高等数学--d103三重积分.pptx

目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、三重积分概念三重积分概念 二、三重积分计算二、三重积分计算三重积分 第十章 11/5/2024同济版高等数学课件1/27目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分概念一、三重积分概念 类似二重积分处理问题思想,采取引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀物质,求分布在 内物质可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”处理方法处理方法:质量 M.密度函数为11/5/2024同济版高等数学课件2/27目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.设存在,称为体积元素体积元素,若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在 上三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分性质与二重积分相同.性质性质:比如 以下“乘中值定理中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 体积,积和式”极限记作记作11/5/2024同济版高等数学课件3/27目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分计算二、三重积分计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 经过计算该物体质量引出以下各计算最终,推广到普通可积函数积分计算.密度函数,方法:11/5/2024同济版高等数学课件4/27目录 上页 下页 返回 结束 方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体质量为细长柱体微元质量为微元线密度记作11/5/2024同济版高等数学课件5/27目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高柱形薄片质量为该物体质量为面密度记作11/5/2024同济版高等数学课件6/27目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:11/5/2024同济版高等数学课件7/27目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数依据重积分性质仍可用前面介绍方法计算.11/5/2024同济版高等数学课件8/27目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:三重积分计算方法三重积分计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次积分三次积分”详细计算时应依据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域特点灵活选择.11/5/2024同济版高等数学课件9/27目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1.计算三重积分所围成闭区域.解解:面及平面11/5/2024同济版高等数学课件10/27目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”11/5/2024同济版高等数学课件11/27目录 上页 下页 返回 结束 2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 柱坐标.直角坐标与柱面坐标关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面11/5/2024同济版高等数学课件12/27目录 上页 下页 返回 结束 如图所表示,在柱面坐标系中体积元素为所以其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量相互分离变量相互分离.11/5/2024同济版高等数学课件13/27目录 上页 下页 返回 结束 其中 为例例3.计算三重积分所解解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.11/5/2024同济版高等数学课件14/27目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中 由抛物面原式=11/5/2024同济版高等数学课件15/27目录 上页 下页 返回 结束 3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 球坐标.直角坐标与球面坐标关系坐标面分别为球面半平面锥面11/5/2024同济版高等数学课件16/27目录 上页 下页 返回 结束 如图所表示,在球面坐标系中体积元素为所以有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量相互分离变量相互分离.11/5/2024同济版高等数学课件17/27目录 上页 下页 返回 结束 例例5.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面11/5/2024同济版高等数学课件18/27目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求曲面所围立体体积.解解:由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz 11/5/2024同济版高等数学课件19/27目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简练,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;11/5/2024同济版高等数学课件20/27目录 上页 下页 返回 结束 1.将用三次积分表示,其中 由所提醒提醒:思索与练习思索与练习六个平面围成,11/5/2024同济版高等数学课件21/27目录 上页 下页 返回 结束 2.设计算提醒提醒:利用对称性原式=奇函数11/5/2024同济版高等数学课件22/27目录 上页 下页 返回 结束 3.设 由锥面和球面所围成,计算提醒提醒:利用对称性用球坐标 11/5/2024同济版高等数学课件23/27目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P162 1(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);*10(2);11(1),*(4)第四节 11/5/2024同济版高等数学课件24/27目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.计算所围成.其中 由分析分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采取“三次积分”很好.11/5/2024同济版高等数学课件25/27目录 上页 下页 返回 结束 所围,故可 思索思索:若被积函数为 f(y)时,怎样计算简便?表为 解解:11/5/2024同济版高等数学课件26/27目录 上页 下页 返回 结束 2.计算其中解解:利用对称性11/5/2024同济版高等数学课件27/27