趣味数学问题和课堂探究性学习.doc

趣味数学问题和课堂探究性学习 ,随着课题研究的深入,我深深意识到:教育的最终目的是培养国家、民族和社会所需要的人才,而传统的教模式和学习模式所培养出来的受教育者确实与现代人才观有诸多不相适应之处,因此改革势在必行。探究性学习是指以培养学生创新精神和实践能力为宗旨,以充分体现学生的主体性、主动性、参与性为前提,以个人或团体(小组)探究活动为主要形式的一种发现问题、分析问题、解决问题,从而获得科学、人文等多方面知识及能力的学习方式。由此,我们不难看出:第一,探究性学习是围绕问题展开的,以问题探究为中心,但又不等同与我们所熟知的问题解决的学习方式。前者是以问题为导向,通过提出问题,促使学习者卷入学习;通过引导学生探究问题,促使学生开展经济主动的学习活动。而后者侧重于以思考为内涵,以问题目标为定向的心理活动或心理过程,前者比后者具有更大的综合性、独立性和开放性; 第二,探究性学习的效果和是否能顺畅地实施很大程度上受问题的提出影响:问题能否吸引学生的兴趣,使之主动、积极参与探究;问题是否有深入探究的余地以满足不同水平学生的需要;问题是否有一定的价值,使学生能获得一般性的结论或方法,以刺激学生热爱探究学习方式。对数学学科而言,这一点显得尤为重要。受学科特点的影响,数学问题的提出(或发现)本身就多少带有一些思维上的要求,不如其他学科那样有较浓厚的人文气息或是可以立即付诸实验操作,因此数学探究性学习特别是在有一定教学任务的数学课堂上进行探究性学习,其最大的难处就在于该提出一个什么样的问题,既要在学生看来/有意思0,又要有助于课堂教学目标。笔者在教学实践过程中,尝试在数学课堂上将趣味数学和探究性学习相结合的方式,即从与课堂教学内容相关的趣味数学问题切入,引导学生围绕问题进行探究学习。试验收到了较好的效果,因而在此提出,与大家交流、商榷。 一、趣味数学问题的特征与数学探究学习的契合 (一)趣味数学问题的通俗性和趣味性引发学生探究的兴趣趣味数学问题一般说来不同于数学课本上的知识问题,它的来源主要有三个方面:在自然界、现实生活或生产实践中发现(可能是有趣的现象,也可能是需要解决的问题),如鹦鹉螺外壳上的螺线、美国国会大厅与抛物线焦点、天平称物问题等;在过去数学研究历史中发现(或提出)的问题,如毕达哥拉斯定理的证明、七桥问题(即一笔画)等;在民间传说中蕴涵着的数学问题,如龟兔赛跑的问题、棋盘与麦粒的问题等;一些思辩问题中蕴涵着的数学问题,如数理悖论等;业余娱乐生活中蕴涵着的数学问题,如:数学魔术、数学谜语等。因此数学趣味问题具有比常规问题更强的趣味性,这些取材于学生曾经有所耳闻的或是具有新鲜感的事例(故事)首先可以引起学生的兴趣,使主动积极的探究成为可能。 (二)趣味数学问题的层次性与开放性保护了学生的探究热情很多趣味数学问题的解决方法具有层次性,有较大的引深余地。不同水平的爱好者可以进行不同程度的探究。如厦门市特级教师任勇设计了一堂关于铺砌问题(即镶嵌问题)的探究性数学活动课,就设计了六个不同的层次:探究一种原始砌块的多种铺砌法;探究多种原始砌块的各种铺砌法;学会用数学方法,研究新的数学现实问题;从/直砌块0到/曲砌块0的创新探索;由/二维铺砌0类比研究/三维铺砌0;铺砌的/艺术化0探索、构建(见任勇5任勇与中学数学学习指导6一书,国际文化出版公司, 2003)。