三边简支一边固定钢筋混凝土矩形板分析.pdf

第 3 6卷第 6期 2 0 1 0年 1 2月 四川建筑科学 研究 S i e h u a n Bu i l d i n g S c i e n c e 53 三边简支一边固定钢筋混凝土矩形板分析 王赞芝 ( 广西工学院土木建筑工程系， 广西 柳州5 4 5 0 0 6 ) 摘要： 钢筋混凝土材料是典型的复合材料， 其两个方向的配筋一般是不同的， 从而导致两个方向的刚度不相同。长期以来 在分析钢筋混凝土板时， 都采用了各向同性材料的假定 ， 这样的分析方法在理论上是不正确的， 计算的结果也与实际情况有 较大误差。本文采用正交各向异性弹性理论， 分析了三边简支一边固定的钢筋混凝土板在双向线性荷载作用下的挠度， 并通 过具体算例与有关资料对比， 说明采用本方法切实可行 ， 而且级数收敛速度很快， 对于挠度计算， 可以只取第一项即满足精度 要求。本文可供修订规范时参考。 关键词 ： 钢筋混凝土板 ； 薄板 ； 板形结构 ； 各 向异性材料 ； 正交各 向异性板 中图分类号 ： 0 3 4 3 8 ； T U 3 7 5 2 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1 0 0 81 9 3 3 ( 2 0 1 0 ) 0 6一 O 5 3一 C L 4 An a l y s i s o n r e c t a n g u l a r r e i n f o r c e d c o n c r e t e p l a t e wi t h t h r e e e d g e s s i mp l y s u p p o r t e d a n d o n e e d g e fix e d WANG Z a n z h i ( D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e ri n g a n d A r c h i t e c t u r e ， G u a n g x i U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ， L i u z h o u 5 4 5 0 0 6 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ： R e i n f o r c e d c o n c r e t e i s a t y p i c a l c o mp o s i t e ma t e r i a 1 T h e r e i nfo r c e d c o n c r e t e s t r u c t u r e u s u all y h a s d iff e r e n t r e i nfo r c i n g b a r s i n t wo d i r e c t i o ns，t he r e b y i t h a s t h e d i ffe r e n t s tiffn e s s At pr e s e n t ， t h e a s s u mpt i o n a r e us e d t ha t t h e r e i nfo r c e d c o n c r e t e i s i s o t r o pi c whe n c alc u l a t i n g t h e r e i nfo r c e d c o nc r e t e s l a b Bu t t h i s t r e a t me n t me t ho d i s t h e o r e t i c a l l y i n c o r r e c t a nd y i e l d s mu c h l a r g e r e r r o r s t h a t t h o s e i n r e al s i t u a t i o n O r t h o t r o p i c e l a s t i c i t y t h e o r y i s a d o p t e d t o c alc u l a t e t h e d e fl e c t i o n o f r e i nfo r c e d c o n c r e t e p l a t e wi t h t h r e e e d g e s s i mp l y s u p p o s e d a n d o n e e d g e fi x e d w h i c h s u b j e c t e d t o h n e a r c h a n g i n g l o a d s i