毕业设计（论文）变刚度桩筏基础竖向承载性状的数值分析.pdf

天津大学_硕士学位论文_变刚度桩筏基础竖向承载性状的数值分析姓名:李海元_申请学位级别：硕士_专业：结构工程指导教师：王成华20061201中文摘要变刚度桩筏基础是一种新的桩基础形式，突破了传统“等桩长、等桩距、等桩径”的设计理念。目前，对空间变刚度桩筏基础的承载变形机理还缺少系统 研究，没有形成一套系统成熟的实用设计方法.因此，本文在已有研究的基础上 对变刚度桩筏基础承载性状进行了深入探讨。本文建立了基于三维有限元一无限元一接触面单元非线性耦合数值模型，以 此来分析变刚度桩筏基础的竖向承载性状。土体本构关系采用Dunca n-Cha ng模 型；桩和承台采用线弹性模型：桩-土接触面采用弹塑性无厚度Goodma n接触面 单元.本文主要研究内容如下：1.长短桩桩筏基础竖向承载性状：(1)对比分析了均质土和成层土情况下，变刚度桩筏基础竖向承载性状；(2)分析了不同筏板厚度情况下，变刚度桩筏基础竖向承载性状：(3)对比分析了，在总桩长相等的条件下，变刚度桩筏基础与“等桩长、等 桩距、等桩径”桩筏基础的承载特性；(4)主要探讨内容：沉降及沉降差分布情况、承台整体弯矩分布情况、桩顶 轴力分布情况；2.刚-柔性桩桩筏基础竖向承载性状：(1)分析了“等桩长、等桩距、等桩径”桩筏基础，在边桩和角桩采用低 强度混凝土，中心区域的桩采用高强度混凝土时，竖向承载特性；(2)分析了长短桩桩筏基础，在边桩和角桩采用低强度混凝土，中心区域 的桩采用高强度混凝土时，竖向承载特性。研究结果表明：在总桩长相等的条件下，采用长短桩变刚度桩筏基础，能大 大降低承台的整体弯矩、明显减小承台的沉降差、促使桩顶轴力分布更均匀：虽 然承台厚度增大可以促使承台沉降更均匀，但也会使承台内力增大，桩顶轴力分 布不均匀；仅仅通过降低角桩和边桩的混凝土强度对改善桩筏基础的承教性能效 果甚微，采用刚性长桩和柔性短桩桩筏基础最经济合理。关键词：变刚度，等沉降，沉降差，桩筏基础，有限元，非线性分析ABSTRACTVa ria bl e pil e st iffoess pil ed ra ft founda t ion is a new t ype of pil e founda t ion,but t he resea rch on it s bea ring mecha nism is not enough,not ha v ing a syst ema t ic met hod for designers.In t his pa per,a comprehensiv e a na l ysis of t he probl em w a s ma de.Ba sed on a t hree dimensiona l nonl inea r numerica l model of t he coupl ed finit e el ement-infinit e el ement-int erfa ce el ement,t he bea ring a nd deforma t ion mecha nism of v a ria bl e pil e st ifihess pil ed ra ft founda t ion w ere a na l yzed.Dunca n-Cha ng model is used t o simul a t e t he const it ut iv e rel a t ion of soil s;l inea r el a st ic model is used t o simul a t e t he const it ut iv e rel a t ion of pil es a nd t he ra ft;a nd t he Goodma n model is a dopt ed in cont a ct pl a ne.The subsoil condit ion a nd t he dept h of t he ra ft ha v e been considered,a compa rison a mong t he sa me pil e l enght h,t he sa me pil e spa ce,t he sa me pil e dia met er pil ed ra ft founda