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初一数学提高训练
1．下列长度的3条线段，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，6，12 D．5，6，12
2．有两根13cm，15cm的木棒，要想以这两根木棒做一个三角形，可以选用第三根木棒的长为（ ）
A．2cm B．11cm C．28cm D．30cm
3．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．一个正方形和两个等边三角形的位置如下左图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°

5．如上中图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
6．下列说法正确个数有（ ）个
（1）有两边和第三边上的高对应相等两个三角形全等；
（2）三角形中到三个顶点距离相等的点是三条角平分线的交点；
（3）如果一个三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40度，则这个等腰三角形的顶角是50°．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如上右图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=l，则AC的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
8．如下左图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q ，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如上中图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）
A．cm2 B．8cm2 C．cm2 D．16cm2
10．如上右图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则ON=（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
11．某正n边形的一个内角为108°，则n= ．
12．如下左图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到 一个四边形，则么∠1+∠2的度数为 ．
13．如下中图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DB C=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．

14．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是 ．
15．如上右图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=2，BC=9，则△BDC的面积是 ．
16．如下左图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中正确的是 ．
17．已知点M（x，y）与点N（－2，－3）关于x轴对称，则x+y= .。
18．若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为 ．
19．如下中图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC ，则∠DCE的大小为 （度）．

20．如上右图， 为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：
①；② ；③；④ ；⑤；⑥．
一定成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）
21．一个多边形的内角和比它的外角和多，求这个多边形的边数.

22．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．

23．如图．等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状．并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

24．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．
求证：AD+BC=AB．

25．如图，OC平分∠AOB,点D，E分别在OA,OB上，点P在OC上且有PD=PE.求证：∠PDO =∠PEB.

26．已知：如图所示，在和中，，，，且点在同一条直线上，连接分别为的中点, 连接．
（1）求证：；（2）求证：是等腰三角形.

27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是△ABC的高，它们相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD
A
B
D
C
E
H

28．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

试卷第3页，总4页

参考答案
1．B
【解析】试题分析：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．A、1+2=3；C、6+6=12；D、5+6=11＜12．故选B．考点：三角形三边关系．
2．B
【解析】试题分析：因为两边长13cm，15cm，所以第三边x的长满足：15-13＜ x＜15+13，即2＜ x＜28，所以选项A、C、D错误，B正确，故选：B．考点：三角形的三边关系．
3．C．
【解析】试题分析：设多边形边数为n，则（n﹣2）•180°=360°，解得：n=7，则这个多边形的边数是7，故选C．考点：多边形内角与外角．
4．B
【解析】试题分析：根据三角形外角的性质可得：∠1+∠2+∠3=180°×2－90°－60°×2=150°，则∠1+∠2=100°．考点：三角形外角的性质．
5．C
【解析】试题分析：如图：过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．故选：C．
考点：角平分线的性质．
6．A．
【解析】试题分析：

