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寻找好题的四个途径
永定县第三中学　张志强
本文已发表在《福建教育》（2013年10月）
美国著名数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”数学题目是无限的、解不完的，教师只有找到有代表性的题目作详细研究，提炼出技能与思想，才让学生学有所得，、学得不盲目不盲从。可以说，寻找好题并应用好题，是数学教师的一大任务。
那么如何寻找好题呢？
首先要明确教学对象，即明确学生思维的发展阶段。
其次是明确教学目的。教学的出发点是什么？是针对新课、单元复习课还是试卷讲评课？是针对从业会考、竞赛还是中高考？
第三，要明确训练目标。是为了培养审题能力、提升学生的解题速度？还是为了强化数学思想方法、提升学生的解题能力？
当然好题的首要条件是不能偏离考试大纲，不能背离课程标准。以下，笔者结合案例谈寻找好题的四个途径，以期抛砖引玉。
一、源于教材
教材是依据课标、由各级专家经过多个环形节论证并筛选的教学资料，因此教材中的题目是很具代表性的，其中不乏好题。
例1（人教版初中数学教材九年级下册―――四等分圆面积）：
如图1，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的4部分，
以种植不同的花卉，请你提供设计方案。
例1虽不起眼，但细加斟酌，却很有利用价值。　 　图1　　　　　　　　　　　　　　　　
既然是设计，那就要有相应的数据说明（设圆的半径为r），分割的方法自然是可以用尺子、圆规作出。学生往往是从分割出全等的图形入手，思路难以展开，只能想到两三种分割方法。若能突破“全等”的束缚，学生的思路会大为拓展。针对此题，任勇老师曾经组织学生进行过探索，并总结了一百多种分割方法，记录在他的著作《你能成为最好的数学教师》中。此题很好地诠释了第24届国际数学家大会名誉主席陈省身教授为中国少年数学论坛的题词――“数学好玩”，对学生进行发散思维训练有较大的帮助，是一道好题。
以下列举一些分割方法。

二、源自优质教辅
例2（鹭江出版社―――与圆的性质相关的计算题）：如图2－1， AB是⊙O的直径，AE是弦，点C是弧AE中点，CD⊥AB于D，交AE于F。
求证：AF＝CF

　图2－1　　　　　　　　图2－2　　　　　　　图2－3　　　　　　图2－4
很多同学在分析这道题时，感到题目所给条件简单，但就是不知从何处下手，其实，对每一个条件进行挖掘、联想，我们都可得到不同的证法，思路也会很顺畅。经过反思总结、证法对比，学生能从这道题中领悟到 “如何分析题目形成解题思路”，。从训练学生的解题策略的角度看，此题不矢为好题。
证法一：由AB是⊙O的直径连接AC、BC（如图2－2），。这个证法是从第1个条件推出 “直径所对的圆周角等于90°”，并综合利用第3个条件“CD⊥AB”引发联想―――“双直角三角形”， 再由弧的中点推理“等弧所对的圆周角相等”“等量代换”“等角对等边”，思维简洁、流畅。
　　证法二：由点C是弧AE中点连接OC交AE于G，（如图2－3）。这个证法是从第2个条件引发联想，“连接OC”形成垂径定理推论的条件，并综合利用第3个条件“CD⊥AB” ，引发推理“等角的余角相等”“等边对等角”“等量减等量差相等”“等角对等边”。就是图形有些复杂，角处于交错的线条之中。
证法三：由CD⊥AB延长CD交⊙O于点H，（如图2－4）。这个证法是从第3个条件引发联想，“延长CD”形成垂径定理推论的条件，再利用推理“等量代换”“等弧所对的圆周角相等” “等角对等边”。学生对比后发现，证法三最为简洁明。
从学生的反应（眼神、感叹、鼓掌等）中，笔者感受到：他们正在享受数学带给他们的乐趣，他们在解题过程中明白了“观察题目与选择解法”的重要性与必要性。
三、源于教师总结
“不怕不适货，就怕货比货。”例3将基本知识和技能、常规解法隐藏于题目之中，例3将归纳与总结的结果用“同图异构”的形式来展示，几乎囊括了初中所学的数学知识及要考查的数学思想和方法。　

