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第一部分 数与式
第一讲： 数与式
【教学目标】
1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．
2. 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。
3. 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小
4. 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。
5. 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。
6. 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。
7. 了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值；
8. 理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；
9. 能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）进行运算；
10. 分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算
11. 了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。
12. 理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；
13. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
14. 掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
【教学重难点】
1． 有理数、无理数、实数、非负数概念；
2．相反数、倒数、数的绝对值概念；
3．在已知中，以非负数a2、|a|、(a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。
4. 熟练地进行整式的四则运算，幂的运算性质以及乘法公式要熟练掌握，灵活运用；
5. 熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式
6. 考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
7. 考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。
8. 考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
【教学方法】 学生交流讨论式和教师引导式
【教学课时】 5课时
【教学过程】
一、实数
1、实数的有关概念
(1)实数的组成

(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，
实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，
(3)相反数
实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)．
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
(4)绝对值

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
(5)倒数
实数a(a≠0)的倒数是(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．
2、教学实例：【例题经典】
理解实数的有关概念
例1 ①a的相反数是-,则a的倒数是_______．
②实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:
则化简│b-a│+=______．
③（2006年泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．
例2.(-2)3与-23( )．
(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16
例3.-的绝对值是 ；-3 的倒数是 ；的平方根是 ．
例4.下列各组数中，互为相反数的是 ( )D
A．-3与 B．｜-3｜与一 C．｜-3｜与 D．-3与
掌握实数的分类
例1 下列实数、sin60°、、（）0、3.14159、-、（-）-2、中无理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、实数的运算
1、知识回顾：
实数的运算
(1)加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
任何数与零相加等于原数。
(2)减法 a-b=a+(-b)
(3)乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即

(4)除法
(5)乘方
(6)开方 如果x2＝a且x≥0，那么＝x； 如果x3=a，那么
在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．
(7)实数的运算律
①加法交换律 a+b＝b+a ②加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
③乘法交换律 ab＝ba． ④乘法结合律 (ab)c=a(bc)
⑤分配律 a(b+c)=ab+ac
其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．
2、教学实例：【例题经典】
例1、若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为
 A． 4―22 ＝－18 Ｂ．22－4＝18
Ｃ． 22―（―4）＝26 Ｄ．―4―22＝－26
例2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6．71×103千米，总航程约为(π取3．14，保留3个有效数字) ( )
A．5．90 ×105千米 B．5．90 ×106千米
C．5．89 ×105千米 D．5．89×106千米
例3.化简的结果是( )．
(A)-2 (B) +2 (C)3(-2) (D)3(+2)
例4.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )．
①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
例5.（2006年成都市）计算：-+（-2）2×（-1）0-│-│．

例6.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数据填上．(已知1克大米约52粒)
如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费 吨大米
例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，．．．…(这就是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有 种上法．
三、 整式
1．代数式的有关概念．
(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
2．整式的有关概念
(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。
(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式
对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析
(3)多项式的降幂排列与升幂排列
把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列
把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，
给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．
(4)同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．
要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即 其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。
3．整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：
(i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．
(ii)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．
(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质：

多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：

(3)整式的乘方
单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。
单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：

多项式的乘方只涉及

4. 因式分解
(1)提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)运用公式法，即用
写出结果．
（3)十字相乘法

(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么

5. 教学实例：【例题经典】
代数式的有关概念
例1、已知－1＜b＜0， 0＜a＜1，那么在代数式a－b、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（ ）
(A) a+b (B) a－b (C) a+b2 (D) a2+b
同类项的概念
例1、若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．
例2、一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是（ ）
A．4xy Ｂ． 3xy Ｃ．2xy Ｄ．xy
幂的运算性质
例1（1）am·an=_______（m，n都是正整数）；
（2）am÷an=________（a≠0，m，n都是正整数，且m>n），特别地：a0=1（a≠0），a-p=（a≠0，p是正整数）；
（3）平方差公式：（a+b）（a-b）=_______
（4）完全平方公式：（a±b）2=__________．
例2.下列各式计算正确的是( )．
(A)(a5)2=a7 (B)2x-2= (c)4a3·2a2=8a6 (D)a8÷a2=a6
例3.下列各式中，运算正确的是 ( )
A．a2a3=a6 B．(-a+2b)2=(a-2b)2
c．(a+b≠O) D．
例4、下列运算正确的是
A． ; B．(－2x)3=－2x3 ;
C．(a－b)(－a＋b)=－a2－2ab－b2 ; D．
整式的化简与运算
例5 计算：9xy·(-x2y)= ；
四、分式
1、知识要点
（1）分式的有关概念
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简
（2）分式的基本性质
（M为不等于零的整式）
（3）分式的运算
(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．
(异分母相加，先通分)；
（4）零指数
（5）负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．
五、 数的开方与二次根式
1、知识要点
（1）二次根式的有关概念
(a)二次根式： 式子叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
(b)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(c)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
(2)二次根式的性质
(3)二次根式的运算
(a)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
(b)二次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
(c)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
【课后反思】