函数与导数及其应用.doc

第二章　函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示

1．函数映射的概念

函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．
3．误把分段函数理解为几种函数组成．
[试一试]
1．(2013·苏锡常镇一调)已知常数t是负实数，则函数f(x)＝的定义域是________．
解析：因为f(x)＝＝，则(－x＋3t)(x＋4t)≥0.又t<0，所以x∈[3t，－4t]．
答案：[3t，－4t]
2．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝则f(f(0))＝________.
解析：因为f(0)＝30＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝log21＝0.
答案：0

求函数解析式的四种常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．
[练一练]
1．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于________．
解析：f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
答案：2x＋7
2．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________.
解析：由题意得解得
∴f(x)＝x2－4x＋3.
答案：x2－4x＋3

考点一
函数与映射的概念
1.下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填写序号)
①y＝x－1与y＝　 ②y＝与y＝
③y＝4lg x与y＝2lg x2 ④y＝lg x－2与y＝lg
答案：④
[类题通法]
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．
考点二
函数的定义域问题

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：
(1)求给定函数解析式的定义域；
(2)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；
(3)已知定义域确定参数问题.

角度一　求给定函数解析式的定义域
1．(1)(2013·山东高考改编)函数f(x)＝ ＋ 的定义域为________．
(2)(2013·安徽高考)函数y＝ln＋的定义域为________．
解析：(1)由题意，自变量x应满足
解得，∴－3<x≤0.
(2)要使函数有意义，需即即解得0<x≤1，所以定义域为(0,1]．
答案：(1)(－3,0]　(2)(0,1]
角度二　已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
2．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．
解：∵函数f(x)的定义域是[－1,1]，∴－1≤log2x≤1，
∴≤x≤2.故f(log2x)的定义域为.
角度三　已知定义域确定参数问题
3．(2014·合肥模拟)若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
[类题通法]
简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
考点三
求函数的解析式
[典例]　(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
(4)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
[解]　(1)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，
又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
(4)当x∈(－1,1)时，有
2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)． ①
以－x代x，得
2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)． ②
由①②消去f(－x)，得
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．

[针对训练]
1．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：法一：设t＝＋1，
则x＝(t－1)2(t≥1)；
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
考点四
分段函数
[典例]　(2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[解析]　当a>0时，1－a<1,1＋a>1.
这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.
不合题意，舍去．
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
[答案]　－
[类题通法]
分段函数“两种”题型的求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
[针对训练]
设函数f(x)＝若f(x)>4，则x的取值范围是______．
解析：当x<1时，由f(x)>4，得2－x>4，即x<－2；
当x≥1时，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<－2，
由于x≥1，所以x>2.
综上可得x<－2或x>2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[课堂练通考点]
1．(2013·南京一模)函数y＝的定义域是________．
解析：由2x－x2≥0得0≤x≤2，故函数的定义域为[0,2]
答案：[0,2]
2．(2013·苏北四市二调)若函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的值域是________．
解析：当x<0时，f(x)＝2x∈(0,1)，故y＝f(f(x))＝－2－f(x)∈；当x>0时，f(x)＝－2－x∈(－1,0)，故y＝f(f(x))＝2f(x)∈，从而原函数的值域为∪.
答案：∪
3．函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定义域为________．
解析：由题意知，⇒⇒x∈(－∞，－1)∪(－1,0)．
答案：(－∞，－1)∪(－1,0)
4．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
解析：由f(1)＝f(2)＝0，
得所以
故f(x)＝x2－3x＋2.
所以f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.
答案：6
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1． (2014·南昌模拟测试)函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由题意得解得x>－且x≠1.
答案：{x|x>－且x≠1}
2．(2014·温州高三第一次适应性测试)设函数f(x)＝，那么f(2 013)＝________.
解析：根据题意，当x≥5时，f(x)＝f(x－5)，
∴f(2 013)＝f(3)，而当0≤x<5时，f(x)＝x3，
∴f(3)＝33＝27.
答案：27
3．设函数f(x)满足f(x)＝1＋flog2x，则f(2)＝________.
解析：由已知得f＝1－f·log22，则f＝，则f(x)＝1＋·log2x，故f(2)＝1＋·log22＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.
答案：(－1,3)
5．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.
解析：若a≥0，则＋1＝2，解得a＝1；若a<0，则＋1＝2，解得a＝－1.故a＝±1.
答案：±1
6．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.则f(x)＝________.
解析：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x.
∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
答案：x2－x＋1
7.若函数f(x)＝，则
(1)＝________. (2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋f＋f＋…＋f＝________.
解析：(1)∵f(x)＋f＝＋＝0，
∴＝－1(x≠±1)，∴＝－1.
(2)又f(3)＋f＝0，f(4)＋f＝0，…f(2 012)＋f＝0，∴f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋f＋…＋f＝0. 答案：(1)－1　(2)0
第二节 函数的单调性与最值

1．增函数、减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：
(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；
(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0) M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0) M
结论
M为最大值
M为最小值

1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
[试一试]
1．(2013·苏锡常镇二调)函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域为________．
解析：因为y＝2x，y＝log2x在定义域内均为增函数，所以y＝2x＋log2x在[1,2]上单调递增，故f(x)∈[2,5]．
答案：[2,5]
2．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为______；f(x)max＝________.
解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.
答案：[1,4]　8

1．判断函数单调性的四种方法
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；
(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；
(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．
2．求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．

考点一
求函数的单调区间
1.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1>0，即x>－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x>－时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.
答案：
2．函数y＝x－|1－x|的单调增区间为________．
解析：y＝x－|1－x|＝
作出该函数的图像如图所示．

