函数应用高考题组卷.doc

2016年10月28日柯桥中学19的高中数学组卷(函数应用）

一．选择题（共6小题）
1．函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切，则a=（　　）
A． B． C． D．1
2．若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x﹣f[g（x）]=0有实数解，则g[f（x）]不可能是（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣，﹣2]∪（0，] B．（﹣，﹣2]∪（0，] C．（﹣，﹣2]∪（0，] D．（﹣，﹣2]∪（0，]
4．设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）
A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]
5．设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）
A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0
C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0
6．f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0．则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2

二．填空题（共4小题）
7．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是　　．
8．已知函数f（x）=ex﹣2x+a有零点，则a的取值范围是　　．
9．方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（xi，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是　　．
10．若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是　　．

三．解答题（共10小题）
11．已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．

12．设f（x）=x（x﹣1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？
（1）（2）f（x）=2有整数解 （3）f（x）=x2+1有实数解 （4）f（x）=x有不等于零的有理数解（5）若f（a）=2，则f（﹣a）=2．

13．设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．

14．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．

15．已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

16．设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．
（1）求f（x）在Ik上的解析表达式；
（2）对自然数k，求集合Mk={a|使方程f（x）=ax在Ik上有两个不等的实根}

17．已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．

18．已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．
19．设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）﹣2＜＜﹣1；
（Ⅲ）设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则≤|x1﹣x2|＜．

20．如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=﹣2x3+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D．
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．

2016年10月28日柯桥中学19的高中数学组卷(函数应用）
参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）
1．（2005•浙江）函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切，则a=（　　）
A． B． C． D．1
【分析】因为函数与直线相切，则函数与直线有一个公共点，则把两个解析式联立得到一个一元二次方程，利用△=0求出a即可．
【解答】解：把两个解析式联立得方程ax2﹣x+1=0，
当a≠0时，由△=0即得a=
故答案为B．
【点评】此题利用导数作麻烦！利用两个函数求交点的思路来做比较简单．

2．（2004•浙江）若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x﹣f[g（x）]=0有实数解，则g[f（x）]不可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】这样思考：要使方程x﹣f[g（x）]=0有实数解则x=f[g（x）]，将函数反解出来g（x）=F*（x），F*（x）为f（x）的某一逆函数则总能找出其对应的象来，即也有实数解；令y=f（x）即问题转化为g（y）=x有实数解的问题，把y代入化简A B C选项，因为x2+x+=x的解为虚数；只有B没有可能，即可得答案．
【解答】解：∵x﹣f[g（x）]=0得f[g（x）]=x，
所以g[f（g（x））]=g（x），
得g[f（x）]=x，
所以f[g（x）]=x与g[f（x）]=x是等价的，
即f[g（x）]=x有解g[f（x）]=x也有解，也就是说有解的都是可能的
题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个B．
故选B．
【点评】本题是抽象函数的问题，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．在这里说明一点，上述这种判断只是能用可能来判断，因为求逆函数只对奇函数有效．

3．（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣，﹣2]∪（0，] B．（﹣，﹣2]∪（0，] C．（﹣，﹣2]∪（0，] D．（﹣，﹣2]∪（0，]
【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），
分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：
由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，
当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，
当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，
当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，
此时，
即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，
当m=0时，x=，只有1解，
当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，
∴要使函数有两个零点，
则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，
故选：A

【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．

4．（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）
A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]
【分析】根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得ex=x2﹣x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）
其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据，化简整理得ex=x2﹣x+a
记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A

【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．

5．（2012•山东）设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）
A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0
C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0
【分析】画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．
【解答】解：当a＜0时，作出两个函数的图象，
若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，
必然是如图的情况，
因为函数f（x）=是奇函数，所以A与A′关于原点对称，
显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，
﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，
同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0
故选B．

