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微积分在处理物理问题中的应用

摘 要
物理是一门研究物质基本结构、相互作用和物质的最基本的运动规律的科学。在实际运用中，物理面对复杂的问题，解决起来有难度，通过运用微积分的方法解决物理问题是大学物理的核心思想。
微积分是研究函数微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分最重要的思想就是用微元法和无限逼近，将不断变化的事物，通过微元法，分割、近似、求和、取极限，在够小的一段微元内，把变量当作常量处理，问题就迎刃而解了。
本文从质点运动学、动量定理和能量守恒定律、恒定磁场、电磁感应和电磁场等章节，通过运用微积分解决物理问题以及运用微积分推导物理公式，进一步巩固微积分知识及更深层了解物理定理。

关键字：物理，微积分，解决物理问题

目 录
第1章 引言 1
1.1 选题背景 1
1.2 研究目标和意义 1
1.3 研究思路 1
第2章 质点运动学 2
2.1 微积分解决质点速度的问题 2
第3章 动量守恒和能量守恒定理 3
3.1 微积分解答有关动能定理的问题 3
第4章 静电场 4
4.1 静电场中的高斯定理 4
4.2 微积分解答有关库伦定理的物理体 5
第5章 恒定磁场 7
5.1 磁场中的高斯定理与安培环路定理 7
5.2 微元法解决磁场中的问题 8
第6章 电磁感应和电磁场 9
5.3 利用微积分方法证明电荷守恒定律 10
参考文献 11

第1章 引言
1.1 选题背景
物理是处理实际生活中的问题的应用科学，但是中学物理公式却不具备一般性，如W=F*S，此公式仅仅满足F与S处于同一方向的特殊情况时W的计算。大学物理中利用微积分将物理问题一般化，更能体现物理处理问题的一般性。分割、近似、求和、取极限，微元法在物理中的应用，使问题不再让人无从下手。
1.2 研究目标和意义
研究微积分在处理物理问题中的应用的目标是：通过用微积分解答物理问题，巩固微积分知识。
研究微积分在处理物理问题中的应用的意义是：更深层次的理解物理公式的推导。
1.3 研究思路
研究部分物理公式的推导及物理问题的解答

第2章 质点运动学
2.1 微积分解决质点速度的问题
例：A、B两个物体由一个为l的刚性细杆相连，A、B两物体可在光滑的轨道上滑行，如物体A以恒定速率V向左运动，当阿尔法为60度时，物体B的速度是多少？

B
α

A
解： VB=drb/dt=dy/dt *j
X2+y2=l2
2xdx/dt +2ydy/dt =0
dy/dt=x/y*dx/dt
VA= r(-i)=drA/dt=dx/dt *i
dx/dt=-v
dy/dt=v*tanα
该题的运动过程中，夹角与速度在不断地变化，要求某一点的速度的确有点难度。但运用微积分的思想，取够短的一段时间dt，在这段时间内，速度和夹角都是一定的，再利用初等数学知识就能直接进行计算了。
第3章 动量守恒和能量守恒定理
3.1 微积分解答有关动能定理的问题
例：一链条总长为l，质量为m，放在桌面上并使其下垂，下垂长度为a。设链条与桌面的滑动摩擦系数为μ，令链条从静止开始运动，则；
1) 到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？
2) 链条离开桌面是的速率是多少？
解：
1) 当链条离开桌面x~(x+dx)时，摩擦力为
F=μmg(l-x)/l
Wf==-
=-μmg(l-a)2/(2l)
2) 因为v0=0，所以Wp+Wf=1/2 mv2，从而
Mg(l2-a2)/(2l) –μmg(l-a2)/(2l) =1/2 mv2
则v=√(g/l) [(l2-a2)-μ(l-a2)]1/2

本题的第一问，摩擦力做功，因为整个过程是动态过程，各个物理量都在变化，用中学解题思想无从下手。同样使用微积分思想，取足够短的一段运动路程内dx，把这个过程中的各个物理量看作不变，再利用积分就出整个过程的摩擦力f做的功W。

第4章 静电场
4.1 静电场中的高斯定理

真空中的任何静电场中，穿过任意闭合曲面的电通量，在数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以1/ε0 。
高斯定理是根据库伦定律证明的电场强度对仍以封闭曲面的通量正比与该封闭曲面内电荷的代数和得出。
下面以点电荷为例讨论高斯定理：
1) 电荷位于球心

2) 取任意闭合曲面时：

3) Q在曲面外：

4) 当存在多个电荷时，n个在球面内，m个在球面外:

结论： E是所有电荷产生的，Fe 只与内部电荷有关。
由此可见高斯定理，其实就是微积分中的第二类曲面积分的应用。
4.2 微积分解答有关库伦定理的物理体

例：如图所示，有一无限长均匀带电直线，其电荷密度为+λ1，另外，在垂直于它的方向放置一根长为L的均匀带电线AB，其线电荷密度为+λ2，试求他们之间的相互作用力。
+λ1
a L

A +λ2 B

解：由电场强度定义求解。电场直线L处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线L视作许多电荷元dq2的集合，则电场对每个电荷元的作用力为dF=Edq2,各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线L所受的电场力。如图所示，在距无限长带电直线x处任取一电荷元dq2=λ2dx，由无限长带电直线的场强公式可知，dq2处的场强为：

Y
dy

r
y λ1
θ
O A λ2 B
a X
x dx

a+L
方向沿x轴正向。于是有

由于各电荷元所受力的方向均沿x轴正向，所以

第5章 恒定磁场
5.1 磁场中的高斯定理与安培环路定理
由于磁场中的高斯定理的证明与电场中的一样，此处不再证明。仅仅讨论安培环路定理。
安培环路定理：

1) 无限长载流直导线：

2) 若环路方向相反：

3) 若环路不包围电流的情况：

对一对线元来说：

4) 推广到一般情况：

安培环路定理：恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分等于路径 L 包围的电流强度的代数和的ε0倍。

5.2 微元法解决磁场中的问题
例：一个半径为R的薄圆盘，表面均匀带电，总电量为q，设圆盘以角速度ω绕通过圆心且垂直盘面的轴旋转，求
1) 圆盘中心O处的B；
2) 圆盘的磁矩。
解：
1) 在圆盘上任取一个半径为r，宽为dr的细环，它所带的点亮为dq=σ2πrdr。
当环转动，相当于一个圆电流

此圆环在中心O出产生的磁场

所以总磁感应强度

2) 上述细圆环的磁矩为

圆盘的总磁矩为

第6章 电磁感应和电磁场
5.3 利用微积分方法证明电荷守恒定律
例：试证明麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。
证明：由麦克斯韦方程 （I为传导电流），设想闭合曲线缩小为一点，相应地
以L为边界的曲面S将变成一个闭合面，在这种情况下有

，即
因此传导电流

而

带入上式得

结果表明，如果一个地方没有电荷量的减少，就不可能从那里流出电荷来。这就是电荷守恒定律的数学表达式，因此麦克斯韦方程中蕴含了电荷守恒定律。

参考文献
[1]新东方，物理学同步辅导（第四版），新华出版社。