七年级数学(下)期末复习知识点整理.doc

第五章相交线与平行线
知识点概括
一、相交线
1、如图1若a、b相交，∠1与∠2互为 ，∠1与∠3互为 ，
与∠3互为补角的有 。
2、如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α ∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β 对顶角。
3、如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β= °；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β一定互为 ，∠α与∠β （是、不一定是、不是）邻补角。
二、垂直
1、如图2，若AB与CD相交于点O，且∠ = °，则AB与CD垂直，记作AB CD，垂足为 。
2、垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
A
B
C
D
O
图2
P
A
B
C
图3
a
3、垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。如图3，线段PA、PB、PC最短的是 。
3
1
2
图1
a
b

4、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图3点P到直线a的距离是 。
5、垂线的画法。
三、三线八角

1
2
3
4
5
6
7
8
1、两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图，直线被直线所截
同位角：
内错角：
同旁内角：

三线八角也可以成模型中看出。同位角是 型；内错角是 型；同旁内角是 型。
2、如何判别三线八角
　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。
如图，判断下列各对角的位置关系：
⑴∠1与∠2；（ ）⑵∠1与∠7；（ ）⑶∠1与∠BAD；（ ）⑷∠2与∠6；（ ）⑸∠5与∠8（ ）。

1
6
B
A
D
2
3
4

5
7
8
9
F
E
C
　例如：

四、平行线的判定与性质
1、平行线的概念：
在 ， 的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作 。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过 ，有且只有 与这条直线平行
4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

　　　　　　　　　　　几何语言：

5、 两直线平行的判定方法：
判定1： 相等，两直线平行
判定2： 相等，两直线平行
判定3： ，两直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4

　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2
　　　　　　　　　　　　　　∴　 （ ）
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2
　　　　　　　　　　　　　　∴　 （ ）
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°
　　　　　　　　　　　　　　∴　 （ ）
判定4：垂直于同一直线的两直线平行。几何语言：
b
a

c

6、平行线的性质：
　性质1：两直线平行，同位角相等；
　性质2：两直线平行，内错角相等；
　性质3：两直线平行，同旁内角互补。

A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
　　　　　　　　　　　　　　 几何符号语言：
　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　　　　∴ （两直线平行，内错角相等）
　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（ ）
　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（ ）

五、命题、定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题。
2、每个命题都是 、 两部分组成。在命题“两直线平行，内错角相等”的题设是 ，结论是 ；改写成“如果、、、那么、、、”形 式： ；
3、在“对顶角相等”这个命题中，题设是 ，结论是
；改写成“如果、、、那么、、、”形 式： ；
C
A
D
B
E
F

六、平移
平移不改变图像的 和 。
如右图，△DEF是由△ABC经过平移得到的，若∠C=80°，
∠A=33°，则∠EDF= ，∠DEF= 。
二、典型例题：
例1：已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H ，∠AGE=500，求：∠BHF的度数．

例2：1、如图（1），计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是________________。
A
B
C
E
D
F
1
2
2、体育课上，老师测量跳远成绩的依据是 .
A
B
P
C
D
A
E
D
B
C
F
D′
C′
60°

A
B
D
C

（2）

（4）
（3）
（1）

例3：如图（2），把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=60°，则∠AED′=( )
A、50° B、55° C、60° D、65°
例4：如图（3），AB∥CD，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，
∠PCD=30°-α，则α=( )
A、10° B、15° C、20° D、30°

