高中数学试卷(试题+分析+答案).doc

高中试卷

一．选择题（共1小题）
1．已知在△ABC中，向量与满足（+）•=0，且•=，则△ABC为（　　）

A．
三边均不相等的三角形
B．
直角三角形

C．
等腰非等边三角形
D．
等边三角形

二．填空题（共4小题）
2．如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比VADEFGH：VBCEFGH=　_________　．

3．已知非零向量，，||=2||，若关于x的方程x2+||x+•=0有实根，则与的夹角的最小值为　_________　．

4．（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为　_________　．（写出所有正确结论的编号）

5．求经过A（4，2），B（﹣1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为　_________　．

三．解答题（共18小题）
6．如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1﹣EBFD1的体积．

7．设x＞1，y＞1，且2logxy﹣2logyx+3=0，求T=x2﹣4y2的最小值．

8．已知函数f（x）=loga（a＞0，a≠1，b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性，并证明．

9．已知函数f（x）=loga（ax﹣1）（a＞0且a≠1）．求证：
（1）函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

10．已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

11．如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中点．现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE．

12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

13．（2009•汕头一模）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

14．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．

15．已知n条直线l1：x﹣y+C1=0，C1=，l2：x﹣y+C2=0，l3：x﹣y+C3=0，…，ln：x﹣y+Cn=0（其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n．
（1）求Cn；
（2）求x﹣y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积；
（3）求x﹣y+Cn﹣1=0与x﹣y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积．

16．（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．

17．已知直线l：y=k （x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

18．已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2
（1）若圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，求此切线的方程
（2）从圆外一点P（x0，y0）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取最小值时点P的坐标．

19．已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0．
（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

20．已知过点A（﹣1，0）的动直线l与圆C：x2+（y﹣3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）探索是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

21．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且∥．
（1）求锐角B的大小；
（2）设，且B为钝角，求ac的最大值．

22．（2013•韶关三模）在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=﹣1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求动点Q的轨迹的方程；
（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN必过定点R（3，0）．

23．已知圆M：（x+）2+y2=的圆心为M，圆N：（x﹣）2+y2=的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所求轨迹上是否存在一点Q，使得∠MQN为钝角？若存在，求出点Q横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

高中试卷

一．选择题（共1小题）
1．已知在△ABC中，向量与满足（+）•=0，且•=，则△ABC为（　　）

A．
三边均不相等的三角形
B．
直角三角形

C．
等腰非等边三角形
D．
等边三角形

考点：
三角形的形状判断．1384631
专题：
计算题．
分析：
设，由 =0，可得AD⊥BC，再根据边形AEDF是菱形推出∠EAD=∠DAC，
再由第二个条件可得∠BAC=60°，由△ABH≌△AHC，得到AB=AC，得到△ABC是等边三角形．
解答：
解：设，则原式化为 =0，即 =0，
∴AD⊥BC．∵四边形AEDF是菱形，
．
∵，
∴cos∠BAC=，∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=30°，∴△ABH≌△AHC，∴AB=AC．
∴△ABC是等边三角形．

点评：
本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三角形形状的判断，属于中档题．

二．填空题（共4小题）
2．如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比VADEFGH：VBCEFGH=　1：1　．

考点：
组合几何体的面积、体积问题；棱锥的结构特征．1384631
专题：
计算题；作图题．
分析：
在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分，每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和，适当划分，使得四棱锥和三棱锥体积分别相等，即可解得结果．
解答：
解：图1中连接DE、DF，
VADEFGH=VD﹣EFGH+VD﹣EFA：
图2中，连接BF、BG，
VBCEFGH=VB﹣EFGH+VG﹣CBFE，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，
所以VD﹣EFGH=VB﹣EFGHVD﹣EFA的底面面积是VG﹣CBF的一半，高是它的2倍，
所以二者体积相等．
所以VADEFGH：VBCEFGH=1：1
故答案为：1：1