设计者广阔、深刻的思维和艺术般的设计让我们深深叹服之余,我们也可以看到趣味数学问题的魅力,在逐层深入的探究过程中,不仅可以照顾到学生的个体差异,而且吸引了学生自始至终能参与其中,很好地保护了学生的探究热情,不知不觉中实现了探究性学习的最终目的:一般性方法的获得和探究能力的提升以及自我的应用与创造。同样,许多趣味数学问题的解决策略或是结论具有开放性,给了学生灵活而自由宽阔的探究空间,使探究学习的过程成为一种不断探索不断收获的过程,容易满足学生的成功体验。填数(或填运算符号)的问题就是最典型的例子,如:在式子/1 2 3 4 5 6 7 8 9=1000中填入加号、减号或乘号,使等式成立。该问题就有多种方法。象这样的问题往往会使学生产生极大的热情,而且在问题解决之后有意犹未尽的感觉。 (三)趣味数学问题解决的技巧性提升学生探究的水平趣味数学问题务求简捷。要简捷就要用巧法,巧法会使人惊讶不已,引人深入探究,引人突破常规思维和定势思维,从而提升学生的探究水平。我们常常看到,在数学课堂上教师提出一些探究性的问题,有的太简单,绝大多数学生都一目了然,讨论和探究成了一种形式;有的又太难,只有极少数数学水平较高的学生可以进行思考和探究,讨论和合作探究无法进行,不管是哪种情况都会使探究性学习形同虚设,更不能提高学生的探究能力了。而趣味数学问题的解决策略通常巧而不难,对于数学学习成绩不佳的学生而言,也可以进行思考和尝试,而当其结果揭示之后,又常常让人恍然大悟,并从中得到启发,为今后的突破思维、增强思维的灵活性和敏捷性起很大的作用。笔者在课堂上举了上面填运算符号的例子,能想出/1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 89 = 1000的学生不少,但大多数学生都无法想出其他的方法,稍后一位平时不起眼的学生写出了式子/123 + 45 - 67 + 8 - 9 =1000,这种突破了常规的思维策略引起大家的一阵佩服,很快的,有许多学生写出了其他的解答,比如/123 -45 - 67 + 89 = 1000。这说明后来者已经受到启发并运用上了,可以乐观地设想,学生长期进行这样的探究性学习,他们的思维品质将得到很好的提升,因此他们的问题解决能力和探究能力就将得到提高。 (四)趣味数学问题解决的大众性增强了学生合作探究的能力二十世纪初,英国数学家、数学教育家L.霍格本写了第一本趣味数学著作5大众数学6。他在该书第一版的序言中说明,希望本书能让数学更生动有趣,让数学能成为更多人的喜爱,让更多人参与数学活动中来。每一个趣味数学问题的提出,都会引起一大批的人投入讨论、研究,在研究过程中进行最广泛地交流,从而把问题往纵、深推进。最有意思的如对幻方的研究,已经吸引了世界上无数的数学爱好者和数学家们的眼球,许多国家还有专门的幻方研究协会和网站,每天在网站上都有很多人在交流、在共同关注研究的最新成果。笔者在所任教的学校曾经设计过一次为期两天的趣味数学游园活动,面对上百个难易程度不一的趣味数学问题,与平时课堂上的反映相比,学生所表现出来的热情让人大吃一惊,活动期间,整个校园里处处可见学生几个一群地讨论、甚至是争论数学问题。这就是趣味数学问题解决的大众性的体现。首先,趣味问题的通俗性让每个学生都可以就某个问题/来两句0,而不会有数学成绩好、差的顾虑,这为大众探究奠定了很好的基础;其次探究过程中他们互相启发、互相质疑可以推动问题的解决向正确的方向行进,从而刺激了他们合作探究的欲望。而相比之下,常规数学思维问题的解决,到了最后,总是会成为少数优秀生的事情。