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第四章第四章 根轨迹法根轨迹法主要内容：主要内容：1）根轨迹的概念）根轨迹的概念 2）绘制根轨迹的基本条件）绘制根轨迹的基本条件 3）根轨迹的绘制规则）根轨迹的绘制规则(180度根轨迹度根轨迹)4)广义根轨迹广义根轨迹(0度、参变量根轨迹度、参变量根轨迹)14-1 根轨迹根轨迹4.1.1.4.1.1.根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解出闭环系统的特征根，系统的响应就迎刃而解。但是出闭环系统的特征根，系统的响应就迎刃而解。但是对于对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根更困难了。个可变参数时，求根更困难了。1948年，伊凡思年，伊凡思(W.R.Evans)提出了一种确定系提出了一种确定系统闭环特征根的图解法统闭环特征根的图解法根轨迹法。在已知开环零根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时确定闭环极点极点分布的基础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的图解方法。的一种简单的图解方法。要想了解根轨迹，先看一个具体的实例：要想了解根轨迹，先看一个具体的实例：2式中，式中，K为系统的开环比例系数。为系统的开环比例系数。Kg=2K 称为系统的称为系统的开环根轨迹增益。开环根轨迹增益。系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：已知系统的结构图，分析已知系统的结构图，分析0 K ，闭环特征根在，闭环特征根在s平面上的移动路径及其特征。平面上的移动路径及其特征。Ks(0.5s+1)+R(s)C(s)解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为3系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为：s2+2s+2K=0用解析法求得系统的两个闭环特征根为：用解析法求得系统的两个闭环特征根为：(1)K=0:s1=0,s2=2,是根迹的起点，用是根迹的起点，用“”表示。表示。2 j 0 1(2)0 K 0.5：K=0K=0K=0.5KK45二阶系统有两个特征根，它的轨迹有两条分支。因此：二阶系统有两个特征根，它的轨迹有两条分支。因此：（1）n阶系统有阶系统有n条分支条分支；（2）每条分支的起点）每条分支的起点(K=0)位于开环极点处；位于开环极点处；（3）各分支的终点）各分支的终点(K)或为开环零点处或为无限或为开环零点处或为无限远处点；远处点；（4）(1，j0)点有重根，称为分离点。点有重根，称为分离点。根轨迹的定义：根轨迹的定义：当系统开环传递函数中某一参数从当系统开环传递函数中某一参数从0连续变化连续变化时，闭环系统特征根在时，闭环系统特征根在s 平面上移动的轨迹，就称作系平面上移动的轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传递系数作为可变参数。统根轨迹。一般取开环传递系数作为可变参数。61.1.稳定性稳定性 当当K从从0 时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此，二阶系统对所有的右半平面，因此，二阶系统对所有的K值都是稳定的。值都是稳定的。4.1.2 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 2 j 0 1K=0K=0K=0.5KK7 如果高阶系统的根如果高阶系统的根轨迹有可能进入轨迹有可能进入s 右半右半平面，此时根迹与虚轴平面，此时根迹与虚轴交点处的交点处的K 值，就是临值，就是临界开环增益。界开环增益。2.2.稳态性能稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于1 型系型系统，因而根轨迹上的统，因而根轨迹上的K 值就是静态速度误差系数值就是静态速度误差系数Kv。如。如果给定系统果给定系统ess 的要求，则由根迹图可以确定闭环极点的要求，则由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。位置的容许范围。当当K Kg*时，系统稳定。时，系统稳定。0j Kg Kg Kg Kg*83.3.动态性能动态性能 由图可见，当由图可见，当0 K 0.5时，闭环极点为时，闭环极点为一对共轭复数极点，系统为一对共轭复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。