高考数学复习第九章平面解析几何第九节直线与圆锥曲线的位置关系市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT.pptx

第九节直线与圆锥曲线位置关系1/30总纲目录教材研读1.直线与圆锥曲线位置关系判断考点突破2.圆锥曲线弦长考点二考点二弦长问题考点一直线与圆锥曲线位置关系考点三考点三中点弦问题2/30教材研读教材研读1.直线与圆锥曲线位置关系判断直线与圆锥曲线位置关系判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)一元方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a0时,可考虑一元二次方程判别式,有(i)0直线与圆锥曲线相交相交;(ii)=0直线与圆锥曲线相切相切;(iii)0,b0)交点个数是()A.1B.2C.1或2D.0A答案答案A因为直线y=x+3与双曲线渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.7/303.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点直线斜率为,则值为()A.B.C.D.A答案答案A设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),结合题意,由点差法得,=-=-=-1,=.8/304.已知椭圆C:+=1(ab0),F(,0)为其右焦点,过点F且垂直于x轴直线与椭圆相交所得弦长为2,则椭圆C方程为+=1.答案答案+=1解析解析由题意得解得所以椭圆C方程为+=1.9/305.过抛物线y2=8x焦点F作倾斜角为135直线,交抛物线于A,B两点,则弦AB长为16.答案答案16解析解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为抛物线y2=8x焦点为F(2,0),直线AB倾斜角为135,故直线AB方程为y=-x+2,代入抛物线方程y2=8x,得x2-12x+4=0,则x1+x2=12,x1x2=4,则|AB|=x1+x2+4=12+4=16.10/30考点一直线与圆锥曲线位置关系考点一直线与圆锥曲线位置关系考点突破考点突破典例典例1(北京顺义二模,19)已知椭圆E:+=1(ab0)经过点,其离心率e=.(1)求椭圆E方程;(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E相切,切点为T,且l与直线x=-4相交于点S.试问:在x轴上是否存在一定点,使得以ST为直径圆恒过该定点?若存在,求出该点坐标;若不存在,请说明理由.11/30解析解析(1)因为点在椭圆上,所以+=1.依题意知a=2c,则a2=4c2,b2=3c2,将代入得c2=1,故a2=4,b2=3.故椭圆E标准方程为+=1.(2)存在.由消去y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E相切,所以它们有且只有一个公共点T,所以m0且=0,12/30即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0,设T(x0,y0),则x0=-=-,y0=kx0+m=,所以点T坐标为,由得S(-4,-4k+m),假设在x轴上存在定点满足条件,不妨设定点为点A(x1,0),则由已知条件知ASAT,即=0对满足式m,k恒成立.易知=(-4-x1,-4k+m),=,则=+4x1+-+3=0,整理得(4x1+4)+4x1+3=0,13/30因为式对满足式m,k恒成立,所以解得x1=-1.故在x轴上存在定点(-1,0),使得以ST为直径圆恒过该定点.14/30方法技巧方法技巧直线与圆锥曲线位置关系问题求解策略(1)直线与圆锥曲线相交或相离时,可直接联立直线与圆锥曲线方程,结合消元后一元二次方程求解.(2)直线与圆锥曲线相切时,尤其是抛物线与双曲线,要数形结合求解.15/301-1在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(ab0)左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l方程.16/30解析解析(1)由题意得a2-b2=1,b=1,则a=,椭圆C1方程为+y2=1.(2)易得直线l斜率存在且不为零,则可设l方程为y=kx+m(k0).由消去y,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,1=16k2m2-8(m2-1)(2k2+1)=16k2+8-8m2=0,即m2=2k2+1.由消去y,整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0,17/302=(2km-4)2-4k2m2=16-16km=0,即km=1,由得m=,代入得=2k2+1,即2k4+k2-1=0.令t=k2,则2t2+t-1=0,解得t1=,t2=-1(舍),或直线l方程为y=x+或y=-x-.18/30典例典例2(北京石景山一模,19)已知椭圆E:+=1(ab0)过点(0,1),且离心率为.(1)求椭圆E标准方程;(2)设直线l:y=x+m与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x轴交点为N,问B、N两点间距离是否为定值?假如是,求出定值;假如不是,请说明理由.考点二弦长问题考点二弦长问题19/30解析解析(1)设椭圆半焦距为c.因为点(0,1)在椭圆E上,所以b=1,故a2-c2=1,又因为e=,所以c=,a=2,所以椭圆E标准方程为+y2=1.(2)是定值.设A(x1,y1),C(x2,y2),线段AC中点为M(x0,y0).由得x2+2mx+2m2-2=0.由=(2m)2-4(2m2-2)=8-4m20,可得-m.20/30所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以AC中点为M,|AC|=,又直线l与x轴交点N(-2m,0),所以|MN|=,所以|BN|2=|BM|2+|MN|2=|AC|2+|MN|2=.所以B、N两点间距离为定值,且定值为.21/30方法技巧方法技巧弦长计算方法与技巧求弦长时可利用弦长公式,依据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程,利用根与系数关系得到两根之和、两根之积代数式,然后整体代入弦长公式求解.注意两种特殊情况:(1)直线与圆锥曲线对称轴平行或垂直;(2)直线过圆锥曲线焦点.22/302-1设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)左,右焦点,过F1直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求|AB|;(2)若直线l斜率为1,求b值.23/30解析解析(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,所以|AB|=.(2)l方程为y=x+c,其中c=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.24/30则=(x1+x2)2-4x1x2=-=,因为0b1,所以b=.25/30典例典例3(1)在椭圆+=1内,经过点M(1,1),且被这点平分弦所在直线方程为()A.x+4y-5=0B.x-4y-5=0C.4x+y-5=0D.4x-y-5=0(2)若椭圆中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦中点纵坐标为1,则这个椭圆方程为()A.+=1B.+=1考点三中点弦问题考点三中点弦问题C.+=1D.+=1AD26/30答案答案(1)A(2)D解析解析(1)设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则由-,得+=0,因为所以=-=-,所以所求直线方程为y-1=-(x-1),即x+4y-5=0.(2)因为椭圆中心在原点,一个焦点为(0,2),则a2-b2=4,所以可设椭圆方27/30程为+=1,联立得(10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4+13b2+196=0,设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根与系数关系及题意得y1+y2=2,解得b2=8.所以a2=12.则椭圆方程为+=1.28/30方法技巧方法技巧处理中点弦问题惯用方法(1)点差法:设出弦两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这么就直接联络了中点和直线斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数关系:联立直线与圆锥曲线方程,将其转化为一元二次方程后由根与系数关系求解.29/303-1抛物线C顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点.若P(1,1)为线段AB中点,则抛物线C方程为()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x答案答案B设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,则两式相减可得2p=(y1+y2)=kAB2=2,即可得p=1,抛物线C方程为y2=2x.B30/30