（1）PA＋PB是最小值；（△ABP的周长最小）
（2）是最大值；
（3）PA＝PB；
（4）△ABP是等腰三角形；
（5）△ABP是直角三角形；
（6）以点P为顶点的抛物线经过A、B两点；
（7）△ABP的面积为5；
（8）C点为（0，2），以CP为边在第一象限内作矩形CPQD，使QD经过点B，且矩形CPQD是正方形；
（9）P为（m，0）、Q为（m＋1,0）且四边形APQB的周长最小；
（10）点Q在y轴上，且四边形ABPQ的周长最小；
（11）过A、B、P三点的圆与x轴相切；
（12）过A、B、P的抛物线与x轴交于另一点Q（P点在Q点的左边），且PQ＝7；
（13）点Q在y轴上，且由A、B、P、Q四点组成平行四边形；
（14）双曲线经过点A，双曲线经过点B，过P点的直线平行于y轴且与双曲线相交于点Q，若∠ABQ＝90°；
（15）双曲线经过点A，双曲线经过点B，过P点的直线PM∥AB交双曲线相交于点Q，交双曲线相交于点N，且四边形ABMN是平行四边形；　　　　　　　
（16）抛物线经过A、B两点，直线PQ∥AB交直线AB上方的抛物线于点Q，且△QAB的面积最大；
（17）一束光线从点B出发，经过y轴上的点Q平面反射后经过点A，光线与x轴交于点P；
（18）直线BP与y轴交于点Q，且；
　　什么叫触类旁通？这道“同图异构”的18个构思，就让学生很好地感受了这一成语的含意。一个简单图形，引出了这么多的数学主干知识，无不让学生感到兴奋，也大大地激发了学生学习与探索数学热情。以上各小题，有些题解法巧妙、简捷，笔者认为，运用之能达到良好的教学效果，不但有利于减轻学生的课业负担，而且在融合了各方面知识后，能让学生在解题时，有种居高临下之感。这，自然是一道不可多得的好题。
四、源于试题改编
有这样一种试题上，它对师生来说是陌生的、新颖的，题目设计巧妙，将许多知识点融合得很好，学生研究、解答这类题，就可以触类旁通。
　　例4（2013年龙岩市九年级质量检查卷压轴题）：如图①，点P是正多边形的边上一点（不与点，重合），M是 延长线上一点，连接.
（1）当=3时，如图②所示，将线段绕点P顺时针旋转60°得到线段PN，连接.
　　（i） 求证：；
　　（ii）求的大小；
（2）当时，将线段绕点P顺时针旋转得到线段PN，连接.试猜想的大小，并说明理由.

图②

图①

师生刚接触此题，感到新颖、陌生。学生多只能做到第1小题的第2问，第2小题放弃的居多。是题目出得太难？还是这道题本身没有针对性？
仔细问题我们不难发现：第2小题是第1小题的拓展，学生完全可以利用第1小题的解法解之。学生的答卷上基本都是“连接AN，证明△≌△”，但是这种证全等的解题经验无助于本题第2小题的解决，因此多数学生只得选择放弃。
如果我们注意题目中给出已知条件―――有一边（＝PN）和一邻角（）对应相等，自然联想到三角形全等，则产生下列解法：
解法一：在的延长线上截，连接NB（如图4－1，构造SAS全等型），得到；
解法二：过N作NB∥交PM于B，连接NB（构造AAS全等型），得到；（但在第2小题中发展为过N作NB∥交PM于B）
解法三：在PN的下方作∠PNB＝，点B在PM上（构造ASA全等型），得到；

解法四：在上截（也可截），连接CP（如图4－2构造SAS全等型）；
解法五：在上取一点C，连接PC，构造AAS或ASA全等型；
解法六：连接，得△是等边三角形，△与△构成SAS全等；
以上6种方法，均可以形成经验并应用于第2小题解答，第6种方法是学生最容易想到的，但也是最不容易应用于解题的。随着图形的变化，特殊的“全等”也就发展成了一般性“相似”，即由 “SAS型全等”发展为满足两边对应成比例且夹角相等的相似。笔者对例4作了改编，以期培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，从根本上提高学生解决问题的能力，学生由开始觉得难、无从下手，变为思路颇多、得心应手。
变式一：已知，△ABC中，BA＝BC，点D在直线BC上（不含点B、C），将线段AD绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接EC，
　　（1）当∠ABC＝α＝90°时（如图4－4），点D在BC边上，则∠ECD＝＿＿＿；
　　（2）当∠ABC＝α＝60°时（如图4－5），点D在BC的延长线上，求∠ECD的度数；
　　（3）当∠ABC＝α时（如图4－6），点D在CB的延长线上，试猜想∠ECD的大小，并说明理由；

当然也可以是α＝30°或α＝45°
为了让学生少走弯路，不断地寻找好题是教师的唯一选择。好题不缺，缺的是发现好题的眼光、心思和精力，只是我们用心去观察、分析、判断，相信每位教师都会建立起适合自己教学习惯的好题库，把“为学生减负”真正落实到实处。
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