一道高考试题的再研究及推广.doc

一道高考试题的再研究及推广
曹标平 丁全华 湖北襄阳五中 441057
（2011江苏）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意的，当时，都成立.
(1) 设，求的值；
(2) 设，求数列的通项公式.
本文就此题的第二问提供一种新的解法并获得一个形式较漂亮的推论，以供读者参考.
解：（2）……①
……②
②-①得：……③
，令，有
依次令得：……④， ……⑤
由④式知数列每隔3项成等差数列，
即成等差数列，设公差为，；
由⑤式知数列每隔4项成等差数列，
即成等差数列，设公差为，；

当时，成等差数列，记公差为，
又由④式知：，两式相减得：
，，当时，成等差数列.
令①中得，令①中得，
令③中得，而，
当时，
当时亦满足，.
推论：对某数列，，若每隔k项成等差数列，每隔m项也成等差数列，且m，k互质，则数列为等差数列.
证：不妨设k>m，
m，k互质，必存在，使
每隔k项成等差数列，每隔项亦成等差数列，设公差为，即
……① ……②
每隔m项成等差数列，每隔项亦成等差数列，设公差为，即
……③ ……④
②-④得：，而，
当时，为等差数列.
又由③式知：，
两式相减得：

，为等差数列.

作者简介：
丁全华 湖北襄阳五中现任高三数学组备课组长，数学奥赛教练
曹标平  湖北襄阳五中现任高三数学教师，数学奥赛教练
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