t ion,l ong pil e-short pil e pil ed ra ft founda t ion a nd st iff pil e-fl exibl e pil e pil ed ra ft founda t ion ha s been ma de.The resul t s of t he a na l ysis indica t e t ha t l ong pil e-short pil e pil ed ra ft founda t ion ca n gea t l y reduce ra ft moment a nd different ia l set t l ement,e l oa d dist ribut ion is much more unifbnn a mong pil es,compa red w it h t he t ra dit iona l design met hod.In pra ct ice,pil ed ra ft founda t ion w it h st iff l ong pil es in t he core a rea a nd fl exibl e short pil es in t he out er a rea,is economica l a nd pra ct ica bl e.KEY WORDS：v a ria bl e st ifihess,uniform set t l ement,different ia l set t l ement,pil ed ra ft founda t ion,finit e el ement,nonl inea r a na l ysis独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名.痴2/签字日期：7年,月22日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解 天津大学 有关保留、使用学位论文的规定。特授权 天津大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名:嫩无/月九日第一章绪论第一章绪论1.1 桩筏基础的研究现状当筏形基础下地基承载力或沉降变形不能满足设计要求时，通常采用筏底加 桩而形成的桩筏基础，使基础的刚度得到增强，有利于上部结构荷载沿水平扩散 并向深层土传递，从而达到有效提高基础承载能力并减少沉降的目的，因此，桩 筏基础已经发展成为高层建筑的主要基础型式之一.在桩筏基础的设计中，习惯 采用的“构造为主，计算为辅”的设计原则和“满堂布桩”、“等承载力布桩”的布桩方式已经被许多工程实践证明是不够合理的，往往造成资金和材料的大量 浪费.在目前的桩基础设计中，桩体作用主要有三种类型：(1)桩承担所有上部结 构的荷载；(2)桩承担大部分上部结构的荷载，同时起到减小沉降和变形的目的：(3)桩承担一小部分上部结构荷载，主要起到减小或控制沉降的作用。然而，按照传统的设计理论，班基础的设计只是建立在满足承载力的基础之上，也即均 按第一种情况处理。很显然这种传统的桩基设计方法，对于第二、三种情况是过 于保守的，并且设计概念上也不清楚由于对上部结构与桩筏基础共同作用理解上的差异，桩筏基础设计无论在理 论上还是在实践上都存在不少混乱。随着建筑高度的不断增加，桩越来越长、基 础底板厚度越来越大、基础造价节节攀升，这似乎是天经地义、无可厚非的！因 而,.寻求一种经济、安全而又合理的桩筏基础设计方法在理论和实践上都具有重 要的意义。目前，桩筏基础筏板厚度的确定、桩筏基础的优化设计、桩筏基础的差沉降 已经成为许多学者研究的主要热点.马云凤(1995)以平板式桩筏基础为例，从筏板的抗冲切、抗弯、抗剪三个 方面探讨了影响筏板厚度的主要因素，并绘制了筏板厚度与楼层的层数、桩数、荷载之间的关系曲线，可供设计时参考.但是这种方法，没有考虑筏板与地基 土的相互作用。楼晓明(2003)等提出以局部弯矩与整体弯矩之和作为确定筏板 抗弯厚度的最大计算弯矩。这种方法与仅仅以局部弯矩作为确定筏板抗弯厚度 相比，考虑了沉降差等引起的筏板整体弯矩，因而采用这种简易方法确定的筏板 厚度更加符合实际，但是这种方法也没有考虑筏板与地基土的相互作用，而且假 定桩为独立弹簧，因此，随着桩身压缩变形的增大，这种方法的误差也将随之增 第一章绪论大.