点评：
本题考查棱锥的结构特征，几何体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

3．已知非零向量，，||=2||，若关于x的方程x2+||x+•=0有实根，则与的夹角的最小值为　　．

考点：
数量积表示两个向量的夹角．1384631
专题：
计算题．
分析：
由已知中非零向量，，||=2||，若关于x的方程x2+||x+•=0有实根，我们可以构造一个关于与的夹角θ的三角形不等式，解不等式可以确定cosθ的范围，进而得到与的夹角的最小值．
解答：
解：∵关于x的方程x2+||x+•=0有实根，
∴||2﹣4•≥0
即||2﹣4||•||cosθ=||2﹣2||2cosθ≥0
∴cosθ≤
故与的夹角的最小值为
故答案为：
点评：
本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，一元二次方程根的个数与系数的关系，其中根据已知条件，构造关于与的夹角θ的三角形不等式，是解答本题的关键．

4．（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为　①③④　．（写出所有正确结论的编号）

考点：
空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．1384631
专题：
压轴题．
分析：
由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．
解答：
解：
①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；
②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；
③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；
④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．
故答案为：①③④
点评：
本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．

5．求经过A（4，2），B（﹣1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为　x2+y2﹣2x﹣12=0　．

考点：
圆的一般方程．1384631
专题：
计算题．
分析：
用待定系数法，根据已知条件中给的均为已知点的坐标，设其方程为一般式，然后根据圆经过A（4，2），B（﹣1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2，构造方程（组），解方程（组）即可得到答案．
解答：
解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
令y=0得x2+Dx+F=0，
∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=﹣D，
令x=0得y2+Ey+F=0，
∴圆在y轴的截距之和为y1+y2=﹣E，
由题设x1+x2+y1+y2=﹣（D+E）=2，
∴D+E=﹣2①
又A（4，2），B（﹣1，3）在圆上，
∴16+4+4D+2E+F=0，②
1+9﹣D+3E+F=0，③
由①②③解得D=﹣2，E=0，F=﹣12．
故所求圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣12=0．
故答案为：x2+y2﹣2x﹣12=0
点评：
求圆的方程时，据条件选择合适的方程形式是关键．（1）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数．（2）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．

三．解答题（共18小题）
6．如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1﹣EBFD1的体积．

考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．1384631
专题：
计算题；转化思想．
分析：
法一：判断四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形，连接A1C1、EF、BD1，说明A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高，求出底面，高的大小，即可得到棱锥的体积．
法二：三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高，棱锥转化为2•••a，求解即可．
解答：
解：法一：∵EB=BF=FD1=D1E==a，
∴四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形．（2分）
连接A1C1、EF、BD1，则A1C1∥EF．
根据直线和平面平行的判定定理，A1C1平行于A1﹣EBFD1的底面，
从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高（4分）
设G、H分别是A1C1、EF的中点，连接D1G、GH，则FH⊥HG，FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理，有FH⊥平面HGD1，
又，四棱锥A1﹣EBFD1的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，
有A1﹣EBFD1的底面⊥平面HGD1．作GK⊥HD1于K，
根据两平面垂直的性质定理，有GK垂直于A1﹣EBFD1的底面．（6分）
∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1，∴∠HGD1=90°．
在Rt△HGD1内，GD1=a，HG=a，HD1==a．
∴a•GK=a•a，从而GK=a．（8分）
∴=•GK=••EF•BD1•GK
=•a•a•a=a3（10分）
解法二∵EB=BF=FD1=D1E==a，
∴四菱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形．（2分）
连接EF，则△EFB≌△EFD1．
∵三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高，
∴．
∴．（4分）
又，
∴，（6分）
∵CC1∥平面ABB1A1，
∴三棱锥F﹣EBA1的高就是CC1到
平面ABB1A1的距离，即棱长a．（8分）
又△EBA1边EA1上的高为a．
∴=2•••a=a3．（10分）

