高二理科数学培优椭圆教师.doc

高二理科数学培优 椭圆

1..将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D
【解析】依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以.
所以当时，；当时，.
2..已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
3.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .

【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .
4.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆 于两点，射线 交椭圆于点.
( i )求的值；
（ii）求面积的最大值.
试题解析：（I）由题意知 ，则 ,又 可得 ,
所以椭圆C的标准方程为.
（II）由（I）知椭圆E的方程为,
（i）设， ，由题意知 因为,
又 ，即 ,所以 ，即 .
（ii）设
将代入椭圆E的方程，
可得
由 ，可得 …………………………①
则有
所以
因为直线与轴交点的坐标为
所以的面积

令 ,将 代入椭圆C的方程可得
由 ，可得 …………………………………………②
由①②可知
因此 ,故
当且仅当 ，即 时取得最大值
由（i）知， 面积为 ,所以面积的最大值为 .

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