陈云敏(2005)等从发挥桩的承载力角度出发提出了合理板厚确定的公式.但是该方法仅仅从桩反力角度来确定筏板的厚度，事实上确定筏板厚度需要考虑 多种因素的影响，不过考虑的因素过多又不便于使用。张建辉(2000)对仅在相对柔性的筏板中部设置群桩的桩筏基础优化设计新 思路进行了探讨叱这种方法的主要目的是让中部的群桩承担一定比例的荷载并 达到减小差异沉降的目的.龚晓南(2001)从优化设计的角度出发，探讨了桩筏 基础的设计思路、布桩方式、桩土共同作用等一系列问题，提出了一些优化设计 的思路和方法闻。彭俊文(2006)从减沉设计与变刚度调平设计两方面探讨桩筏 基础的优化设计，只是就这两个方面进行了一下综述，没有具体的计算分析探 讨。张建辉(2001)对基于差异沉降最小的桩筏基础分布桩进行了分析，但是 仅仅从调节中心或者角部桩的密度来达到减小差异沉降的目的。余闯(2004)对 桩筏基础的差异沉降产生机理和控制措施进行了分析，提出了调整单桩支承刚度 的方法来控制桩筏基础的差异沉降，该方法的实质就是调节桩筏基础的空间刚 度分布，从而达到控制差异沉降的目的。刘庆(2004)分析了调整地基土刚度和 布桩方式来控制桩筏基础差异沉降皿，说到底就是试图通过调节桩筏基础的空间 分布情况来达到减小差异沉降的目的。总之，目前各种确定筏板厚度的简易方法主要是基于筏板的抗冲切、抗弯、抗剪三个方面建立起来的，把桩简化为弹簧，不考虑筏底土的作用；目前，关于 桩筏基础的优化设计以及减小差异沉降的研究方法探讨，主要是通过优化班筏基 础的空间刚度分布来实现的。可见，变刚度桩筏基础具有很好的工程经济价值，逐步得到学术界和工程界的重视，是桩基础发展的一个新方向。1.2 桩土相互作用分析方法综述影响桩基础受力变形特性的因素很多，地基条件、桩的类型、几何尺寸、布 桩方式、粒数、上部结构以及施工因素都对它有影响，因而正确认识班基础的受 力及变形特性是相当困难的。目前，桩基研究基本采用两类方法：一类是弹性理 论法、剪切变形法、载传递法、有限单元法，或把研究比较多、相对比较成熟的 弹性理论法、荷载传递法、剪切位移法进行耦合，提出相应的混合法；另一类是 通过具体工程的荷载试验(测桩顶、班端沉降和桩身轴力)进行分析。而把两种 方法结合起来进行系统阐述研究的比较少。随着神经网络法、遗传算法及灰色系 统预测法的发展，桩基础工程中也有应用这些理论来研究桩基的荷载传递机理，主要体现在对单桩极限承载力的预测上。第一章绪论对于弹性理论法、荷载传递法、剪切位移法相对来说比较成熟，本节主要介 绍有限元数值方法在研究桩土相互作用中的应用。相互作用问题一直是近几十年来比较受关注的岩土工程问题之一一般可以 把相互作用问题分为四类：(D 土中各组成相之间的相互作用；(2)土体与其 中的复合体的相互作用；(3)土体与其中或相邻结构体的相互作用；(4)地基 与上部结构之间的相互作用.而在土与结构的共同作用中又可以分为两种情况：一种是土与结构之间只有力的传递,没有相对位移,也就没有错动和拉开。可以看 成是两种材料组成的连续体,进行有限元计算的时候不存在任何问题,计算方法 比较成熟；另一种是土与结构之间发生相对位移,从整体上说是不连续的,进行有 限元计算的时候,就要设置接触面单元来处理这种不连续性。对于桩基础,桩与桩 侧土、桩底土之间的性能相差很大,在一定受力条件下有可能在其接触面上产生 错动滑移和开裂。因此,在用有限单元法模拟桩土相互作用的时候,就要设置接触 面单元。有限单元法分析的关键在于能否较好的模拟接触面上剪应力的传递和错 动变形的发展,在建立较好的接触面本构关系的同时,为充分反映接触面的受力 及变形特性,应采用不同于普通实体单元的能模拟接触面变形的特殊单元。长期 以来,许多中外学者进行了接触面方面的研究,并提出了多种接触面模型。倪新华(1990)较详细研究了桩基的三维有限元分析，把有限元和无限元结 合起来，并考虑土的非线性、固结等许多因素杨敏(1998)等以Geddes单 桩附加应力系数公式为基础，结合工程上广泛使用的分层总和法，讨论该法在群 桩分析中的应用但是，在计算过程中，土中应力计算采用Geddes弹性解和 Boussinesq弹性解，没有考虑到桩土作用界面的接触问题，尤其对于灌注桩的 适用性值得进一步研究。