为阻尼振荡过程。K p%，但是但是 ts不会显著变化。不会显著变化。94.1.3 4.1.3 根轨迹方程根轨迹方程 研究下图所示负反馈控制系统的一般结构。研究下图所示负反馈控制系统的一般结构。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)+H(s)该系统的特征方程为该系统的特征方程为:D(s)=1+G(s)H(s)=0或或 G(s)H(s)=1上式称之为系统的根轨迹方程。上式称之为系统的根轨迹方程。10系统的开环传递函数系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式写成如下形式式中，式中，Kg为系统的根迹增益，为系统的根迹增益，zi 为系统的开环零点，为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。此时称为常规（为系统的开环极点。此时称为常规（180 ）根轨迹，）根轨迹，根轨迹方程又可写为：根轨迹方程又可写为：11根轨迹的相角方程：根轨迹的相角方程：式中，式中，k=0，1，2，（全部整数）。（全部整数）。根据这两个条件，可完全确定根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根平面上根轨迹及根轨迹上对应的轨迹上对应的Kg值。值。相角条件相角条件相角条件相角条件是确定是确定s平面上根轨迹的平面上根轨迹的充要条件充要条件，这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相，这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使值时，才使用幅值条件。用幅值条件。根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅值方程：12 下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统的闭环根轨迹图。制系统的闭环根轨迹图。已知开环零极点分布如图示。已知开环零极点分布如图示。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2 3 在在s平面找一点平面找一点s1，画出各开环零、极点到画出各开环零、极点到s1点的向量。点的向量。检验检验s1是否满足相角条件：是否满足相角条件：(s1 z1)(s1 p1)+(s1 p2)+(s1 p3)=1 1 2 3=(2k+1)？如果如果s1点满足相角条件，则是根轨迹上的一点。点满足相角条件，则是根轨迹上的一点。寻找寻找13在在s 平面内满足相角条件的所有平面内满足相角条件的所有s1 点，将这些点连成光点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹。滑曲线，即是闭环系统根轨迹。在在19481948年，伊凡思提出了用图解法绘制根迹的一些年，伊凡思提出了用图解法绘制根迹的一些基本法则，可以迅速绘制闭环系统的概略根迹，在概略基本法则，可以迅速绘制闭环系统的概略根迹，在概略根迹的基础上，必要时可用相角条件使其精确化，从而根迹的基础上，必要时可用相角条件使其精确化，从而使整个根迹的绘制过程大为简化。使整个根迹的绘制过程大为简化。-131 1例：已知负反馈系统的开环零极点分布如例：已知负反馈系统的开环零极点分布如图所示：图所示：1 1、判断、判断 是否是根轨迹上的点是否是根轨迹上的点？2 2、求使闭环极点为、求使闭环极点为-2-2的的KgKg的值，并求另的值，并求另一闭环极一闭环极 点？点？144-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.2.1 4.2.1 绘制绘制180180根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则 法则法则法则法则1 1 根轨迹的起点根轨迹的起点根轨迹的起点根轨迹的起点(K Kg g=0)=0)和终点和终点和终点和终点(K Kg g)：根轨：根轨迹起始于开环极点，迹起始于开环极点，终止于开环零点。终止于开环零点。证明：证明：1+G(s)H(s)=015 当当 Kg=0 时，有时，有 s=pj (j=1,2,n)上式说明上式说明Kg=0时，闭环特征方程的根就是开环极点。时，闭环特征方程的根就是开环极点。将特征方程改写为：将特征方程改写为：当当 Kg 时，有时，有 s=zi (i=1,2,m)所以根轨迹必终于开环零点。所以根轨迹必终于开环零点。在实际系统中，开环传函中在实际系统中，开环传函中 m n，有，有m 条根轨迹终条根轨迹终点为开环零点处，有点为开环零点处，有n m条根轨迹的终点将在无穷远处。