趣味数学问题解决的大众性可以极大地培养学生平等民主的意识,建立友爱、融洽的人际关系,并提高合作探究的能力。二十一世纪的今天,科学研究的主要方式已经从个体研究转为集体研究,许多科技成果都是集体研究的产物。对学生来说,在合作探究中获得的体验将对他们今后的工作和社会生活产生积极的影响。 二、课堂探究性学习中趣味数学问题的设置虽然趣味数学发展到今天,已经成为数学的一个重要的分支,趣味数学问题也随处可见,但是做为课堂探究性学习的中心问题,要提出的趣味数学问题必须经过精心的设计或是再加工,至少必须具备以下两个条件: (一)与课堂教学内容相关课堂探究的趣味问题决不能偏离课堂教学内容,否则就失去了课堂探究的意义。问题必须与课堂教学内容有密切的关系,能为课堂教学目标服务,这样的探究既自然又有助于营造良好的课堂教学氛围,丰富了教学内容,为数学课堂教学注入活力。 (二)问题解决的难易适中,既不会一目了然,失去探究的必要,也不会变成个别思维品质优秀的学生的专利,失去探究的乐趣。实际上,只要我们有心发现和积累,在趣味数学的海洋中还是可以找到不少与我们教材内容相关的问题,稍做加工后,就可以使之成为很好的课堂探究问题。笔者在教学实践中就做过许多尝试,如:讲勾股定理的证明时,引入毕达哥拉斯定理(即勾股定理)的多种证明方法问题;讲勾股定理和直角三角形三角函数时,引入地毯拼接魔术解密(见笔者参与编写的5中学探究性教学案例6);将多边形的内角和与外角和时,引入镶嵌问题;讲不等式性质和应用时,引入天平称物问题;讲相似三角形时,引入雪花曲线(分形)问题;讲图形的几何变换时,引入桌布的切、拼问题;讲极限时,引入著名的诡辩论/阿溪里追龟0问题;讲机会和概时,引入街边赌博转盘揭密;讲对称图形时,引入必胜策略问题)在长方形桌上第1期林祥华:趣味数学问题和课堂探究性学习摆放硬币的必胜策略(即两人依次在长方形桌上摆放硬币,先无处可放的人输,探究该游戏的必胜策略),这些问题的课堂探究不仅促进了数学课堂教学,提高了教学效率,而且也让学生受益匪浅。此外,问题要有一定的引深空间,使水平较高的学生可以在课余继续探究。 三、教师在课堂趣味数学问题探究中的指导基于趣味数学问题不同于一般数学问题的特征,在课堂探究学习过程中,教师进行的指导也应遵循不同的策略和原则。 (一)教育者应当首先改变自己的观念,让真正意义的探究性学习走进课堂对多数数学教师而言,由于课堂上要讲授的内容较多,常常为了赶进度、赶时间,只好尽量缩短学生自主思考的时间。至于空出一些时间让学生自主探究,有时候甚至是一种奢侈。这也是长期以来,有些学生不喜欢上数学课的原因之一,也是数学教师常常觉得/吃力不讨好0、感到苦恼的原因。长期的教学实践已经告诉我们每一位教育者,被动接受学习的后果是非常严重的:我们的教学效率大打折扣,师生都容易产生疲倦感,学生的自主学习能力受到影响,当然也影响他们今后的发展。所以,我们本着教育者的责任感,首先必须改变自己的观念,并努力将这种改变渗透到数学课堂中去。哪怕是从一周上一节真正意义上的探究课开始,哪怕从一个学期上一节真正意义上的趣味数学探究课开始,相信它会让我们(教师和学生)都对数学课堂有崭新的认识,并将吸引我们继续尝试和推广。 (二)灵活设置问题情境,使课堂流畅而富有趣味趣味问题的出现应该与课堂的教学有很好的切入点,不能突兀,否则就有/为探究而探究0的嫌疑,也会影响整堂课的流畅性,难免有些煞风景,使本来很有意思的趣味问题也变的索然无味。