陈云敏(2001)等提出了一种考虑土一桩一筏相互作用的 桩筏基础简化分析法，将群桩中每根桩的桩顶沉降分成桩身压缩和桩端沉降分别 计算,桩身压缩由单桩静载荷试验或其他方法估算,桩端沉降根据分层总和法计 算，将桩简化成弹簧作用在筏板下，这种简化对于承受高荷载的超长桩来说误 差将增大，此外，桩端平面上附加应力近似取为承台底面平均附加应力是否可行 还有待研究。El l ison(1971)首先使用二维轴对称有限单元法来分析硬粘土中钻孔灌注 桩的荷载传递机理，首次在桩侧和桩端运用了接触面单元，考虑了接触面单元上 下接触面间的位移差陈雨孙和周红(1987)对纯摩擦的钻孔灌注班也进行了 有限元分析，通过采用节理单元来考虑桩土的相互作用，假定节理单元径向刚度 为一个足够大的值吗因此，用该文的方法不能考虑桩土界面出现脱离或者拉力 的情况，而且切向刚度的取值具有较大的随机性。近年来，桩-土接触问题己经成为桩土相互作用的一个研究热点。杜成斌第一章绪论(2001)等提出了一种新的模拟结构缝或接触问题的三维非线性接触单元,在本 构关系上，模型同时考虑了已被大量实验证实的接触面法向和切向的非线性特性,法向采用了考虑法向变形的双曲线模型，切向采用了考虑应变硬化的双曲线模型 同.该方法最大的优点是避免了Goodma n单元等只考虑缝面变形及法向、切向参 数取值的任意性,计算结果常使法向应力出现波动和过量嵌入等缺点。楼奕红(2004)等采用有限元、无界元和接触面单元相耦合的数值模型,该模型考虑了 桩身非线性全过程受力特点及桩周土体的弹塑性本构关系皿。但是文中桩土界面 采用线性本构关系对于灌注桩桩土界面将不再适用，同时文中对接触面厚度的取 值没有具体的说明和研究。叶建忠(2004)等对国内外近期的接触面单元及接触 面本构模型的研究现状做了详细的论述,并进行了总结比较皿。根据该文的总结 可以看出，不同接触单元的主要区别在于：一方面是接触单元的厚度问题，另一 方面是单元的本构关系问题。栾茂田(2004)等在Desa i针对接触面所提出的薄 层单元的基础上，提出了一种可以同时考虑切向应力一切向变形之间的非线性与 非弹性性质的非线性弹性-理想塑性本构模型，发展了有限元迭代算法”叱齐良 锋(2005)等采用参变量变分原理及基于此原理的参变量二次规划法,对Oka mot o 与Na ka za w a提出的接触单元刚度矩阵进行了推导，它根据接触条件，把接触点 对(在接触面上坐标相同的节点)的位移和接触力，以单元的形式进行表示，可 以直接向刚度矩阵中组装，形成的总刚可以进行向接触面上的凝聚，得到在接触 点经过缩聚的刚度矩阵.。但是文中将离散化后接触问题按照平面弹性有限元进 行处理，这对于桩-土界面存在一定“泥皮”的灌注桩来说，这种模拟方法的模 拟效果难以保证。；总之，采用有限元-接触单元-无限元的耦合模型已经成为桩土相互作用研究 的主要手段，接触单元在桩土相互作用分析中的重要作用得到广大学者的重视，接触单元类型和接触单元的本构关系己经成为两大研究热点，对接触单元本构关 系的研究正朝着非线性方向前进。13变刚度桩筏基础承载性状的研究现状高层建筑地基基础的设计是制约高层建筑的安全可靠和经济合理性的关键 环节。透过高层建筑地基基础的实测资料和一些工程事故原因的剖析，发现传统 概念设计存在进一步优化和改进的空间。根据以往“等桩长、等桩距、等桩径”的设计方法，必然导致碟形沉降和马鞍 形反力分布或出现差异沉降过大，特别是框剪、框筒、筒中简结构更明显。这是 由于群桩的相互作用，使筏板下土体的应力场和位移场的叠加，使得中间部分沉 4第一章绪论降最大，角点沉降相对较小，基桩之间的荷载分布呈现角桩大、边桩次之、中心 桩最小的特性，从而导致结构次应力增大、筏板厚度增加、配筋增多。不仅浪费 金钱和材料，而且减小了结构的整体安全性.1997年，陈祥福首次提出空间变刚度群桩等沉降设计思路和具体方案），空间变刚度等沉降设计源于桩筏基础中有关总沉降和沉降差控制要求，最早的如 疏桩基础，按沉降量控制设计、变形协调设计等为同一概念,关于桩筏基础沉降 卬】，由于在沉降差计算结果的可行性与合理性方面存在困难，在过去相当长的时 期，人们大多只能被动地增加筏板厚度，这对相对较小的筏板有效：或增加筏底 布桩的数量、几何尺度（桩长与桩径）、增大桩筏基础的整体刚度，通过降低沉降 的绝对值而满足对沉降差的设计标准。这样的结果必然使桩筏基础工程量庞大，刚度冗余，存在相当大的浪费。