条根轨迹的终点将在无穷远处。16 如果把有限数值的零点称为有限零点，而把无穷远如果把有限数值的零点称为有限零点，而把无穷远处的零点称为无限零点，那么根轨迹必终于开环零点。处的零点称为无限零点，那么根轨迹必终于开环零点。证毕证毕证毕证毕 法则法则法则法则2 2 根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性：系统根轨迹的分：系统根轨迹的分支数与开环有限零点数支数与开环有限零点数 m 和有限极点数和有限极点数 n 中的大者相等，中的大者相等，根轨迹是连续的并且对称于实轴。根轨迹是连续的并且对称于实轴。证明：证明：1+G(s)H(s)=017特征方程式的阶数特征方程式的阶数=maxn，m 特征根的个数特征根的个数=方程的阶数方程的阶数 =根轨迹的分支数根轨迹的分支数=maxn，m 由于闭环特征方程中的某些系数是根迹增益的函由于闭环特征方程中的某些系数是根迹增益的函数，所以当数，所以当Kg 从从0 连续变化时，特征方程的某些系连续变化时，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征方程根的变化也必然数也随之而连续变化，因而特征方程根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。是连续的，故根轨迹具有连续性。因为闭环传函为有理分式，所以闭环特征方程的因为闭环传函为有理分式，所以闭环特征方程的根只有实根和复根两种，实根本身位于实轴上，复根根只有实根和复根两种，实根本身位于实轴上，复根必成对共轭出现，而根轨迹是根的集合，所以必然对必成对共轭出现，而根轨迹是根的集合，所以必然对称于实轴。称于实轴。证毕证毕证毕证毕 18 j 0K=0K=0KK 0j 0j Kg Kg Kg 19 0 j 0 j-1-2 j120 法则法则法则法则3 3 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线：当开环传函中：当开环传函中m 0 91 4K 0 K 00 K 22.75当当 K=22.75时，时，系统临界稳定。系统临界稳定。(70 2K)/7s2+K=0 s=j2.55与虚轴交点：与虚轴交点：与虚轴交点：与虚轴交点：s4+7s3+10s2+2Ks+K=0 劳斯表劳斯表54 0 j-1-5-2j2.55 K=22.755556 0 j-1-5-2j2.55 K=22.75 0 j -1-4-2 j1 当当H(s)=1+2s时（微分负反馈）时（微分负反馈）或系统串联或系统串联PD调节调节器器，使系统由结构不稳定变为条件稳定的系统，改善了，使系统由结构不稳定变为条件稳定的系统，改善了系统的稳定性。系统的稳定性。57解：解：s2+4s+a=(s+2)2+a 4 一对共轭复数根一对共轭复数根渐近线：渐近线：渐近线：渐近线：a=45,135 例例4-94-9 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。分离点：分离点：分离点：分离点：582(d+2)2d2+4d+a=0 d1=2讨论讨论：1）4 a 8 一个实数分离点，一对共轭复数一个实数分离点，一对共轭复数分离点。分离点。59 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 s4+8s3+(16+a)s2+4as +K=0 劳斯表劳斯表s4 1 16+a Ks3 8 4as2 16+0.5a Ks1 (2a2+64a 8K)/(16+0.5a)s0 K令令s1的系数为零的系数为零60 0 j -1-4-2 j1a 8s2+4s+a=(s+2)2+a 4d1=261 0 j -1-4-2 j1a=8s2+4s+a=(s+2)2+a 4d1=262 0 j -1-4-2 j14 a 8 s2+4s+a=(s+2)2+a 4d1=263a=564a=865a=2066a=2674.3.1 04.3.1 0 根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则此时的根轨迹称为此时的根轨迹称为0 根轨迹。根轨迹。此时研究正反馈系统，系统的特征方程式为此时研究正反馈系统，系统的特征方程式为 D(s)=1 G(s)H(s)=0或或4-3 广义广义根轨迹根轨迹68根轨迹的相角方程：根轨迹的相角方程：根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅值方程：法则法则法则法则1 1 根轨迹的起点根轨迹的起点根轨迹的起点根轨迹的起点(K Kg g=0)=0)和终点和终点和终点和终点(K Kg g)：根轨：根轨迹起始于开环极点，迹起始于开环极点，终止于开环零点。终止于开环零点。