【点评】本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．

6．（2005•福建）f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0．则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据题意，由f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0，可得f（﹣2）=0，重复利用函数的周期性，看在区间（0，6）内，还能推出哪些数的函数值等于0．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且周期是3，f（2）=0，∴f（﹣2）=0，
∴f（5）=f（2）=0，f（1）=f（﹣2）=0，f（4）=f（1）=0．
即在区间（0，6）内，
f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0，
故答案：B
【点评】本题考查函数的奇偶性、根的存在性及个数判断．

二．填空题（共4小题）
7．（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是　　．
【分析】根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．
【解答】解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=
即f（x）=
画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），
当﹣x2+x=m时，有x1x2=m，
当2x2﹣x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，
∴x1x2x3=m（）=，m∈（0，）
令y=，
则，又在m∈（0，）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
∴＜0在m∈（0，）上成立，
∴函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，
∴函数的值域是（f（），f（0）），即
故答案为：

【点评】本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目．

8．（2011•辽宁）已知函数f（x）=ex﹣2x+a有零点，则a的取值范围是　（﹣∞，2ln2﹣2]　．
【分析】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．
【解答】解：f′（x）=ex﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2
当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，
∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，
并且这个极小值也是函数的最小值，
由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，
故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．
【点评】利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解．

9．（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（xi，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）　．
【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．
【解答】解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（xi，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；

所以结合图象可得：；
【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．

10．（2006•上海）若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是　﹣1≤b≤1　．
【分析】先求出曲线|y|=2x+1的值域，根据题意可知只需b不在值域范围内即可使曲线与直线y=b没有公共点．
【解答】解：曲线|y|=2x+1得|y|＞1，
∴y＞1或y＜﹣1，曲线与直线y=b没有公共点，
则b的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为﹣1≤b≤1
【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及指数函数的值域等有关知识，属于基础题．

三．解答题（共10小题）
11．（2007•江苏）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围．
【分析】（1）不妨设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．进而有g（0）=g（f（r））=0，再由g（0）=d求解．
（2）由（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx．所以有g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）．而方程f（x）=0即为x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0即为x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0．②最后按方程的类型，分（ⅰ）当c=0时，b≠0，（ⅱ）当c≠0，b=0（ⅲ）当c≠0，b≠0讨论．
（3）由a=1，f（1）=0得b=﹣c，将函数的系数都用c表示：f（x）=bx2+cx=cx（﹣x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]．由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．然后，按照c=0和c≠0两种情况，用判别式判断求解．
【解答】解：（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0．
于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．
所以，d=0．
（2）由题意及（1）知f（x）=bx2+cx，g（x）=ax3+bx2+cx．
由a=0得b，c是不全为零的实数，且g（x）=bx2+cx=x（bx+c），
则g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b2x2+bcx+c）．
方程f（x）=0就是x（bx+c）=0．①
方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b2x2+bcx+c）=0．②
当b=0时，c≠0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
当b≠0，c=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意．
当b≠0，c≠0时，方程①的根为x1=0，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根．则方程b2x2+bcx+c=0无实数根时，符合题意，
此时△=（bc）2﹣4b2c＜0，得0＜c＜4，
综上所述，b=0时，c≠0时，b≠0时，0≤c＜4；
（3）由a=1，f（1）=0得b=﹣c，f（x）=bx2+cx=cx（﹣x+1），g（f（x））=f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]．③
由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．
当c=0时，符合题意．
当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f2（x）﹣cf（x）+c=0④的根，
因此，根据题意，方程④应无实数根．
那么当（﹣c）2﹣4c＜0，即0＜c＜4时，f2（x）﹣cf（x）+c＞0，符合题意．
当（﹣c）2﹣4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得，
即，⑤
则方程⑤应无实数根，
所以有且．
当c＜0时，只需，解得，矛盾，舍去．
当c≥4时，只需，解得．
因此，．
综上所述，所求c的取值范围为．
【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根，函数的最值，还考查了分类讨论思想，转化思想．