而变刚度桩筏基础是根据地基的应力和变形分布 情况，通过改变桩的平面布置、调整桩距、桩长、桩径、使筏板各点沉降值趋于 均匀，减小承台的内力，从而可以减小承台的厚度，并使上部结构的次应力减小，增强结构的整体安全性。1983年，Pa dfiel d,C.J和Sha rrocl cMJ讨论了中心群桩可以减少沉降差（叫 1992年Fl eming W G.K等人建议仅在柔性筏板的中心区域采用群桩.高层建筑 桩筏基础的荷载分布主要由上部结构决定，而上部结构由于受到功能的限制，一 般很难进行调整，但基础的刚度可以通过调整筏板的尺寸、桩长、桩距等因素 来实现，因此，根据上部结构荷载的分布，对基础刚度进行调节，达到控制总沉 降和差异沉降是可行的。变刚度桩筏基础的技术合理性在于桩的布置、桩的几何 尺寸和材料选择；其技术目标在于消除刚度冗余，减小承台内力，达到荷载的均 匀分配，控制总沉降和差异沉降，减小上部结构次应力，增大结构的整体可靠性;经济目标在于充分利用地基承载力和材料，节约工程造价。国内部分学者对长短桩复合地基进行了研究。葛忻声、龚晓南、张先明对软 土中由钢筋混凝土桩与水泥搅拌桩组合而成的长短桩复合地基具体工程进行了 研究；王伟、杨敏、杨桦采用三维弹塑性有限元方法对全短桩、全长桩、长短 桩复合地基和长短桩桩基础进行了比较分析；陈昌富、肖淑君、牛顺生探讨了 长短桩复合地基优化设计方法,提出了长短桩复合地基优化设计数学模型，并利 用复合形法求解优化设计数学模型；刘海涛对刚-柔性长短桩复合地基工程性 状进行了分析。文献510中关于桩筏基础的优化设计以及控制桩筏基础差异 沉降的一个主要思想就是通过调节桩筏基础的空间刚度分布情况来实现。H.S.W Chow a nd J.C.Sma l l（2006）采用有限层法分析了不同桩长、不同桩径的桩筏基 础的竖向承载性能刖。采用有限层法参数容易确定，与常规的三维有限元相比可 以大大节省计算时间。第一章绪论由此可见，目前的研究主要集中在变刚度复合地基的研究，很多学者试图通 过研究调整桩筏基础刚度分布来达到对桩筏基础进行优化设计和控制差异沉降 的目的，但是针对高层建筑，尤其是超高层建筑变刚度桩筏基础的研究很少，事 实上，控制差异沉降、减小筏板内力等对超高层建筑意义更大，这正是本文将要 研究的重点，本文中的变刚度桩筏基础，平均桩长48 m.1.4 本文研究的思路与方法本文的研究工作在“以三维有限元一无限元一接触面单元的非线性耦合数值 方法为分析计算手段，以变刚度桩筏基础承载机理研究为目标”的指导思想下进 行的.一方面，探讨不同因素对变刚度桩筏基础承载性能的影响；另一方面，比 较变刚度桩筏基础和传统的“等桩长，等桩距，等桩径”桩筏基础承载性能的优 劣.重点在于分析变刚度桩筏基础承台内力、差异沉降以及基桩之间的荷载分布 情况.最后希望在本文研究的基础上进行变刚度桩筏基础优化设计探讨，为变刚 度桩筏基础实用设计方法的建立提供理论参考.1.5 本文的主要工作本文的主要工作如下：1、本文采用MATLAB7.0编制的三维非线性有限元接触单元-无限元程序来 模拟变刚度桩筏基础的承载机理。同时还针对长短桩桩筏基础中桩长不一样以及 刚-柔性桩桩筏基础的情况编写了相应的前后处理程序，能很好地模拟变刚度桩 筏基础的承载机理。2、本文对常规的“等桩长、等桩距、等桩径”桩筏基础和长短桩变刚度桩 筏基础进行了对比分析，重点对比分析了承台沉降分布、沉降差、承台整体弯矩 分布、桩顶轴力分布，分析过程中考虑了均质土、成层土、承台厚度、长桩与短 桩桩长比值的影响，得到了一些有关长短桩变刚度桩筏基础承载机理的认识3、本文还对刚-柔性桩桩筏基础进行了分析，重点对比分析了桩长相等的刚 性桩和柔性桩桩筏基础、刚性长桩和柔性短桩桩筏基础的沉降、沉降差、承台弯 矩、桩顶轴力分布情况.4、在对比分析常规的“等桩长、等桩距、等桩径”桩筏基础、长短桩变刚 度桩筏基础、刚-柔性桩桩筏基础的基础上，得出一些有用结论，并对变刚度桩 筏基础优化设计进行了探讨。6第二章群桩三维有限元分析的基本理论第二章 群桩三维有限元分析的基本理论2.1 概述有限元法是求解连续区域内的边值问题和初值问题的数值方法，它克服了其 它各种方法在理论上的局限性，并已广泛地应用于包括桩基在内的各类建筑物的 计算分析当中，是强有力的数值计算工具。