n t w o d i r e c t i o n s i n t h i s p a p e r ， a n d al s o a d i gi t a l e x a m p l e i s p u t o u t t o gi v e t h e c o mp a r i s o n t o s o m e d a t a I t s h o w s t h e f e a s i b i l i t y o f t h i s me t h o d ， a n d s h o w s t h a t t h e s e q u e n c e c o n v e r g e s s o r a p i d l y t h a t ， i n o r di n a r y ca s e s， we s h o u l d o n l y t a ke e v e n o n e s e rie s t o me e t t h e p r e c i s i o n i n e ng i ne e rin g Thi s a r t i c l e ma y pr o v i d e t h e r e f e r e n c e s wh e n t h e s p e c i a l c od e s a r e t o b e r e v i s e d Ke y wo r d s： r e i nfo r c e d c o n c r e t e p l a t e； t hi n p l a t e； s l ab s t r u c t u r e s ； an i s o t r o pi c ma t e rials； o r t h o t r o p i c p l a t e 0 引 言 钢筋混凝土结构是由钢筋和混凝土两种材料组 成的复合材料。目前 ， 对于钢筋混凝土结构 ， 已经建 立了较为完善的计算理论和设计方法 ， 能够满 足一 般工程要求。但是， 由于实 际结构和所受荷载 的复 杂性 ， 又要求所采用的方法便于为一般 的工程技术 人员所运用 ， 这些方法往往简单 ， 其结果要么过于保 守， 从而浪费了材料 ； 要么偏 于危险 ， 给结构 的安全 性 留下 隐患 。 双 向板在两个方 向的弯矩一般不同， 两个方 向 收稿 日期 ： 2 o o 9 _ 0 6 - 0 5； 修回 日期： 2 O 1 O - o 8 _ o 7 作者简介 ： 王赞芝( 1 9 6 4一) ， 男 ， 江苏盐城 人 ， 副教 授， 博士 ， 硕 士生 导师 ， 主要研究桥梁与 隧道工程。 基金项 目： 广西教育厅重点科研项 目； 广西科学研究与技术开发计划 项 目( 桂科合 0 8 1 5 0 0 711 0 ) ； 广 西工学 院博 士基金科研项 目( 院 科博 0 9 0 1 ) ； 广 西 工学 院 大 学 生 科 研 立 项 重 点 项 目 ( 2 0 1 0 0 5 2 ， 2 0 1 0 0 5 3 ) E m a i l ： b a u ma c h i n e n d i e n s t y a h o o C O B c n 的配筋率一般也就不同， 从 而板在两个方 向的刚度 不同。但在制定结构设计规 范 和编制设计计算 手册 时， 却按照两个方向的材料常数完全相同来 计算板的挠度和弯矩 ， 换言之， 是将钢筋混凝土结构 当成各 向同性材料 来处理， 这种处理方法在理论 上存在缺陷 ， 在工程实践上也与实际情况不符。对 于矩形板， 钢筋都是互相垂直地平行于板边布置 ， 本 文将其作为正交各向异性材料 ， 来计算其挠度 ， 并通 过具体算例与有关资料对 比。 1 正 交 各 向异 性 板 的小 挠 度 弯 曲问 题 1 1 几何 方程 实验结果指出 ， 尽管板是各向异性的， 只要它的 中面是弹性对称面 ， 而且挠度远小于厚度， 就可得到 下列几何方程 ： a d ， 、 0 ， 、 x ， ， x 【 5 4 四川建筑科学研究 第 3 6卷 ano - x + a1 2 o- y + al 6 T y 1 y a 1 2 ff x +a 2 2 o y +a 2 6 T y I y a t 6 o + a 2 6 o- y +a6 6T y 利用( 1 ) 式 ， 用挠度 W表示应力分量 ： 一 1 1 aO w z 邶 z +2B s o y) d dv o ，一 ： 邶 +2 B z O L W) 丁 ( 邶 +2 B O L W) 兵 甲 ， B ，寺 6个 符 号 参 见 又 _献 l 6 J 。 