高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数2教案省公开课一等奖新名师优质课获奖课件.pptx

3.33.3二倍角三角函数二倍角三角函数(二二)1/501/50【知知识识提提炼炼】半角公式半角公式2cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 2222/502/50【即即时时小小测测】1.1.思索以下思索以下问题问题(1)(1)半角公式两端有什么改半角公式两端有什么改变变?提醒提醒:半角公式等式两端半角公式等式两端,从左向右从左向右,方次降低方次降低,角度加倍角度加倍,从右向左从右向左,方次增大方次增大,角度减半角度减半.(2)(2)怎怎样样确定确定sin ,cos sin ,cos 公式中正公式中正负负号号?提醒提醒:依据依据 所在象限对应三角函数值符号确定所在象限对应三角函数值符号确定,假如假如 所在象所在象限无法确定限无法确定,则应保留则应保留sin ,cos sin ,cos 公式中正负号公式中正负号.3/503/502.sin75=_.2.sin75=_.【解析解析】sin75sin75=答案答案:4/504/503.3.计计算算tan22.5=_.tan22.5=_.【解析解析】tan22.5=tan22.5=答案答案:-1-15/505/504.4.若若 =_.=_.【解析解析】因为因为 所以所以 答案答案:6/506/505.5.化化简简:=_.:=_.【解析解析】原式原式=答案答案:7/507/50【知知识识探究探究】知知识识点点 半角公式半角公式观观察如察如图图所表示内容所表示内容,回答以下回答以下问题问题:问题问题1:1:半角正弦、余弦、正切公式是什么半角正弦、余弦、正切公式是什么?问题问题2:2:半角公式适用条件是什么半角公式适用条件是什么?8/508/50【总结总结提升提升】1.1.半角公式与二倍角公式关系半角公式与二倍角公式关系半角公式与二倍角公式功效各异半角公式与二倍角公式功效各异,本本质质相同相同,对对立立统统一一.9/509/502.2.公式适用条件公式适用条件(1)(1)半角正弦和余弦公式半角正弦和余弦公式对对任意角都成立任意角都成立.(2)(2)中要求角中要求角2k+,kZ,2k+,kZ,而而 中中则则要求角要求角k,kZ.k,kZ.10/5010/503.3.半角公式半角公式应应用用(1)(1)半角公式半角公式给给出了求正弦、余弦、正切一个方式出了求正弦、余弦、正切一个方式,即只需知道即只需知道coscos值值及及对应对应条件条件,便可求出便可求出 (2)(2)因因为为 不含被开方数不含被开方数,且不包括符号且不包括符号问题问题,所以求解关于所以求解关于tan tan 题题目目时时,使用相使用相对对方便方便,但需要注意但需要注意该该公公式成立条件式成立条件.(3)(3)包括函数升降包括函数升降幂幂及角二倍关系及角二倍关系题题目目,惯惯用用 求解求解.11/5011/50【题题型探究型探究】类类型一型一 求求值问题值问题【典例典例】1.1.已知已知 则则sin=_.sin=_.2.2.已知已知 求求 值值.12/5012/50【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中中是第几象限角是第几象限角?2?2是第几象限角是第几象限角?提醒提醒:是第三象限角是第三象限角,2,2是第二象限角是第二象限角.2.2.典例典例2 2中怎中怎样样由由sinsin求出求出cos?cos?提醒提醒:13/5013/50【解析解析】1.1.因为因为 所以所以|cos2|=-cos2=,|cos2|=-cos2=,即即cos2=-,cos2=-,所以所以sin=sin=答案答案:-14/5014/502.2.因为因为 因为因为 所以所以 15/5015/50【方法技巧方法技巧】利用半角公式求利用半角公式求值值思思绪绪(1)(1)看角看角.若已知三角函数式中角是待求三角函数式中角两倍若已知三角函数式中角是待求三角函数式中角两倍,则经则经常常借助半角公式求解借助半角公式求解.(2)(2)明范明范围围.因因为为半角公式求半角公式求值值常包括符号常包括符号问题问题,所以求解所以求解时务时务必依据必依据角范角范围围,求出求出对应对应半角范半角范围围.16/5016/50(3)(3)选选公式公式.包括半角公式正切包括半角公式正切值时值时,惯惯用用其其优优点是点是计计算算时时可防止因开方可防止因开方带带来求角范来求角范围问题围问题;包括半角公式包括半角公式正、余弦正、余弦值时值时,常先利用常先利用 计计算算.(4)(4)下下结论结论.结结合合(2)(2)求求值值.17/5017/50【变变式式训练训练】(新余高一新余高一检测检测)设设(,2),(,2),则则等于等于()【解析解析】选选D.D.因为因为(,2),(,2),则则 所以所以 18/5018/50类类型二型二 三角函数式化三角函数式化简简与与证实证实【典例典例】1.1.若若 2,2,则则化化简简 结结果果为为_._.2.2.求求证证:19/5019/50【解解题题探究探究】1.1.典例典例1 1中怎中怎样样去掉根号去掉根号?提醒提醒:将根号里面式子转变成完全平方形式将根号里面式子转变成完全平方形式.2.2.