有限元法的基本原理就是在结构中选 择一定数量的离散点，将其离散为小的单元的等价系统，这些单元的集合体就代 表了原来的结构；对每一个单元进行单元分析，形成单元刚度矩阵，建立每个组 成单元的平衡公式；然后结合起来，把单元刚度矩阵累加进总刚；再引入边界条 件和外荷载矩阵，求解这种整体平衡的方程组，就得到原来结构在离散点处未知 量（应力或位移）的解答。有限元数值解使分析过程简化，但要求处理得数据是 大量的线性或非线性代数量。人工手算是不可能的，要依赖电算，并使之能系统 化的变成大型通用源程序或专用程序，在按照输入数据，通过运算将要求的未知 量一次求出.因此，可以把有限元分析主要分为三步：（1）实际结构的离散化；（2）单元分析：（3）整体分析.下面在介绍一下有限元的具体情况。2.1.1 有限元的使用范围将有限元方法应用于材料服从线性本构关系的线性问题，其分析计算比较简 单，因为材料的参数这时是常数。此时，为了得到某一给定的荷载情况下的结果,只需要用一次求解过程即得。当然，有限元法也同样适用于非线性弹性和弹塑性 问题。这就关系到建立有限元公式使用到的非线性材料性态一一即非线性应力应 变本构关系的描述。2.1.2 有限元方法的主要优点随着计算机技术的迅速发展，有限元在工程分析中的作用越来越明显，有限 元方法的主要优点：1、适合于分析复杂几何形状的连续介质问题。2、和其他所有数值近似解（如有限差分法，其它各种变分法和加权残数法）一样，它也是基于离散化概念求得了有限个离散节点处的解，在通过建立场变模 型（位移模式），就可以提供连续体结构系统所有其它各点处的解。但此法不必 7第二章群桩三维有限元分析的基本理论用分别的插值过程，也不需要求适用于整个多维连续体的试探解。3、便于引入各种要求的边界条件。4、在求得整个集合体系统的代数方程以后，再引入几何边界条件。这时因 边界条件不进入单个有限元方程，所以对于内部和边界上所有各单元都可采用一 个同样的场变量模型。对于不同的边界条件，其场变量模型并不要求改变。5、能成功地反映各种复杂的材料性质及其不均匀性，因而可考虑计入岩土 介质的非均质性。这可通过对岩土各处不同特征的单元分别给定不同的材料性 质。如果希望对材料性质的变化进行更精确的分析，还可以按照预先选定的多项 式位移模式来改变单个元素内的性质。例如，可把有限元法用于本构关系中各参 数或二维介质的厚度呈不连续变化的情况。这些都是其他数值方法难以做到的。2.1.3 有限元方法的分析流程使用有限元方法进行计算分析的流程如下：1、连续体的离散化。,离散化即是将给定的连续体分割为等价的有限单元组合系统。在地下结构分 析的情况下，要模型化的岩土介质连续体的范围一般是不能明显确定的，可能要 考察在水平和垂直方向上都是无限大或非常大的岩土介质。由于实践上的限制，通常引入考察并将其离散化的只是处理这种大连续体中与地下结构物相邻近的 有意义的部分。然后根据问题的性质选择合适的单元类型、大小与排列，尽可能 正确地模拟原来的土体和结构。1.2、选择形函数用形函数N（x,y）表示场变量在单元内的分布形态和变化规律，以便用场 变量在结点上的值来描述单元内任一点的场变量。各种类型的有限元（如8节点 等参元、无限元、接触面单元等）的形函数都是不同的，选择形函数是有限元分 析的出发点，它可以是局部坐标（f，4）或整体坐标G,/z）的多项 式，形函数应当是连续可微的函数。形函数N应具有下列特点：乂在i点的值等于 b而在其它点上等于零。这对保证场函数在i点取结点的场变量是必要的。E这可以用i点坐标代入而得到证明。形函数还必须满足协调性和完备性的 要求.协调性是指满足场函数在相邻单元的公共节点、公共边或面上的连续性条 件，有时还要求一阶或多阶导数的连续性：完备性是指位移模式应取x,y的完全 多项式。3、形成单刚矩阵将土体用有限元离散后，各单元只有几何尺寸和材料参数的差异，其单元刚 8第二章群桩三维有限元分析的基本理论度矩阵具有一定的共性。4、形成总刚矩阵把全部单元刚度矩阵按对号入座的方法集合起来以形成整个体系的总体刚 度矩阵。它反映了所有相邻单元之间的相互影响和相互制约关系。具体说来，它 描述了各个结点的平衡条件、位移的连续性条件和所有的边界条件。在相邻单元 的公共点或公共面上，场函数的连续性能够自动满足.总体刚度矩阵是联系总位 移列阵“和总荷载列阵P的总劲度矩阵，满足以下关系：K u =P （2-1）5、引入边界条件土力学中许多问题可以用数理方程表示，它们只有在满足所有的边界条件时 才得以求解；否则，总体刚度矩阵是奇异的，其逆矩阵不存在，因而无法求解。边界条件分为齐次和非齐次两种。