法则法则法则法则2 2 根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性：系统根轨迹的分：系统根轨迹的分支数与开环有限零点数支数与开环有限零点数 m 和有限极点数和有限极点数 n 中的大者相等，中的大者相等，根轨迹是连续的并且对称于实轴。根轨迹是连续的并且对称于实轴。69 *法则法则法则法则3 3 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线：当开环传函中：当开环传函中m n 时，有时，有n m 条根轨迹分支沿着与实轴交角为条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a，交点为，交点为 a 的一的一组渐近线趋于无穷远处，且有：组渐近线趋于无穷远处，且有：(k=0,1,n m 1)*法则法则法则法则4 4 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为右边开环实数零、极点个数之和为偶数偶数偶数偶数，则该区域必是根，则该区域必是根轨迹。轨迹。70 *法则法则法则法则6 6 根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角与入射角：法则法则法则法则5 5 根轨迹分离点或会合点根轨迹分离点或会合点根轨迹分离点或会合点根轨迹分离点或会合点：71 法则法则法则法则7 7 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点：若根轨迹与虚轴相交，：若根轨迹与虚轴相交，则交点上的坐标可按下述两种方法求出：则交点上的坐标可按下述两种方法求出：方法一：在系统的闭环特征方程方法一：在系统的闭环特征方程D(s)=0中，令中，令s=j，D(j)=0的解即是交点坐标。的解即是交点坐标。方法二：由劳斯稳定判据求出。方法二：由劳斯稳定判据求出。法则法则法则法则8 8 闭环极点的和闭环极点的和闭环极点的和闭环极点的和：若开环传函分母阶次：若开环传函分母阶次n比分子比分子阶次阶次m高高2次或次或2次以上，即次以上，即n m 2，则系统闭环极点之，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和。和等于其开环极点之和。1）根的分量之和是一个与）根的分量之和是一个与Kg 无关的常数；无关的常数；2）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。72 例例 4-10 设单位正反馈系统的开环传递函数为设单位正反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的概略根轨迹。试绘制系统的概略根轨迹。解解:单位正反馈系统的闭环特征方程为单位正反馈系统的闭环特征方程为系统根轨迹需按系统根轨迹需按0根轨迹的绘制法则绘制。根轨迹的绘制法则绘制。即系统的根轨迹方程为即系统的根轨迹方程为73实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：4，2 1，分离点：分离点：分离点：分离点：在在(4，2)和和(1，)存在分离点。存在分离点。根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程系统的闭环特征方程 s 2+(6 Kg)s+8 Kg=0令令s=j，得，得(j )2+(6 Kg)(j )+8 Kg=0分别令实部和虚部为零，得分别令实部和虚部为零，得 2+8 Kg=06 Kg=0 =1.414，Kg=6 74 0 j -1-4-2 j1 1 2.730.73当当Kg 6时，正反馈闭环系统是稳定的。时，正反馈闭环系统是稳定的。如果此系统为负反馈系统，则系统总是稳定的。如果此系统为负反馈系统，则系统总是稳定的。754.3.2 4.3.2 参变量系统的根轨迹参变量系统的根轨迹 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=GH(s,A)A为系统的参变量。则系统的闭环特征方程可表示为为系统的参变量。则系统的闭环特征方程可表示为D(s)=1 G(s)H(s)=1 GH(s,A)=0可整理为可整理为式中，式中，GH(s)为系统等效的开环传递函数。此时根轨为系统等效的开环传递函数。此时根轨迹可以化为常规根轨迹或迹可以化为常规根轨迹或0 根轨迹。根轨迹。76 例例4-114-11 已知某负反馈系统的开环传递函数为已知某负反馈系统的开环传递函数为 试绘制参数试绘制参数a从零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。从零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。