因此问题情景的创设是很重要的,如:在讲多边形内角和与外角和一课中,引入镶嵌问题时的情境创设就很有技巧:如果在课堂教学内容的讲授基本完成之后,让学生直接探究多边形能不能镶嵌的原因是什么,学生可能一时之间无从下手,把它当成一个很难的问题,无法产生兴趣;而如果课前一周布置学生观察家里或公共建筑中地板砖的铺设,并采集信息,在课堂上进行交流,然后提出问题:/是否看到过正五边形铺设的地砖,为什么?0由此引导学生探究与三角形和四边形相比,正五边形不能镶嵌的原因,从而进一步寻找多边形镶嵌的规律)随着问题情境逐步推进,学生始终会保持探究的欲望。 (三)运用激励机制,营造积极、主动的探究氛围探究性学习必须建立在学生的主动性的基础上。有的学生可能乍一听趣味问题很有兴趣,但当需要动脑寻找策略时,不免疏懒下来,或是凑在其他同学那儿人云亦云或是干脆作壁上观。这不仅对他们自身的数学学习不利,也会影响其他同学的探究热情。因此教师必须在学生的探究过程中,努力营造积极、主动的探究氛围,注意观察学生的反映,对学生的任何一点探究所得都要加以鼓励和肯定,哪怕发现了错误,也应在肯定之后委婉地加以指导,对没有信心或不愿动脑参与的学生不指责批评,而是耐心帮助,并采取一定的激励机制。如一些小小的奖品。笔者在任教的班级里有一个惯例,将在探究过程中表现积极的学生的名字写在黑板上作为嘉奖,效果不错。 (四)适时适当的点拨,分层加以指导虽然探究性学习的主体是学生,但学生毕竟受到知识和思维发展水平的限制,特别有的趣味数学问题看似简单,其实解决策略并不简单,如果没有教师的适时适当的指导,他们对问题的探究可能会出现困难甚至偏离问题解决的方向而止步不前,就无法取得探究的成功。因此教师作为教学活动的促进者,应该做到:在探究的不同阶段、不同层次上给学生不同的引导。如有的学生在探究过程中遇到很难突破的障碍,就需要教师促使学生更广泛更充分地交流各自的研究所得,以期产生思维碰撞得到新的启发或是加以适当的点拨使他们走出困境;对于数学探究能力和探究水平较高的学生可以引导他们将问题引深,鼓励他们通过探究更多的成果;引导学生对探究过程和探究所得进行总结。有了教师的指导,课堂探究才可能顺利流畅而不拖沓冗长。 (五)充分重视趣味数学问题探究的过程课堂探究由于受到课时长度的限制,有的可能还受到学生现有知识水平的限制,不一定都能在预定时间内完成,因此教师在引导学生进行探究性学习的过程中,应该正确对待过程与结果。课堂上对探究过程的调控应根据时间和授课内容进行,不一定都要求全面、深刻,而一味缩短学生的探究时间,使探究变成/走过场0。1.备课时应根据教学内容和教学目标确定探究问题、探究目标(特别是对该问题探究的深度和广度);2.课堂上关注学生探究过程的如何使用探究方法或解决问题的方法、如何进行合作交流等;3.引导学生充分享受探究过程,从探究中获得有用的信息、启发及获得某种科学精神和研究能力;4.探究性活动结束后应对探究过程进行分析和小结;5.将课堂上未完成的,对问题探究的遗留项目作为学生课后选做作业,并在适当时候加以指导和总结。一直以来,趣味数学拥有广大的读者,受到多层次人的青睐,可谓/老少皆宜0。优秀的趣味数学著作,往往流传长远、经久不衰,可见趣味数学的魅力。如果我们能精心的将一些适合学生水平的趣味数学问题引入课堂,进行有效探究,我相信,数学课堂在一些学生的心目中一定会一改以往的枯燥无味甚至是面目可憎,而将是充满活力和吸引力的课堂,而我们的数学教学也将因此而焕发新的色彩。