12．（2011•台湾）设f（x）=x（x﹣1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？
（1）（2）f（x）=2有整数解 （3）f（x）=x2+1有实数解 （4）f（x）=x有不等于零的有理数解
（5）若f（a）=2，则f（﹣a）=2．
【分析】（1）把代入f（x）可得结论错误；（2）方程f（x）=2有整数解，即x3﹣x﹣2=0有整数解，构造函数g（x）=x3﹣x﹣2有整零点，利用反证法即可得到结论；（3）方程 f（x）=x2+1有实数解，即x3﹣x2﹣x﹣1=0为一整系数三次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出现，故此方程式必有一实根；（4）f（x）=x有不等于零的有理数解，即x（x﹣1）（x+1）=x，解此方程即可求得结论；（5）f（x）=x（x﹣1）（x+1）是奇函数，因此f（a）=2，则f（﹣a）=﹣2．
【解答】解：（1）
（2）f（x）=2⇒x（x﹣1）（x+1）=2⇒x3﹣x﹣2=0
令g（x）=x3﹣x﹣2
若为g（x）=0的有理根，则a|1，b|2，故可为±1，±2．
但g（1）≠0，g（﹣1）≠0，g（2）≠0，g（﹣2）≠0，故g（x）=x3﹣x﹣2=0没有整数解，即f（x）=x3﹣x=2没有整数解．
（3）f（x）=x2+1⇒x3﹣x=x2+1⇒x3﹣x2﹣x﹣1=0为一整系数三
次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出
现，故此方程式必有一实根．
（4），
故f（x）=x没有不等于0的有理根．
（5）f（a）=2⇒a（a﹣1）（a+1）=2，则f（﹣a）=﹣a（﹣a﹣1）（﹣a+1）=﹣a（a+1）（a﹣1）=﹣2
故正确的是（3）
【点评】此题是中档题．考查函数的零点与方程根之间的关系，以及函数的奇偶性，是道综合题，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．

13．（2011•湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（I） 利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．
（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：（I） f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．
由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．
由此得，解得，
所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．
（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．
依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，
故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．
所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．
又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，
特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）﹣mx1＜﹣m成立，
∵x1是方程f（x）+g（x）=mx的一个根，
∴f（x1）+g（x1）﹣mx1=0，得m＜0．
由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．
对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．
则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．
所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．
于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，
综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．
【点评】本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．

14．（2007•广东）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．
【分析】y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点转化为（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数在[﹣1，1]上的值域，再用分离常数法求函数在[﹣1，1]的值域即可．
【解答】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解，⇔（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解
在[﹣1，1]上有解，问题转化为求函数[﹣1，1]上的值域；
设t=3﹣2x，x∈[﹣1，1]，则2x=3﹣t，t∈[1，5]，，
设，时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是，
∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解⇔∈⇔a≥1或．
故a≥1或a≤﹣．
【点评】本题是一道中档题，主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．

15．（2005•上海）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

【分析】（1）由f（2）=2+=2+求解a．
（2）先设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．
（3）由（2）可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．
【解答】解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，
由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，
∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．
（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）．
∵PM与直线y=x垂直，
∴kPM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=（x0+y0）．
又y0=x0+，∴t=x0+．
∴S△OPM=+，S△OPN=x02+．
∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=（x02+）+≥1+．
当且仅当x0=1时，等号成立．
此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．
【点评】本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．

16．（2012秋•惠城区校级月考）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．
（1）求f（x）在Ik上的解析表达式；
（2）对自然数k，求集合Mk={a|使方程f（x）=ax在Ik上有两个不等的实根}
【分析】（1）利用2为周期2k也是周期可得f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2即为所求．
（2）转化为x2﹣（4k+a）+4k2=0在区间Ik上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．
【解答】解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，
∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．
又∵当x∈Ik时，（x﹣2k）∈I0，
∴f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2．
即对k∈Z，当x∈Ik时，f（x）=（x﹣2k）2．
（2）当k∈Z且x∈Ik时，
利用（1）的结论可得方程（x﹣2k）2=ax，整理得：x2﹣（4k+a）+4k2=0．
它的判别式是△=（4k+a）2﹣16k2=a（a+8k）．
上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足
化简得
由（1）知a＞0，或a＜﹣8k．
当a＞0时：因2+a＞2﹣a，故从（2），（3）
可得，即
当a＜﹣8k时：2+a＜2﹣8k＜0，
易知无解，
综上所述，a应满足故所求集合
【点评】本题借助于函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性'根的个数的判断的综合考查，是道中档题．