点评：
本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力．

7．设x＞1，y＞1，且2logxy﹣2logyx+3=0，求T=x2﹣4y2的最小值．

考点：
对数的运算性质；函数的最值及其几何意义．1384631
专题：
计算题．
分析：
应用换元法先解出logxy 的值，找出x和y的关系，从而求T=x2﹣4y2的最小值．
解答：
解：令t=logxy，∵x＞1，y＞1，∴t＞0．
由2logxy﹣2logyx+3=0得，∴2t2+3t﹣2=0，
∴（2t﹣1）（t+2）=0，∵t＞0，
∴，即，∴，
∴T=x2﹣4y2=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∵x＞1，
∴当x=2时，Tmin=﹣4．
点评：
本题考查还原的数学思想方法，及用配方法求二次函数最值．

8．已知函数f（x）=loga（a＞0，a≠1，b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性，并证明．

考点：
函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．1384631
专题：
计算题；证明题；函数的性质及应用．
分析：
（1）根据对数的真数大于0，解关于x的不等式即可得到f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义结合对数的运算性质，可证出f（﹣x）=﹣f（x），得f（x）为奇函数；
（3）设b＜x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差化简整理，可得：当a＞1时，f（x1）﹣f（x2）＞0；当0＜a＜1时，f（x1）﹣f（x2）＜0，由此结合函数单调性的定义即可得到函数在（b，+∞）上的单调性．同理可得函数在区间（﹣∞，﹣b）上的单调性，从而得到本题答案．
解答：
解：（1）因为，解之得x＜﹣b或x＞b，
∴函数的定义域为（﹣∞，﹣b）∪（b，+∞）．…（3分）
（2）由（1）得f（x）的定义域是关于原点对称的区间
f（﹣x）=loga=loga，
∵﹣f（x）=loga（）﹣1=loga，
∴f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．…（6分）
（3）证明：设b＜x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）=loga，
∵﹣1=＞0
∴当a＞1时，f（x1）﹣f（x2）＞0，可得f（x1）＞f（x2），f（x）在（b，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x1）＜f（x2），f（x）在（b，+∞）上为增函数．
同理可得：当a＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣b）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣b）上为增函数．
综上所述，当a＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣b）和（b，+∞）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣b）和（b，+∞）上为增函数．…（12分）
点评：
本题给出含有分式的对数形式的函数，求函数的定义域并求函数的单调性、奇偶性．着重考查了函数奇偶性的判断、函数的定义域及其求法和函数单调性的判断与证明等知识，属于基础题．

9．已知函数f（x）=loga（ax﹣1）（a＞0且a≠1）．求证：
（1）函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

考点：
对数函数图象与性质的综合应用．1384631
专题：
证明题．
分析：
（1）由ax﹣1＞0得：ax＞1，a＞1时，函数f（x）的图象在y轴的右侧；当0＜a＜1时，x＜0，函数f（x）的图象在y轴的左侧．所以函数f（x）的图象在y轴的一侧．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意两点，且x1＜x2，则直线AB的斜率，，再分a＞1和0＜a＜1两种情况分别进行讨论．
解答：
证明：（1）由ax﹣1＞0得：ax＞1，
∴当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），
此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．
∴函数f（x）的图象在y轴的一侧；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意两点，且x1＜x2，
则直线AB的斜率，
，
当a＞1时，由（1）知0＜x1＜x2，∴，
∴，
∴，∴y1﹣y2＜0，又x1﹣x2＜0，∴k＞0；
当0＜a＜1时，由（1）知x1＜x2＜0，∴，
∴，
∴，∴y1﹣y2＜0，又x1﹣x2＜0，∴k＞0．
∴函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．
点评：
本题考查对数函数的性质和综合应用，解题时注意分类讨论思想的合理应用．

