Q-4.5正交平面波-4.6赝势--4.7能态密度-43.ppt

BornOppenheimer 绝热近似：绝热近似：HatreeFock 平均场近似（单电子近似）平均场近似（单电子近似）周期场近似周期场近似(Periodic potential approximation)：复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题，单电子薛定谔方程为：其中：全电子势（Muffin-tin）赝势凝胶模型（自由电子气的背景）非周期性周期性对称性平面波（近自由电子近似）缀加平面波线性组合缀加平面波散射函数原子轨道线性组合（紧束缚近似）数值能带计算方法的理解（部分）能带计算方法的理解（部分）1精选2021版课件补充：狄拉克补充：狄拉克(Dirac)符符号号 在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指明坐标系。指明坐标系。同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体表象。这种描写的方式是狄拉克最先引用的，这样的一套表象。这种描写的方式是狄拉克最先引用的，这样的一套符号就称为符号就称为狄拉克符号狄拉克符号。它有简明和使用方便的优点它有简明和使用方便的优点,在文献中被广泛应用在文献中被广泛应用.2精选2021版课件右矢和左矢右矢和左矢 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 ，称为，称为右矢右矢，表示某一确定的右矢，表示某一确定的右矢A，可以用符号可以用符号 微观体系的状态也可以用另一种矢量来表示，这种矢微观体系的状态也可以用另一种矢量来表示，这种矢量符号是量符号是 ，称为，称为左矢左矢。表示某一确定的左矢。表示某一确定的左矢B可以用可以用符号符号 。右矢和左矢是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它右矢和左矢是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种表象中的相应分量互为共厄复数。们在同一种表象中的相应分量互为共厄复数。3精选2021版课件例如例如:分别表示坐标算符分别表示坐标算符,动量算符动量算符,能量算符和角动量算符的本征态能量算符和角动量算符的本征态.例如例如:左矢和右矢二者的关系可以简单表示：左矢和右矢二者的关系可以简单表示：4精选2021版课件态的归一是态的归一是 两态正交是两态正交是 例如例如:5精选2021版课件4.5正交平面波法6精选2021版课件正交平面波法：正交平面波法：Orthogonalized Plane Wave(OPW)Method 在弱周期场近似中，波函数由平面波叠加而成，要使波函数在离子实附近有振荡的特点，平面波的展开式中要有较多的频率成分，因而收敛很慢，所以平面波方法计算固体能带实际计算难以进行。1940年Herring提出了OPW 方法，取波函数为平面波和紧束缚波函数的线性组合，并要求与离子实不同壳层紧束缚波函数正交，从而自然地兼顾了波函数在离子实附近以及在离子之间应有的特征，求解时，往往只需要取几个正交平面波，结果就很好了。7精选2021版课件严格的平面波：收敛性差，求解本征值的行列式阶数很高。正交平面波法：8精选2021版课件正交平面波9精选2021版课件正交平面波10精选2021版课件11精选2021版课件正交平面波12精选2021版课件正交平面波13精选2021版课件正交平面波14精选2021版课件正交平面波15精选2021版课件16精选2021版课件4.6赝势方法17精选2021版课件式中：正交化项起着抵消势能的作用，给出一个弱得多的有效势。18精选2021版课件上述结果很有趣，有效势场不是V，而是U，通常UV，起作用的是一个很弱的势U，被称作赝（假的、伪造的）势给出的波函数叫赝波函数。19精选2021版课件 综上所述，我们可以找出一个赝波动方程，它与严格的Bloch函数的能量本征值相同，因此计算能带时可以不必先求Bloch函数，而是先求解赝势，然后用赝波动方程求解出平滑函数所对应的能量Ek 值。这就是建立在正交平面波法基础上的赝势方法。