17．（2007•北京）已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．
【分析】（I）根据直线与抛物线的右侧相交列出关于k的不等式是解决本题的关键，即方程组有正根．通过解不等式确定出k的取值范围；
（II）利用导数的知识和点斜式方程的知识写出直线的方程是解决本小题的关键，令直线方程中的y=0，建立以x1为自变量的函数t，进而写出该函数的定义域和值域；
（III）利用类比的思想在第（II）问基础上得出|OM|与|ON|的表达式，通过作差法进行二者大小的比较，得出结论．
【解答】解：（I）由方程消y得x2﹣kx+2=0．①
依题意，该方程有两个正实根，
故解得k＞2．
（II）由f′（x）=2x，求得切线l1的方程为y=2x1（x﹣x1）+y1，
由y1=x12+2，并令y=0，得t=，x1，x2是方程①的两实根，
且x1＜x2，故x1=，k＞2，
x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是．
t是关于x1的增函数，定义域为，所以值域为（﹣∞，0）．
（III）当x1＜x2时，由（II）可知|OM|=|t|=﹣．
类似可得|ON|=．|OM|﹣|ON|=﹣．
由①可知x1x2=2．
从而|OM|﹣|ON|=0．
当x2＜x1时，有相同的结果|OM|﹣|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．
【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，考查曲线的切线求法，考查学生的函数思想、不等式思想、转化与化归思想，几何问题代数化的思想．比较法判断大小问题．

18．（2007•浙江）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．
【分析】（1）当k=2时，方程是含有绝对值的方程，对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之；
（2）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元
一次函数的单调性加以解决．
【解答】解：（Ⅰ）解：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+kx
①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1=0
解得，因为，故舍去，所以．
②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时，方程化为2x+1=0
解得
由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以或．
（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，
因为
所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．
由f（x1）=0得，所以k≤﹣1；
由f（x2）=0得，所以；
故当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．
当0＜x1≤1＜x2＜2时，，2x22+kx2﹣1=0
消去k得2x1x22﹣x1﹣x2=0
即，因为x2＜2，所以．
【点评】本题主要考查的高考考点：函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识；易错点：解析问题的能力较差，分类讨论的问题考虑不全面备考提示：本题还考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法解析和解决问题的能力．需要考生有较扎实的理论知识及较强的解析问题的能力，同时要具备良好的运算能力．

19．（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）﹣2＜＜﹣1；
（Ⅲ）设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则≤|x1﹣x2|＜．
【分析】（Ⅰ）针对a进行分类讨论，若a=0，f（0）f（1）≤0显然与条件矛盾，a≠0时，f（x）=3ax2+2bx+c为二次函数，只需考虑判别式即可；
（Ⅱ）利用根与系数的关系将（x1﹣x2）2转化成关于的二次函数，根据的范围求出值域即可．
【解答】证明：（Ⅰ）若a=0，则b=﹣c，
f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=﹣c2≤0，
与已知矛盾，
所以a≠0．
方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2﹣3ac），
由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a2+c2﹣ac）=
故方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）由条件，知，，
所以（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．
因为，
所以
故
【点评】本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．

20．（2004•湖南）如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=﹣2x3+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D．
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．

【分析】（Ⅰ）先求出两曲线的交点O、A坐标，由直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D表示出BD的长，利用四边形ABOD的面积等于三角形ABO的面积+三角形OBD的面积；即可表示函数f（t）的关系式；
（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分区间讨论f（t）的增减性得到哦f（t）的最大值及此时t的值即可．
【解答】解：（