10．已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

考点：
函数恒成立问题；函数最值的应用．1384631
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的
（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解
（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．
法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解
法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求
解答：
解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．
得
解得：（3分）
（2）由（1），
所以，
令x+1=t，t＜0，
则
=
因为x＜﹣1，所以t＜0，
所以，当，
所以，（8分）
即AP的最小值是，此时，
点P的坐标是．（9分）
（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，
也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，
即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，
①当x=1时，或m＞2，
②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，
对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，
令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，
∴，，结合0＜m＜1或m＞2，
∴m＞2
对于对x∈（1，2]恒成立，等价于
令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，
，t∈（0，1]递减，
∴，
∴m≤4，
∴0＜m＜1或2＜m≤4，
综上：2＜m≤4（16分）
法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，
也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x|x﹣m|
①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
依题意g（2）≤m，，舍去；
②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，
考虑到，再分两种情形：
（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，
依题意，即m≤4，
∴2＜m≤4；
（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
故g（2）≤m，
∴2（m﹣2）≤m，
∴m≤4，舍去．
综上可得，2＜m≤4（16分）
点评：
本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的 值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．

11．如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中点．现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE．

考点：
直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．1384631
专题：
证明题；综合题．
分析：
（Ⅰ）直接证明PA垂直平面ABCD 内的两条相交直线，可证PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）证明平面PDE经过平面PAE的一条垂线ED，即可中证明平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G，连接FG，证明平面FHG∥平面PED，即可证明FG∥平面PDE．
解答：
解：（Ⅰ）证：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD（4分）
（Ⅱ）证：因为BC=PB=2CD，A是PB的中点，所以ABCD是矩形，又E为BC边的中点，所以AE⊥ED．又由PA⊥平面ABCD，得PA⊥ED，且PA∩AE=A，所以ED⊥平面PAE，而ED⊂平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE（9分）
（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G，连接FG．
由FH∥ED，ED⊂平面PED，得FH∥平面PED；
由GH∥PD，PD⊂平面PED，得GH∥平面PED，
又FH∩GH=H，所以平面FHG∥平面PED（12分）
再分别取AD、PA的中点M、N，连接BM、MN，易知H是AM的中点，G是AN的中点，
从而当点G满足时，有FG∥平面PDE．（14分）
点评：
本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

考点：
平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．1384631
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（I）利用勾股定理的逆定理和面面的判定与性质定理、线面的判定定理即可证明；
（II）利用线面垂直的判定找出四棱锥的高，利用体积计算公式即可得出．
解答：
（Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AD=4，BD=，AB=8，AD2+BD2=AB2．
∴AD⊥BD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．
又∵△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO==h．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．
∴梯形ABCD的面积SABCD==12．
故=．

点评：
熟练掌握勾股定理的逆定理和面面的判定与性质定理、线面的判定定理、四棱锥体积计算公式是解题的关键．

13．（2009•汕头一模）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

考点：
平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．1384631
专题：
证明题．
分析：
（Ⅰ）由AB⊥平面BCD⇒AB⊥CD，又CD⊥BC⇒CD⊥平面ABC，再利用条件可得不论λ为何值，恒有EF∥CD⇒EF⊂平面BEF，就可得不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD⇒BE⊥平面ACD⇒BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．
解答：
证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（3分）
又∵，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分）
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴，（11分）
∴，
由AB2=AE•AC得，∴，（13分）
故当时，平面BEF⊥平面ACD．（14分）
点评：
本题考查了面面垂直的判定．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．

14．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．

考点：
两条直线的交点坐标．1384631
专题：
计算题．
分析：
根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．
解答：
解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
∴kAB==1．
又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，
∴kAC=﹣1．
∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．
而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴kBC=﹣2．
∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．
由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，
解得C（5，﹣6）．
∴点A和点C的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6）
点评：
本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解，这是上策．

15．已知n条直线l1：x﹣y+C1=0，C1=，l2：x﹣y+C2=0，l3：x﹣y+C3=0，…，ln：x﹣y+Cn=0（其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n．
（1）求Cn；
（2）求x﹣y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积；
（3）求x﹣y+Cn﹣1=0与x﹣y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积．