拓展：如图（4），CD⊥ABD，FG⊥ABG，ED∥BC，试说明∠1=∠2。

图1
平面直角坐标系
一、知识要点
1. 有序实数对、平面直角坐标系、坐标、象限的概念。
2. 点的位置和特殊点的性质：在图1的坐标系中，
填上象限名称及各象限中的点坐标性质符号。
3. 在平面直角坐标系中的点M（a，b）
（1）如果点M在x轴上， 则 b__0; (2) 如果点M在y轴上， 则 b__0;
(3) M（a，b）到x轴的距离为_______,到y轴的距离为________.（4）如果点M（a，b）在一、三象限角平分线上，则 ；如果点M（a，b）在二、四象限角平分线上，则 ；（5）如果MN//x轴，则点M、N的 坐标相等；如果MN//y轴，则点M、N的 坐标相等。
3. 用坐标表示地理位置：
（1）建立坐标系，选择一个____________为原点，确定x轴、y轴的___方向；
（2）根据具体问题确定______________，在坐标轴上标出__________；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的_______和各个地点的名称．
4. 用坐标表示平移：
（1）在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（_______,y）（或（_______,y））； 将点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x,______）（或（x,________））。
（2）在平面直角坐标系中，如果把点（x,y）的横坐标加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向____（或向_____）平移a个单位长度；如果把点（x,y）纵坐标加（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向_____（或向______）平移b个单位长度。（左“-”，右“+”；上“+”，下“-”）
二、主要知识点练习
1. 有序数对：如果电影票上的“4排3座”记作（4，3），那么6排8座可记作 ，（8，6）表示 排 座。
2. 平面直角坐标系：
两条有公共_______并且___________数轴组成。水平的轴称为_____(或______),铅直的轴称为_____(或______)。
3、坐标：
（1）如图（1）所示,点B的的横坐标是 ，纵坐标是 。到x轴距离 ，到y轴距离 。
（2）如图（1）所示,点D的坐标是 。
（3）如图（1）所示,坐标为（-1，-2）的是 点。
4、象限：
（4）点A(-3,2)在第_______象限,点B(-3,-2)在第_______象限,点C( 3, 2) 在第______象限,点D(-3,-2)在第_______象限,点E(0,2)在______轴上, 点F( 2, 0) 在______轴上.
5、点到坐标轴的距离：
（5）如图（1）所示,点B到x轴的距离为 ，到y轴的距离为
6、平移
（6）在平面直角坐标系内，把点P（－5，－2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是 。
三、典型例题
（2）
例1、若，且点M（a，b）在第二象限，则点M的坐标是（ ）
A、（5，4） B、（－5，4）
C、（－5，－4） D、（5，－4）
例2、如图（2）的围棋盘放在平面直角坐标系内，如果黑棋
的坐标表示为( – 1，2 )，那么白棋的坐标是( ， )；
请问黑棋的坐标还可以表示为( ， )，那么此时白棋
的坐标是( ， ).
例3：若点P（m，1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（ ）
A、第一象限　　B、第二象限　　　C、第三象限　　D、第四象限
例4：点P（m＋3, m＋1）在直角坐标系的x轴上，则点P坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（ 2，0） C．（ 4，0） D．（0，－4）
例5：过A（4，－2）和B（－2，－2）两点的直线一定（ ）
A、 垂直于x轴 B、与y轴相交但不平于x轴
B、 C、平行于x轴 D、与x轴、y轴平行
例6：如图，下列说法正确的是（ ）
A．A与D的横坐标相同。 B．C与D的横坐标相同。
C．B与C的纵坐标相同。 D．B与D的纵坐标相同。

例7、在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A（0，3）；B（1，－3）；
C（3，－5）；D（－3，－5）；E（3，5）；F（5，7）；G（5，0）。
（1）A点到原点O的距离是 。
（2）将点C向轴的负方向平移6个单位，
它与点 重合；将点G向下平移
3个单位，再向左平移4个单位后得到的
点的坐标是___________。
（3）连接CE，则直线CE与轴是什么关系？
（4）点F分别到、轴的距离是多少？
（5）求△COD的面积。