由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
3．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为________．
解析：由f(x)>，得－1<x<1.
由f(x)≤，得x≤－1或x≥1.
所以f(x)＝
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)

考点二
函数单调性的判断
[类题通法]
1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底．
2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．
[针对训练]
考点三
函数单调性的应用

角度一　求函数的值域或最值
1．函数f(x)＝在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．
答案：　
2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则f(x1)________f(x2)(填“>”或“<”)
解析：∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，
当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.
答案：<
角度三　解函数不等式
3．已知函数f(x)＝则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为________．
解析：作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4，所以不等式的解集为(－1,4)．
答案：(－1,4)
角度四　求参数的取值范围或值
4．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为____________．
解析：函数f(x)是R上的减函数，
于是有由此解得a≤，
即实数a的取值范围是 .
答案：
[类题通法]
1．含“f”不等式的解法
首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．
2．比较函数值大小的思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图像法求解．

[课堂练通考点]
1．(2013·无锡期末)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：令m＝ax－1，则函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增等价于m＝ax－1在(1,2)上单调递增，且ax－1>0在(1,2)上恒成立，所以即a≥1.
答案：[1，＋∞)
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是________．
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝
结合图像可知函数的单调减区间是[1,2]．
答案：[1,2]
3．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
解析：由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案：3
4．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝＝＝＋a.
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，
∴f(x1)－f(x2)<0.
∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，
∴1－2a<0，a>，即实数a的取值范围是.
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·苏北四市三调)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
解析：当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx，从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.
答案：0
2．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝________.
解析：依题意，知函数图像的对称轴为x＝－＝＝－2，即 m＝－16，从而f(x)＝4x2＋16x＋5，f(1)＝4＋16＋5＝25.
答案：25
3.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于________．
解析：由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
答案：6
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，∴a≤1.
又∵函数g(x)＝在区间[1,2]上也是减函数，
∴a>0.∴a的取值范围是(0,1]．
答案：(0,1]
5．
6．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝__________.
解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在上单调递增，
所以即解得a＝.
答案：
7．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析：g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
8．使函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
解析：由y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．
又函数y＝＝＝2＋，
使其在(3，＋∞)上是增函数，
故4＋k<0，得k<－4.
答案：(－∞，－4)
10、若函数f(x)＝|logax|(0<a<1)在区间(a,3a－1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：由于f(x)＝|logax|(0<a<1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a<3a－1≤1，解得<a≤.
答案：

第三节 函数的奇偶性及周期性

1．函数的奇偶性
奇偶性
定　义
图像特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，f(－x0)＝f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．
[试一试]
1．(2013·南通三模)对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：
①若f(－2)＝f(2)，则f(x)为偶函数；
②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；
③若f(－2)＝f(2)，则f(x)一定不是奇函数．
其中正确命题的序号为________．
解析：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x，若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．从而命题①错误，命题②正确；对于常数函数，命题③错误．
答案：①
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：

1．判断函数奇偶性的两个方法
(1)定义法：

(2)图像法：

2．周期性常用的结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)
[练一练]
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 014)＝________.
解析：∵f(x)＝－f，
∴f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)．
∴f(x)是以3为周期的周期函数．
则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.
答案：2

考点一
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[类题通法]
判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇.
考点二
函数奇偶性的应用
[典例]　(1)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
(2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，
即f(－1)＋(－1)2＝－2，
得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
(2)∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，即－2<m<1.②
综合①②可知，－1≤m<1.

本例(2)中条件在区间[－2,0]上“递减”变为“递增”，试想m的范围改变吗？若改变，求m的取值范围.
解：改变．
∵f(x)为奇函数且在[－2,0]上递增，
∴f(x)在[－2,2]上递增．
∴m2－1>1－m.
即m>1或m<－2.
由例(2)①知1<m≤.
故m的取值范围为(1，]．
[类题通法]
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值：
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：
将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值：
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图像和判断单调性：
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．
[针对训练]
1．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．
解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
∴当a>0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，
当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2．(2013·苏北四市期中)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1对x∈[－1,1]恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得－2≤x＋a≤2对x∈[－1,1]恒成立，即－2－x≤a≤2－x对x∈[－1,1]恒成立．当x∈[－1,1]时，(－2－x)max＝－2－(－1)＝－1，(2－x)min＝2－1＝1，所以实数a的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
考点三
函数的周期性及其应用
[典例]　已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x＋3)＝－，且当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＝________.
[解析]　∵对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，
∴f(x＋6)＝f(x＋3＋3)
＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是以6为周期的周期函数，∵当－3≤x<－1时，
f(x)＝－(x＋2)2，
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，
f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×＝335.
而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋2－1＋0＝2，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝335＋2＝337.
[答案]　337
[]　　

[类题通法]
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

[课堂练通考点]
1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.
解析：∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f＝－f＝－f
＝－f＝－2××＝－.
答案：－
2．(2010·江苏高考)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.
答案：－1
3．设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
解析：观察可知，y＝x3cos x为奇函数，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.则f(－a)＝－a3·cos a＋1＝－10＋1＝－9.
答案：－9
4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，
∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.
法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|得a＝0.
答案：0
5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．
解：由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，因此f(1－m)<f(m)等价于
解得：<m≤2.
因此实数m的取值范围是.
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]的最小正周期是________．
解析：如图，当x∈[0,1)时，画出函数图像，

再左右扩展知f(x)为周期函数．
答案：1
2．(2013·湖南高考改编)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
解析：由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.
答案：3
3．(2014·长春三校调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
答案：
4． (2014·南京摸底)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x，则f(－4)的值是________．
解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－4＝－2.
答案：－2
5．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于____