齐次边界条件表示边界结点的某个自由度完全地受到约束，即沿该自由度方 向的位移等于零。只要把与该自由度有关的行和列从总体刚度矩阵中划去，就表 示已考虑了这一边界条件。主对角线元素置为1,对应荷载矩阵中的值设为0,这种方法称为主一副零法。非齐次边界条件表示一个边界结点沿某自由度的位移为给定值，但不等于 零。处理这种边界条件在于把总体刚度矩阵中的相应的主对角元素置为一个大数（如10口），同时把荷载项相应的值改为已知的场变量乘以相同的大数。这种方 法称为置大数法。:6、有限元求解有限元求解的效率很大程度上取决于线性代数方程组的解法。有限元的分析 可以通过细分单元的网格来提高解题的精度，但当有限元分析采用越来越多的单 元离散模型来近似模拟实际的结构时，线性联立方程组的阶数越来越高，这给求 解带来了困难。因此，若采用不适当的求解技术，不仅计算费用增大，更严重的 是有可能导致求解过程的不稳定和求解的失败。线性联立方程组的解法可以分作两大类：直接解法和迭代解法.直接解法是 以高斯消去法为基础，求解效率比较高.在方程组的阶数不是特别高时，通常采 用直接解法。当方程组的阶数过高时，由于计算机有效位数的限制，直接解法中 的舍入误差，消元中有效位数的损失等将会影响方程求解的精度，此时可用迭代 解法。9第二章群桩三维有限元分析的基本理论2.2桩土相互作用的空间数值模型对于群桩基础这样一个复杂的系统，仅仅依靠完全的解析方法不足以处理 班、筏、土各方面的因素及其各部分间的相互作用.况且，大型群桩基础的底面 尺寸规模较大，桩数较多，不可能采用通常的原型或模型试验方法，必须借助于 数值方法进行计算和分析。而有限元方法正好能方便地考虑层状土和土的非线性 本构关系，详细给出任何位置的位移和应力状况，并可模拟许多试验无法解决的 问题。但是，由于地基在几何上无限延伸的特点，有限元在模拟这一半无限介质 时受到很大限制，因此，在桩与土的相互作用分析中，有必要引入无限元模拟地 基在无穷远处的位移边界条件。另外,桩与地基土的接触面的力学性质非常特殊，在荷载作用下，能传递一定的剪力，也可能产生一定的滑移，因此在数值分析中 引进接触面单元来反映桩土间的摩擦性状是重要的。由此可见，采用三维有限元 一接触面单元一三维无限元相耦合的数值方法来模拟群桩体系，能较准确地模拟 桩与土的几何、力学特性，将复合地基视为桩、土和承台所组成的一个体系，通 过考虑各个部分的主要作用及其相互影响，对群柱复合地基进行深入系统的分 析，从而为定量设计提供理论依据.有限元中，以形状规则的单元离散几何形状比较复杂的求解域的常用方法是 等参变换，即单元几何形状和单元内位移场函数采用相同数目的结点参数和相同 的插值函数进行变换，这种单元称为等参元.等参元是目前有限元程序中应用最 为广泛的单元，因为它不仅能适用于各种曲线边界，而且能够构造出高精度的位 移函数，所以，它被广泛地应用于一维、二维和三维的各类问题中.等参元的提 出为有限元法成为现代工程领域最有效的数值方法奠定了坚实的基础。用来离散三维空间结构的单元形状有许多种，最简单的是四面体和六面体，最常用的还是8节点六面体单元，这种单元由于分割简单，各单元位置之间相互 关系清楚，公式推导并不复杂，因而得到广泛的应用。2.2.1 三维8节点等参元的有限元模型2.2.1.1 形函数、位移函数的构造为了将图21中局部（自然）坐标中几何形状规则的单元转换成图22中 总体（笛卡儿）坐标中几何形状倾斜的单元，以满足对一般形状求解进行离散化 的需要，要建立一个坐标变换：第二章群桩三维有限元分析的基本理论图2-1单元局部坐标图22单元整体坐标为建立前面所述的变换，最方便的方法是将（2-2）式表示成插值函数的形 式：x=n g,尸方N/i,充力 N/为（2-3）/-I M il式中：m是用以坐标变换的单元结点数，G”力动为单元结点的整体坐标，M 称为形状函数，实际上它是用局部坐标表示的插值函数。通过上式建立起两个坐标系之间的等参变换，从而将自然坐标内的形状规则 的单元（母单元）变换为笛卡儿坐标内的形状不规则的单元（子单元）。对于三维8结点六面体单元，可采用如下形式的形函数：*A=j（l+3 6）（1+小）（1+64）（尸 1,2,3,8）（2-4）其中（。“力，6）为局部坐标系中母单元的结点坐标。