考点：
两条平行直线间的距离；数列的应用．1384631
专题：
计算题．
分析：
（1）易知直线在y轴上的截距是原点到直线的距离倍，所以先求原点到直线的距离即可；
（2）在x轴和y轴上的截距互为相反数，由三角形面积公式结合（1）求得；
（3）由（2）分别求得两条直线与x轴和y轴围成的面积作差求解．
解答：
解：（1）原点O到l1的距离为1，原点O到l2的距离为1+2，原点O到ln的距离dn为1+2++n=．
∵Cn=dn，
∴Cn=．
（2）设直线ln：x﹣y+Cn=0交x轴于M，交y轴于N，则△OMN面积
S△OMN=|OM|•|ON|=Cn2=．
（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知Sn=，则有Sn﹣1=．
∴Sn﹣Sn﹣1=﹣=n3．
∴所求面积为n3．
点评：
本题主要通过直线的斜率和截距，来考查直线围成平面图形问题的解法．

16．（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．

考点：
直线与圆的位置关系．1384631
专题：
压轴题．
分析：
圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，
截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．
解答：
解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
r2=a2+1．
从而得2b2﹣a2=1．
又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，
所以5d2=|a﹣2b|2
=a2+4b2﹣4ab
≥a2+4b2﹣2（a2+b2）
=2b2﹣a2=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．
由此有
解此方程组得或
由于r2=2b2知．
于是，所求圆的方程是
（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．
解法二：同解法一，得
∴
得①
将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
△=8（5d2﹣1）≥0，
得5d2≥1．
∴5d2有最小值1，从而d有最小值．
将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．
将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．
综上a=±1，b=±1，r2=2．
由|a﹣2b|=1知a，b同号．
于是，所求圆的方程是
（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．
点评：
本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，
P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．

17．已知直线l：y=k （x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

考点：
直线与圆的位置关系；二次函数的性质．1384631
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．
（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．
解答：
解：（Ⅰ）直线l方程，
原点O到l的距离为（3分）
弦长（5分）
•ABO面积•
∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0），•
∴（﹣1＜k＜1且K≠0） （8分），
（Ⅱ） 令 ，

∴．
∴当t=时，时，Smax=2（12分）
点评：
本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变．

18．已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2
（1）若圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，求此切线的方程
（2）从圆外一点P（x0，y0）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取最小值时点P的坐标．

考点：
直线与圆的位置关系．1384631
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
（1）当截距不为零时：设切线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径求出a的值，即得切线方程，
当截距等于零时：设切线方程为y=kx（k≠0），同理可得，从而得到圆的所有的切线方程．
（2）有切线的性质可得|PM|2=|PC|2﹣|CM|2，又|PM|=|PO|，可得2x0﹣4y0+3=0．动点P在直线2x﹣4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，过点O作直线2x﹣4y+3=0的垂线，垂足为P，垂足坐标即为所求．
解答：
解：（1）当截距不为零时：设切线方程为，即：x+y=a（a≠0），
圆C为：（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆心为C（﹣1，2），到切线距离等于圆的半径
所以．
当截距等于零时：设切线方程为y=kx（k≠0），同理可得．
所以所求切线方程为：x+y+1=0，或x+y﹣3=0，或或．
（2）∵PM⊥CM，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2，又|PM|=|PO|，
∴（x0+1）2+（y0﹣2）2﹣2=x02+y02，整理得：2x0﹣4y0+3=0．
即动点P在直线2x﹣4y+3=0上，所以，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
过点O作直线2x﹣4y+3=0的垂线，垂足为P，kOP=﹣2
解方程组，得 ，所以点P坐标为．
点评：
本题考查用点斜式、斜截式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，点到直线的距离公式，判断
P在直线2x﹣4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，时间诶体的关键．

19．已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0．
（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
（2）在直线OA上（O