来预测未来12个月的销售，则利用回归方程，计算第4年1-12月销售额预测如表3所示：

表3：时间序列分解预测第四年数据值
月份
趋势预测
季节指数
季度预测
月份
趋势预测
季节指数
季度预测
1
207.1371
1.443587458
299.0205196
7
213.2649
0.828306721
176.6487501
2
208.1584
1.299700472
270.5435707
8
214.2862
0.852974633
182.7806927
3
209.1797
1.344120314
281.162684
9
215.3075
0.62798724
135.2103627
4
210.201
1.041201712
218.8616411
10
216.3288
0.700322809
151.4999928
5
211.2223
1.049386711
221.6538746
11
217.3501
0.852759367
185.3473337
6
212.2436
0.80038072
169.8756855
12
218.3714
1.159271844
253.1518155
来源：自制

3.5虚拟变量回归分析
为了能够对未来销售的预测进行比较分析，我们考虑应用虚拟变量建立时间序列回归方程，从而预测未来销售额的趋势。应用该种方法，我们设定虚拟11个变量：

应用Minitab输出结果如下：
Yt=199.25+49.9Mon1+29.2Mon2+33.5Mon3-23.5Mon4-20.9Mon5-67.9Mon6- 62.6Mon7-57.3Mon8-101Mon9-85.6 Mon10-58.6 Mon11+1.02Period
自变量 系数 系数标准误 T P
常量 199.250 3.140 63.45 0.000
M1 49.858 3.720 13.40 0.000
M2 29.174 3.704 7.88 0.000
M3 33.490 3.689 9.08 0.000
M4 -23.528 3.676 -6.40 0.000
M5 -20.878 3.664 -5.70 0.000
M6 -67.896 3.654 -18.58 0.000
M7 -62.580 3.646 -17.17 0.000
M8 -57.264 3.639 -15.74 0.000
M9 -101.281 3.633 -27.88 0.000
M10 -85.632 3.629 -23.60 0.000
M11 -58.649 3.627 -16.17 0.000
t 1.01736 0.07554 13.47 0.000

S = 4.44104 R-Sq = 99.4% R-Sq（调整） = 99.1%

方差分析

来源 自由度 SS MS F P
回归 12 77396.7 6449.7 327.02 0.000
残差误差 23 453.6 19.7
合计 35 77850.3

来源 自由度 Seq SS
M1 1 18259.4
M2 1 12610.9
M3 1 17925.9
M4 1 2191.4
M5 1 3584.4
M6 1 286.5
M7 1 64.2
M8 1 6.0
M9 1 6861.4
M10 1 6689.4
M11 1 5340.2
t 1 3577.0

异常观测值

拟合值 标准化
观测值 M1 Y 拟合值 标准误 残差 残差
1 1.00 242.000 250.125 2.720 -8.125 -2.31R
25 1.00 282.000 274.542 2.720 7.458 2.12R

R 表示此观测值含有大的标准化残差
从Minitab的计算结果来看，各个系数的显著性水平都小于0.05，显著性水平很高，方差分析P-值=0.000<0.05,表明销售额与12个自变量存在总体上的显著关系。而且R-Sq（调整） = 99.1%说明此回归方程的拟合度很好。我们应用该回归方程预测第4年1-12月的销售趋势如表4所示：
表4 ：Vintage饭店销售额虚拟变量预测值（千美元）
月份
顺序
预测值
月份
顺序
预测值
1
37
286.89
7
43
180.51
2
38
267.21
8
44
186.83
3
39
272.53
9
45
144.15
4
40
216.55
10
46
160.57
5
41
220.17
11
47
188.59
6
42
174.19
12
48
248.21
来源：自制

三、 总结和建议
通过对分解法和虚拟变量法两种预测方法得到的趋势值与第3年的数据进行对比分析，如表5所示：
表5 ：Vintage饭店销售预测对比（千美元）
月份
第三年
第四年分解法预测
第四年虚拟法预测
预测值
同比增长
预测值
同比增长
1
282
299.0205196
6.04%
286.89
1.73%
2
255
270.5435707
6.10%
267.21
4.79%
3
265
281.162684
6.10%
272.53
2.84%
4
205
218.8616411
6.76%
216.55
5.63%
5
210
221.6538746
5.55%
220.17
4.84%
6
160
169.8756855
6.17%
174.19
8.87%
7
166
176.6487501
6.41%
180.51
8.74%
8
174
182.7806927
5.05%
186.83
7.37%
9
126
135.2103627
7.31%
144.15
14.40%
10
148
151.4999928
2.36%
160.57
8.49%
11
173
185.3473337
7.14%
188.59
9.01%
12
235
253.1518155
7.72%
248.21
5.62%
合计
2399
2545.756923
6.12%
2546.4
6.14%
来源：自制

通过分析上表数据，两种方法的预测结果在每个月会存在一定的偏差，但是整体的趋势上都是增长，且全年的平均增长率基本一致。我们预测Vintage饭店的销售额仍然会呈上升趋势，且平均增长率在6.1%左右。根据该预测结果，可以提前安排饭店的相关工作部署，从管理上进行相关储备和计划性工作。
但是该模型仅仅是从季节性和趋势性进行了环境不发生显著变化的情况下的理论预测，预测的准确性，依赖于饭店的经营管理不发生变化，且外部环境不发生显著变化。即使外界环境不发生显著改变，从R-sq<100%也可以分析，并非100%的变异都能被预测方程所准确预测。
所以预测模型可以作为一定的参考值，对于实践具备一定的指导意义，但同时需要通过管理手段来提升经营管理水平，比如加强宣传或者进行特色产品经营等提高收入水平，也需要关注国内的宏观经济形势和所处环境的旅游业发展带来的客流量等实际情况。然而，要想思虑周全而全面考虑众多变量因素的定量预测是不现实的。但是经营的成功对未来经营状况的预测依赖程度很大，需要根据预测制定合适的策略。因此，在历史数据相对完整的前提下，可以认为多数影响因素不会产生巨大变化，以此寻找影响销售的个别关键变量，并对其进行未来销售的定量分析，通过这种方法从而获取未来的销售趋势，并制定组织的发展策略。当然，在制定重大发展策略时，组织也应适当考虑其他因素产生巨大变化带来的风险，并加以防范。
根据以上分析，假设第4年1月份销售额为295000美元，通过以下公式计算其预测偏差率：
Er=（Y -Y）/Y *100%
Y为实际发生值，Y 为预测值。
我们采用两种预测方式的偏差率分别为1.36%和-2.75%。相对来说预测还是较为准确的。当然如果预测误差较大，我们就需要分析是否外部环境发生了显著变化。正如上所说，预测并不能对所有的变异有准确的拟合预测，其分析的因素也局限于外部环境按照趋势平稳发展的状况下进行预测。于此我们需要导致误差较大的变异原因Dt，并改变预测模型Yt= Tt×St×It×Dt，计算分析Dt的变异预测系数，通过此即可获得更进一步准确的预测结果。

建议：
1、 对于提供公司来年的季度销售预测，只要符合：（1）、被预测变量过去的信息可用；（2）、这些信息可以被量化；（3）、过去的模式将会持续到来年，那么可以使用时间序列法进行预测；
2、 当预测的数据会受到季节、趋势和不规则成分影响时，用时间序列分解法可以建立消除季节影响后的时间序列，特别是要对这些数据做出长期趋势的判断时，用时间序列分解法可以对时间序列获得一个更好的了解。