坐标变换为：，产 gM为，z=n 由（2-5）/-I M-1式中：（身，切为单元结点的整体坐标按等参元的线性内插思路，位移函数将采取与式（2-5）相类似的公式 8 8 8v=fN 的,v=ZMm，w=ZNMj（2-6）M 间 il其中（也，巧,巾）为单元结点位移.N为相应的形状函数。11第二章群班三维有限元分析的基本理论2.2.1.2 应力和应变的表达式几何方程：We=。其中彷产为单元结点位移列阵：，*=U1,V1.M8,V8,W8T3为应变矩阵：B=Bi，Bi，,B(2-7)(2-8)(2-9)(2-10)更ax加-力 ct-az =d_&000d 力000d dz.吗6式中，B=5 i B2 B3 Ba BsBe dNJ dx000dNJ dy0=00dN./dzdN,/dydNJ dx00dNJ dzdN,/dy_ dNJ dz0dNJ dx,(f=l,2,38)(2-11)下面推导8的表达式：根据复合函数求导的规则，可以得到:(2-12)偿向IV型出X鱼为A劭&殳第方而包四 JL可ar_即近必-也笛叫W型第二章群桩三维有限元分析的基本理论3-&-*氏而立 业”办而方-%震正加五火-_(2-13)J称为Ja cobi矩阵8 8 8其中圻t舞演，爵=舞力，杳=之舞Zji=l M i=l8 8 8M T i=l圻fa，,”於M，需=之如 i=l/=!i=l由N=4(i+笈XI+而(1+求导数可以得到：O翳*(1+加(1+)溜=轲(1+必)(1+)舞=+一(1+必)(1+谢(2-14)(2-15)由(2-12)式求得：包,4也arWV普 rI(2-16)丁=才“以(2-17)其中，为为Ja cobi矩阵J中4的代数余子式。IJ I=J山幼3+/“2,31+J*32/21-JJ3M3-/出，33-J/z/j(2-18)由以上推导过程可知：在形函数和高斯积分点确定后，求得形函数的导数,就可以推出Ja cobi矩阵及其逆矩阵，从而得到B矩阵。2.2.13单元刚度矩阵的构成整体坐标与局部坐标之间体积微积分间有关系式：13第二章群桩三维有限元分析的基本理论d%dxdydz叩|djdd(2-19)由式(2-19)可知单元刚度可以表示为：吁匕t L网回呼咖fe=,匕闻D囱J|d“d7,7)0+或 G/(D(/=5,6,7,8)(2-30)(2-31)坐标变换公式:/X y Z%刈 M16第二章群桩三维有限元分析的基本理论2、无限元的位移函数无限域上位移函数应该有一个衰减过程，即时，位移趋向于零，从而实现无限远处位移为零的边界条件，应选取衰减函数/(),取r 7x2+/+z2.则位移函数为明：(2-33)M为。4 0时的N“即有：-十久1+忖)(1+76)(：)a=1,2,3,4)%=|(2-34)+(1+1 ii下面推导Ja cobi矩阵和应变矩阵B：5=B|B?,&8的表达式如下:17第二章群桩三维有限元分析的基本理论=M 000a”,力000aM t dz犯 力必 dx00dMtdM,dz力Sz03M i a x.(2-36)Mj=M。/=M/C），普=誓/+跖。冬善=蛰+M（-R户普-同理可得到：答）-、（?）4,警=鲁）-MC）力其中形函数M对整体坐标系的导数由下式得到：dN,dTdNj_饕外力符(2-37)(2-38)(2-39)r=JV+z?=苗 N,x,)2+（之核）2+（之町）2可得到:dx M“+(Z My,1+(nr)；J（Zmx,），（Zn/%）2+（ZmzJ7)X同理可得到:（尊;而小加尊18第二章群桩三维有限元分析的基本理论&第&而立第 力一包加力-ar-药ar而ax-%=r_、.也.弛（_且返_t；（l a；_*此砧）2曲力2心力）、J（Zg）2隹必产+小乂马炉_y_膏?y?双阳fSM,=3N,/+）_ n（广 得疥-_）xa&,质”内，+（25）2MzMZ,）2 网为内）逐NR，双N“2）1（用）2+（净小）2+（2帅产下面进行Jacobi矩阵的推导：.（2-40）贵=赞/，矍苗觌，圻之散 i=l i=l r=l备上翳，备=尤黜,圻之的（2-41）i=l i=l MI8.8 8却2黜，翳=爵，蓊=2引 r=l.i=l i=l由式（2-28）和式（2-31）求导数可以得到赞、喘、爵（分别为f0 和4l4 2/-I4 ZM1-=“VWII面上:(2-48)4匕 面 I玉 M=-w V W%匕 M MM由于在接触面中，要考虑沿其切向和法向的相对位移和应力，所以取接触面的法 线方向为图25中所示x*.(Q轴，建立流动局部坐标系。在流动局部坐标系下，有：0=