证实证实典例典例2 2关关键键是什么是什么?提醒提醒:借助公式把借助公式把“1 1”消去消去.20/5020/50【解析解析】1.1.原式原式=因为因为 2,2,所以所以 从而从而 故原式故原式=答案答案:-2sin-2sin21/5021/5022/5022/50【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问变问法法)典例典例1 1中若中若题设题设条件不条件不变变,将函数式改将函数式改为为结结果怎果怎样样?23/5023/50【解析解析】因为因为 所以原式所以原式=答案答案:-cos-cos24/5024/502.(2.(变换变换条件条件)典例典例1 1中若将条件中若将条件“2”2”改改为为“”结结果怎果怎样样?25/5025/50【解析解析】原式原式=因为因为 故故 又又 故原式故原式=答案答案:2cos2cos26/5026/50【方法技巧方法技巧】利用半角利用半角(倍角倍角)公式化公式化简简三角函数要求及方法三角函数要求及方法(1)(1)对对于三角函数式化于三角函数式化简简有下面要求有下面要求:能求出能求出值应值应求出求出值值.使三角函数种数尽可能少使三角函数种数尽可能少.使三角函数式中使三角函数式中项项数尽可能少数尽可能少.尽可能使分母不含有三角函数尽可能使分母不含有三角函数.尽可能使被开方数尽可能使被开方数不含三角函数不含三角函数.(2)(2)化化简简方法方法:弦切互化弦切互化,异名化同名异名化同名,异角化同角异角化同角.降降幂幂或升或升幂幂.27/5027/50【赔偿训练赔偿训练】1.1.已知已知 ,0a0时时,y,ymaxmax=-2a +2a+b=1.=-2a +2a+b=1.y yminmin=-2a1+2a+b=-5.=-2a1+2a+b=-5.由由得得 所以所以a=6,b=-5.a=6,b=-5.当当a=0a=0时时,y=b,y=b与函数值域与函数值域-5,1-5,1矛盾矛盾,所以所以a0.a0.当当a0a0时时,y,ymaxmax=-2a1+2a+b=1.=-2a1+2a+b=1.y yminmin=-2a +2a+b=-5.=-2a +2a+b=-5.由由得得 所以所以a=-6,b=1.a=-6,b=1.总而言之总而言之a=6,b=-5,a=6,b=-5,或或a=-6,b=1.a=-6,b=1.40/5040/50【赔偿训练赔偿训练】已知函数已知函数 (1)(1)求函数求函数f(x)f(x)最小正周期最小正周期.(2)(2)求函数求函数h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)最大最大值值,并求使并求使h(x)h(x)取得最大取得最大值值x x集合集合.41/5041/50【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)=所以所以f(x)f(x)最小正周期为最小正周期为.42/5042/50(2)h(x)=f(x)-g(x)=(2)h(x)=f(x)-g(x)=所以所以h(x)h(x)最大值为最大值为 ,此时此时2x+=2k,kZ.2x+=2k,kZ.所以所以x=k-,kZ.x=k-,kZ.所以所以h(x)h(x)最大值为最大值为 ,此时此时x x集合为集合为 43/5043/50规规范解答范解答 三角函数与三角三角函数与三角变换综变换综合合问题问题【典例典例】(12(12分分)已知向量已知向量a=(cosx-sinx,sinx),=(cosx-sinx,sinx),b=(-cosx-=(-cosx-sinx,2 cosx),sinx,2 cosx),设设函数函数f(x)=f(x)=ab+(R)+(R)图图像关于直像关于直线线x=x=对对称称,其中其中,为为常数常数,且且 (1)(1)求函数求函数f(x)f(x)最小正周期最小正周期.(2)(2)若若y=f(x)y=f(x)图图像像经过经过点点 求函数求函数f(x)f(x)在区在区间间 上取上取值值范范围围.44/5044/50【审题审题指指导导】要求周期要求周期,必必须须由数量由数量积积求函数解析式求函数解析式,化化简简后深入求解后深入求解.45/5045/50【规范解答规范解答】(1)(1)46/5046/5047/5047/5048/5048/50【题题后悟道后悟道】1.1.熟熟练练地掌握二倍角公式地掌握二倍角公式cos2x=coscos2x=cos2 2x-sinx-sin2 2x;sin2x=2sinxcosx,x;sin2x=2sinxcosx,这这两两个个公公式式不不但但会会正正用用,也也要要会会熟熟练练地逆用地逆用.比如比如,本例就是要逆用两个公式得到本例就是要逆用两个公式得到sin2x,cos2x.sin2x,cos2x.49/5049/502.2.准确利用准确利用隐隐含条件含条件在解在解题题中很多中很多时时候忽略候忽略隐隐含条件含条件应应用用,而使得所求参数不而使得所求参数不对对或范或范围围不准确不准确.比如比如,本例要利用本例要利用kZkZ求得求得值值.3.3.准确求得角范准确求得角范围围再求得函数再求得函数值值域域在三角函数在三角函数问题问题中要充分利用角中要充分利用角x x范范围围再去求得再去求得x+x+范范围围,再再结结合合单调单调性求得性求得值值域域.比如比如,本例要利用本例要利用 50/5050/50