20精选2021版课件21精选2021版课件 赝势法是1966年由Harrison提出的，实际是OPW 法的一种推广，这种由原子波函数造成的对晶体势场的消弱是很大的，导致晶体中的电子感受到的势场可以等价于一种弱的平滑势（赝势），电子的波函数就几乎是平面波（赝波函数）。所以赝势法的基本精神是适当地选取一种平滑势，波函数用少数平面波展开，就可以使计算出的能带结构与实际晶体接近，赝势方法除去在能带计算上（Be,Na,K,Ge,Si 等金属和半导体的能带）取得很大成功外，也从理论上回答了尽管在晶体中电子和离子的相互作用很强，近自由电子模型在很多情形下仍十分成功的原因。22精选2021版课件 现在我们可以理解，为什么像Na 等简单金属中的价电子在具有非常强的离子实势场中运动，仍能够像自由电子那样，以前这只是经验事实，现在则有了理论依据：恰当地考虑了泡利不相容原理后，晶体中的有效势场确实非常弱，上面量子力学的计算结果证实了这点，晶体中的电子具有自由电子的行为是不奇怪的。23精选2021版课件赝势方法24精选2021版课件赝势方法25精选2021版课件赝势26精选2021版课件赝势通过选择适当的赝势，可以比较容易地求解出比较真实的能谱，因为赝势是一个比真实势平缓得多的函数赝势方法正好给出近自由电子近似的一种合理的解释赝势的选择并不是唯一的实际上总是尽可能将离子实区的赝势取得简单，并保留一组可调参量，最后由匹配条件决定这些参量27精选2021版课件28精选2021版课件小结：小结：凝聚态物理的核心问题之一是关于多粒子系统的电子性质，基于单电子近似的能带理论为解释固体中电子的绝大部分性质提供了一个概念框架：按电学性质把晶体分为金属、半导体和绝缘体；不但可以解释晶体的导电性质，也可以解释晶体的光学、磁学和热学性质。因此发展了许多近似方法来计算晶体的能带，这些方法的差别主要在两个方面：一是选择一组合理的函数来表示电子波函数；另一个是采用有效势来近似地代表晶体中的实际势场。近来在大型计算机的帮助下，采用电子密度泛函代替波函数来计算电子结构取得了许多重大进展。29精选2021版课件能带论的中心任务是求解晶体周期势场中的单电子薛定谔方程：其解应具有Bloch 函数形式：所以求解时首先应找出合理的近似方案去表示 或者给出周期势场的可解的近似表达式，求解方程。Bloch函数30精选2021版课件BornOppenheimer 绝热近似：绝热近似：HatreeFock 平均场近似（单电子近似）平均场近似（单电子近似）周期场近似周期场近似(Periodic potential approximation)：复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题，单电子薛定谔方程为：其中：全电子势（Muffin-tin）赝势凝胶模型（自由电子气的背景）非周期性周期性对称性平面波（近自由电子近似）缀加平面波线性组合缀加平面波散射函数原子轨道线性组合（紧束缚近似）数值能带计算方法的理解（部分）能带计算方法的理解（部分）31精选2021版课件4.7能带电子态密度32精选2021版课件与孤立原子中的本征能态形成一系列的分立能级不同，固体中电子的能级是非常密集的，形成准连续的分布，和孤立原子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶体中电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这个函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分析中是非常重要的。33精选2021版课件能带电子态密度34精选2021版课件能态密度能态密度:它定义为单位能量间隔内的电子状态数，dZ为能量在EE+dE 两等能面间的能态数（考虑了电子自旋）。dZ=2(k)(k空间中能量在E E+dE两等能面间的体积)因为：所以：35精选2021版课件不同维度下的电子态密度36精选2021版课件自由电子能态密度37精选2021版课件能带电子的能态密度38精选2021版课件能带电子的能态密度(推)39精选2021版课件范霍夫奇点40精选2021版课件紧束缚近似的等能面在、X、M和R点处，|kE|=0，这些点称为Van Hove奇点，这些点都是布里渊区中的高对称点。紧束缚近似的能态密度41精选2021版课件Ge能带图及费米面附近的态密度42精选2021版课件43精选2021版课件