如图1，，△ABC与△ABC′中，AB=AB，AC=AC′，高AD相同，，但是△ABC与△ABC′不全等，顾命题（1）错误；三角形中到三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点，顾命题（2）错误；如图2，三角形一边中线等于这边的一半可得CD=AD=BD=AB，所以∠A=∠1，∠2=∠B，又因∠A+∠1+∠2+∠B=180°，所以∠1+∠=90°，即△ABC是直角三角形，顾命题（3）正确；（4）分两种情况（如图3）：当顶角为锐角时，它的腰上的高在三角形的内部，此时顶角为50°，当顶角为钝角时，它的腰上的高在三角形的外部部，此时顶角为130°，所以命题（4）错误，顾答案选A．考点：全等三角形的判定；三角形三角平分线的性质；直角三角形的判定；分类讨论．
7．A．
【解析】试题分析：在Rt△ABC中，∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，∴CD=2BD=2，由勾股定理得：BC==，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=，∴AC=2BC=，故选A．考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．
8．D．
【解析】试题分析：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中，∵AB=DB，∠ABE=∠DBC，BE=BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，∵∠BAP=∠BDQ，AB=DB，∠ABP=∠ADBQ=60°，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；
∵∠DMA=60°，∴∠AMC=120°，∴∠AMC+∠PBQ=180°，∴P、B、Q、M四点共圆，∵BP=BQ，∴，∴∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC，∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个，故选D．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．
9．B．
【解析】试题分析：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°，∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=×4×4=8cm2．故选B．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．最值问题．
10．B．
【解析】试题分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，∵∠AOB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP=×12 =6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故选B．考点：1．含30度角的直角三角形；2．等腰三角形的性质．
11．5
【解析】试题分析：易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为360°，那么，边数n=360°÷一个外角的度数．∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°﹣108°=72°，∴n=360°÷72°=5考点：多边形内角与外角
12．240°．
【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2=360°﹣120°=240°．故答案为：240°．考点：1．多边形内角与外角；2．三角形内角和定理．
13．50°．
【解析】试题分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
试题解析：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质．
14．1＜c＜5．
【解析】试题分析：由题意得，，，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．
15．9．
【解析】 试题分析：过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
试题解析：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线， ∴DE=AD=2，∴△BDC的面积=BC•DE=×9×2=9．考点：角平分线的性质
16．①、②、④
【解析】试题分析：根据BE=CD，BE=CE，∠E=∠DFC=90°可得△BDE≌△CDF，则DE=DF，则①正确；根据①可得AD平分∠BAC，则②正确；根据角平分线可得∠EAD=∠FAD，∠D=∠AFD=90°，AD=AD可得△ADE≌△ADF，则AE=AF，则③错误；根据①可得BE=FC，则AB+AC=AB+AF+CF=AB+BE+AF=AE+AF=2AE，则④正确．
考点：角平分线的性质、三角形全等．
17．1.
【解析】试题分析：两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.本题根据题意可得：x=－2，y=3.考点：点关于x轴对称的性质.
18．50°或80°．
【解析】试题分析：已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论；（1）若等腰三角形一个底角为50°，顶角为180°-50°-50°=80°；（2）等腰三角形的顶角为50°．因此这个等腰三角形的顶角的度数为50°或80°．考点：三角形的内角和定理；分类讨论．
19．45°．
【解析】试题分析：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°-∠ACE=90°-x-y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°-y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°-y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
试题解析：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°-∠ACE=90°-x-y．
∵AE=AC， ∴∠ACE=∠AEC=x+y， ∵BD=BC， ∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°-x-y+x=90°-y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°， ∴x+（90°-y）+（x+y）=180°，
解得x=45°， ∴∠DCE=45°．考点：等腰三角形的性质．
20．①②⑤⑥
【解析】试题分析：由△ABC和△CDE都是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACD=∠BCE=120°，所以△ACD≌△BCE，AD=BE，①正确；由△ACD≌△BCE，得∠ADC=∠BEC，结合CD=CE，∠DCP=∠QCE=60°，可得△PCD≌△QCE，所以CP=CQ，⑤正确；CP=CQ，∠PCQ=60°，所以△PCQ是等边三角形，∠PQC=∠DCE=60°，所以PQ∥AE，②正确；结合△ACD≌△BCE和三角形的内角和定理，可得∠AOB=60°，故⑥正确，本题答案为①②⑤⑥．考点：等边三角形的性质和判定；全等三角形的判定和性质；三角形的内角和定理
21．7【解析】设这个多边形的边数为，依题意得： 解得：
答：这个多边形的边数为7.
22．∠DAC=20° ∠BOA=125°.
【解析】试题分析：根据AD⊥BC，则∠ADC=90°，根据△ADC的内角和可以求出∠DAC的度数，根据△ABC的内角和求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠ABO+∠BAO的度数，最后根据△ABO的内角和求出∠BOA的度数.
试题解析：∵AD是高 ∴∠ADC=90° ∵∠C=70°∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°
∵∠BAC=50°，∠C=70°，AE是角平分线 ∴∠BAO=25°，∠ABC=60° ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABO=30° ∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=125°考点：角平分线的性质、角度的计算.
23．（1）△ODE是等边三角形，（2）BD=DE=EC，
【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；
（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，易证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC．
试题解析：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°∴△ODE是等边三角形；
（2）BD=DE=EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°，∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，（7分）同理，EC=EO，∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．考点：等边三角形的判定与性质．
24．证明见解析.
【解析】试题分析：首先在AB上截取AF=AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB=∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC=BF，继而证得AD+BC=AB．
试题解析：证明：在AB上截取AF=AD，
∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，
∵，∴△DAE≌△FAE（SAS），∴∠AFE=∠ADE，
∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，
在△BEF和△BEC中，∵，∴△BEF≌△BEC（AAS），∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．考点：全等三角形的判定与性质．
25．证明见解析.
【解析】试题分析：过点P作AO、BO的垂线，利用直角三角形全等的判定可证出结论.试题解析：过P做PM垂直OA于M PN垂直OB于N
因为OC平分∠AOB所以PM=PN (角平分线上的点到2边的距离相等)
因为PD=PE所以△PDM全等于△PEN（HL）
所以∠PDO=∠PEB考点：1.角平分线的性质；2.直角三角形全等的判定与性质.
26．证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE=CD；
（2）∵M、N分别为BE、CD的中点，且BE=CD，∴ME=ND，∵△ABE≌△ACD，∴∠AEM=∠ADC，AE=AD，在△AEM和△ADN中，，∴△AEM≌△ADN（SAS），∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．
【解析】（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AF为公共边，利用SAS可得出△ABE与△ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE=CD；
（2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出ME=ND，由△ABE与△ACD全等，得到对应边AE=AD，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出△AME与△AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN，即△AMN为等腰三角形．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
点评：题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
27．详见解析．
【解析】试题分析：由等腰三角形的底边上的垂线与中线重合的性质求得BC=2BD，根据直角三角形的两个锐角互余可知∠CAD+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，所以根据同角的余角相等可得∠EBC=∠CAD；然后由”ASA”证明△AEH≌△BEC，再根据全等三角形的对应边相等及等量代换求得AH=2BD．
试题解析：∵AD是高，BE是高，∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠EBC=∠CAD．又∵AE＝BE，
∠AEH=∠BEC=90°，△AHE≌△BCE（ASA）得AH=BC∵BC=2BD∴AH=2BD考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定及性质．
28．（1）见解析；（2）△AOD是直角三角形，理由见解析；（3）当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】试题分析：（1）由旋转的性质可得CO=CD，∠OCD=60°，即可判定△COD是等边三角形．
由（1）可得∠AOD=60°，根据∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD=360°即可求得∠COD=90°，所以△AOD是直角三角形．
△AOD是等腰三角形有三种情况：①AO=AD；②OA=OD；③OD=AD，根据这三种情况分别求出α的度数即可．
试题解析：（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．
解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．考点：旋转的性质；等边三角形的判定及性质；等腰三角形的性质；三角形的内角和定理．
答案第3页，总4页