实数
一、知识要点：
1.平方根：如果一个数的 等于a，这个数叫a的 。
平方根的性质：①正数的平方根有 个，它们互为______
②负数 平方根；
③0的平方根为 ；
2.算术平方根：如果一个 的平方等于a，这个 叫a的算术平方根。
平方根与算术平方根的关系：
3.开平方运算：
4.双重非负性： 的双重非负性的理解：
5.立方根的定义：如果一个数的 等于a，这个数叫a的 。
立方根的性质：①正数的立方根有 个，它为______
②负数的立方根有 个，它为______
③0的立方根为 ；
6.无理数：______ _____________________；
实数：_____________________________________________．
实数性质：_____________与数轴上的点是一一对应的，有理数的运算法则、运算律等在实数范围内同样适用。
7.常见的无理数有三类： 。
8.实数a的相反数 ，倒数 （a不为0），绝对值 。
二、基础训练：
1、(1)16的平方根是 ，算术平方根是__________．
(2)的平方根是 ，算术平方根是___________．
（3）的算术平方根 ，立方根 ，-的立方根 。
2、化简：=_____________．
3．已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是 ．
(1)的相反数是______，倒数是_______，绝对值是_____________．
(2)的相反数是________，倒数是________，绝对值是_______．
4.满足不等式的非正整数共有 个．
5.若与互为相反数，则 ．
6．一个数的算术平方根是，则比这个数大2的数是（ ）
A． B． C． D．

7.实数，，，，，3.2121121112中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8.估算的值( )
A．在1到2之间 B．在2到3之间
C．在3到4之间 D．在4到5之间
9.实数，在数轴上的位置，如图所示，那么化简的结果是（ ）．
A． B． C． D．

10.已知实数x，y满足，求代数式的值

11、 实数的运算
（1） （2）

（3） （4）

（5）

12．解下列方程：
（1） （2）

（3） （4）

期末复习六：二元一次方程（组）
一、 知识要点：
1、 二元一次方程定义：含有 未知数，且含未知数项次数为 的 方程。
2、 方程的解：使方程两边相等的 。
3、 解方程：求解方程的 。
4、 二元一次方程组：将两个 组合在一起。
5、 方程组的解：两个组合在一起的二元一次方程的 解。
6、 解二元一次方程组基本思路 ，将 转化 求解。
基本方法： 。
7、 三元一次方程组：含有 相同未知数，的 一次方程，组合在一起。
8、 解三元一次方程组思路： 将 转化 再转化 求解，
基本方法： 。
9、二（三）元一次方程组的应用基本模型步骤： 。
二、基础训练：
1．已知方程①2x＋y＝3；②x＋2＝1；③ y＝5－x； ④x－xy＝10；⑤x＋y＋z＝6中二元一次方程有_____________．（填序号）
2．在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，则a的值为________．
3．下列是二元一次方程组的是（ ）.
A． B．C． D．
4．方程组的解为，则里的两个数分别是（ ）．
A．3，1 B．5，1 C．2，3 D．2，4
5、已知是同类项，那么a,b的值是（ ）
A. B. C. D.
6．在3x＋4y＝9中，如果2y＝6，那么x＝_______．
7.已知x + y=4，且x-y=10，则2xy=________
8．解下列方程组．
（1） （2）

三、 综合应用
1、 若方程为二元一次方程，则k的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 2或-2 D.以上均不对。
2、若关于x．y的二元一次方程组的解均是正数，那么a的取值范围是（ ）．
A．－3＜a＜6 B．a＞6 C．a＜－3 D．不存在
3、若方程组的解满足，则m=________.
4、若方程组的解x与y相等，则k=_________。
5、若的值

6、已知代数式y=ax+bx+c 中，当x =1 时，y=2；当x =3 时，y=0；当x =-2 时，y=20；求这个代数式y的值。

7、 王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20％, 乙种商品的进价是每件20元，利润率是15％,共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗？

8、某家具厂生产一种方桌，设计时1立方米的木材可做50个桌面，或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套，并指出共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）．