解解:系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为s3 +s2+0.25s+0.25a=0两边同除以两边同除以s3 +s2+0.25s因式，得到如下因式，得到如下 系统等效的开环传递函数为系统等效的开环传递函数为把把a视为根迹增益，可绘制出视为根迹增益，可绘制出a 变化时系统的常规根轨迹。变化时系统的常规根轨迹。77 0 j 0.5 1渐近线：渐近线：a=1/3 a=/3，5/3，。根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点:a=1 s=j/2a j0.5 a=1分离点：分离点：d1=1/6,d2=1/2。a78 例例4-124-12 已知某负反馈系统的开环传递函数为已知某负反馈系统的开环传递函数为其中开环根迹增益其中开环根迹增益K可自行选定。试分析时间常数可自行选定。试分析时间常数T对对系统性能的影响。系统性能的影响。解解:系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 s(s+1)(s+2)+K(1+T s)=0或改写为或改写为s(s+1)(s+2)+K+KT s=0系统等效开环传递函数为系统等效开环传递函数为等效开环极点为等效开环极点为s(s+1)(s+2)+K=0的根，也就是的根，也就是当当T=0，以，以K为可变参数的闭环极点。为可变参数的闭环极点。79 0 j K=6(j1.414)K=20(0.425+j2.235)K=3(-0.165+j1.047)K=20-3.85-3 K=6K=3-2.67280 0 j K=6(T=0)K=20(T=0)K=3(T=0)K=20-3.85K=6K=3-2.672-3渐近线：渐近线：有有2条渐近线条渐近线 a=1.5 a=/2，3 /2。不论不论K为何值，根轨迹的为何值，根轨迹的渐近线都是一样的。渐近线都是一样的。81学习指导与小结 1.基本要求基本要求 通过本章学习，应当做到：通过本章学习，应当做到：（1）掌握开环根轨迹增益）掌握开环根轨迹增益Kg变化时系统闭环变化时系统闭环 根轨迹根轨迹的绘制方法。理解和熟记根轨迹的绘制法则。会利用幅的绘制方法。理解和熟记根轨迹的绘制法则。会利用幅值方程求特定的值方程求特定的K值。值。（2）了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定）了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系及系统根轨迹分析的基本思路。性关系及系统根轨迹分析的基本思路。（3）掌握）掌握0根轨迹、参变量根轨迹绘制的基本思路根轨迹、参变量根轨迹绘制的基本思路和方法。和方法。2.内容提要内容提要 本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统分析中的应用。迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统分析中的应用。82系统根轨迹的幅值方程为系统根轨迹的幅值方程为系统根轨迹的幅角方程为系统根轨迹的幅角方程为 1）根轨迹的基本概念）根轨迹的基本概念 根轨迹是当系统中某参数由根轨迹是当系统中某参数由0变化时，系统的闭环变化时，系统的闭环极点在极点在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。2 2）常规根轨迹方程）常规根轨迹方程 负反馈系统根轨迹方程的一般形式为负反馈系统根轨迹方程的一般形式为83 3）绘制系统轨迹的基本法则）绘制系统轨迹的基本法则 根据系统的根轨迹方程式，按照绘制系统根轨迹根据系统的根轨迹方程式，按照绘制系统根轨迹的基本法则，即可由系统开环零极点的分布直接绘制的基本法则，即可由系统开环零极点的分布直接绘制出闭环系统的概略根轨迹。出闭环系统的概略根轨迹。4）控制系统的根轨迹分析）控制系统的根轨迹分析 控制系统的根轨迹分析即应用闭环系统的根轨迹控制系统的根轨迹分析即应用闭环系统的根轨迹图，分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态图，分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能。性能。5）附加开环零极点对根轨迹的影响）附加开环零极点对根轨迹的影响 根轨迹是根据开环零极点的分布绘制的，系统开根轨迹是根据开环零极点的分布绘制的，系统开环零极点的分布影响着根轨迹的形状。通过附加零极环零极点的分布影响着根轨迹的形状。通过附加零极点，可以改造系统根轨迹的形状，使系统具有满意的点，可以改造系统根轨迹的形状，使系统具有满意的性能指标。性能指标。84