不等式与不等式组
一、 知识梳理
1、 不等式定义：用 连接的式子。（不等号有 ：）
2、 不等式性质：性质1：若a>b，c(一个数或式子)，则 ；
性质2：若a>b，c>0，则 ； 性质3：若a>b，c<0，则 ；
3、 不等式解集表示：（1）用不等式表示，x>a或 ；（2）用数轴表示。
4、 一元一次不等式：含有 个未知数，未知数次数是 的不等式。
5、 解一元一次不等式步骤： 去分母、 。（注意各步骤的注意事项）
6、 一元一次不等式是组定义：
7、 不等式组的解集：各个不等式解集的 。
8、 求解不等式组解集步骤： 求分解、 。
9、 不等式（不等式组）的应用：
二、 基础训练
1． 用不等式表示：①a大于0_________；② 是负数____________；
③5与x的和比x的3倍小______________________。
2.用不等号填空：若 ；
3、在数轴上表示不等式组 的解，其中正确的是（ ）

4.下列不等式中，是一元一次不等式的是（     ）  
A．2x－1＞0  B．-1＜2    C．3x-2y＜-1    D．y2+3＞5
5.不等式组的最小整数解是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
6.解不等式（组）并在数轴上表示出解集．
（1）
（2）
三、 综合应用
1、当k_____时，不等式 是一元一次不等式。
2、关于x的方程的解x满足2<x<10，求的取值范围。
的整数解共有3个，则a的取值范围是_______．

3、若关于x的不等式组的解集为x<2，则k的取值范围是_______．
4、已知关于x的不等式组 x-a≥0
8x-24≤0
5、若不等式组的解集是x>a，则a的取值范围是（ ）
A．a<3 B．a=3 C．a>3 D．a≥3
6、若不等式组无解，则m的取值范围是______．
7、已知方程组的解为负数，求k的取值范围．

8、某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款.现有一顾客需购买4只茶壶,茶杯若干只(不少于4只).请问:顾客买同样多的茶杯时,用哪一种优惠办法购买省钱?

9、某市自来水公司为限制单位用水,每月只给某单位计划内用水3000吨,计划内用水每吨收费0.5元,超计划用水超出部分每吨收费0.8元.如果单位自建水泵房抽水,每月需交500元管理费,另外每月一吨水再交0.28元,已知每抽一吨水需成本0.07元.问该单位是用自来水公司的水合算,还是自建水泵房抽水合算.

10、某化工厂现有甲种原料290千克，乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克，乙种原料1.5千克，生产成本是120元；生产一件B产品需要甲种原料2.5千克，乙种原料3.5千克，生产成本是200元。(1)该化工厂现有原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请设计出来。（2）试分析你设计的哪种生产方案总造价最低？最低造价是多少？

数据收集、整理、统计
一、 知识要点
1、收集数据主要采取 调查和 调查。
2、全面调查特点： ；抽样调查特点： 。
3、为了了解一批电视机的使用寿命，从中抽取10台进行试验，对于这个问题，采取 调查，总体： 个体：
样本： 样本容量 。
4、 整理数据，主要是通过 来反映，根据不同情况制出不同形式的表格，来反映各组的状况.描述数据，主要采取 的方式，常
用 图来描述数据。
5、 扇形统计图中，调查对象所占的百分比与扇形圆心角的关系： 。
6、 画直方统计图的步骤： 。
7、 频率： 。等距直方图的纵轴指的是 ，横轴指的是
二、基础训练
图1
1、为了进一步了解七年级400名学生的身体素质情况，体育老师对七年级50名学生进行1min跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，如下图所示．请结合图表完成下列问题．
组 别
次数x
频数（人数）
第1组
80≤x<100
6
第2组
100≤x<120
8
第3组
120≤x<140
a
第4组
140≤<x<160
18
第5组
160≤<x<180
6

（1）表中的a =______．（2）请把频数直方图（图1）补充完整．
（3）若八年级学生1min跳绳次数（x）达标要求是：x<120为不合格，120≤x<140为合格，140≤x<160为良，x≥160为优，根据以上信息，
请你估算八年级学生1min跳绳，合格、不合格、优各有多少人？
2、某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图，请你根据统计图解决下列问题：（1）此次调查抽取了多少用户的用水量数据？（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？

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