用挠度 W表示弯矩及扭矩 ： M = f d z = 一 ( D a Z w + D 12 0 w x J 一 辜 一( D + a ， ： + 2 D z ) M y = f 2 出= 一 ( D 12 aa 2 w： + D z aa 2_ E： + 2 D z a Z W) M =f z d z = 一 ( D 16 a Z w + D 2 6 + J 一 阜 r x z一( + + 2 D c3 L W) 度， 而 D3 = 2 D1 + 2 D k = 1 D 2 +2 D k 。 1 4边界 条件 图 1 所示的矩形薄板具有两个简支边 = 0及 ( 2 ) =a ，其 余 ， ， = 一 争 边 是 固 支 边 ， Y = 争 是 简 支 边 ， 板 ( 0 ，( 删 = ( 雾 ) ( 0 ， ( = ( 尝 旁 ) = 0 ( 咄 ， ( 。 ( 0 ，( ( 雾 ) ，：粤 ( 4) 其中的常数 D = 。 1 3平衡方程 平衡方程为 +2 2 + +g：0 ( 5 )O 缸 xO y O y 将( 4 ) 式代入 ， 得到各 向异性板在横向荷载作 用下的弹性 曲面微分方程： 巩 +4 D 6 十2 ( D】 2十2 D4 D 2 ( D 2 D 6 6 ) 十 巩 + o x 十】 2十 ) a x a y 十 d d， ， 4 D 2 6 +D2 2 =g ( 6 ) 对于正交各向异性板， 将 轴及 ， ， 轴放在弹性 主向， lj ( 6 ) 式简化为 + a 4 w D 2 D +D O x Oy：粤 a Y =g( 7 ) l +3 + 2 =g ( 7 ) d 式中D 。 及 D 是薄板在弹性主向的弯曲刚度 ； D 是薄板在弹性 主向的扭转 刚度 。三者都称 为主刚 图 1 Fi g 1 口 ， b A B i 板的边界 条件 Bo unda r y c on di t i o ns of t he pl a t e ( 8 ) 2 钢筋混凝土板 的解法 一 块钢筋混凝土板 ， 由于两 向配筋率不同， 将表 现轻度的各向异性， 于是可 以把它 当作一块均质 的 正交各向异性板 ， 而参照两 向配筋 的数量来决定它 的主刚度。 2 1 板的弹性常数 命 E 为钢筋 的弹性模量 ， E 。为混凝土的弹性 F 模量， 为混凝土的泊松 比， = ， 上述正交各 向异 凸c 性板的刚度可以按照下列公式进行计算： ， c x +( n-1 ) ， sx D 2 = ， c y +( n -1 D =厕 D = ( 9 ) 2 0 1 0 N o 6 王赞芝： 三边简支一边固定钢筋混凝土矩形板分析 5 5 式中 及 ， 分别为全薄板截面及钢筋截面对于 为常量的中和轴的惯矩 ； ， c 及 ， s 分别为全薄板截面 及钢筋截面对于 Y为常量的中和轴的惯矩 。 2 2 挠度计算 设板承受沿 ， Y双 向线性 变化 的横 向荷载 ， 荷 载集度为 0点 q ， C点 q ， A点 q 。 ， B点 q ， 则 O C边 上 任 一 点 处 的 荷 载q = g ( ， 一 鲁 ) ： 口 + ( g 一 g 音， A B 边上 任 一 点 处的 荷 载g = g ( ， 争 ) = g ， + ( g 一 g ， ) 詈 ， 从 而 板 内 任 一 点 ( ， ) 处 的 荷 载g = q ( x ， ) ， ) = g + ( 9 6 一 q ) 。 取挠度表达式为 W=y m ( ) ， ) s i n ( 1 o ) 将横向荷载 g ( ， Y ) 展为与式 ( 1 0 ) 同样形式 的 级数 ， 得到 = ) s in s i n 堕 ( 1 1 ) 将式( 1 0 ) 及式 ( 1 1 ) 代人式 ( 7 ) ， 再将方程两边 s i n 的系数进行对 比， 就得到 。 ： 。 ( ) 。 + D 1 ( ) y n1 =q ( ， Y ) ( 1 2 ) 常微分方程( 1 2 ) 的解答包括两部分 ： 一部分是 相应齐次方程的通解 F ( Y ) ， 另一部分是任意一个 特解厂 m ( Y ) 。 把通解 F ( y ) 取为 e 的形式 ， 则特征方程为 D2 F 4 2 D3 r + DI=0 ( 1 3 ) 此特征方程的根 r 只与板的刚度 D 有关 ， 与 m 无关 ； 另由( 8 ) 式第 3式可知， 方程( 1 3 ) 具有两两互 等的实根 r ， r ( r = 。 ) ， 通解为 ， ( ) ， )= ( A +B y ) c h + ( C +D y ) s h ( 1 4 ) 为了确定方程( 1 2 ) 的任意一个特解 ( Y ) ， 先 将 g ( ， y ) 展为 S l n m 的级数 ， 即 g ( ， )=g ( ) s in ( 1 5 ) y ) = 吾 s in ( 1 6 ) ： 兰 一 ( g 1 + g 2 + g 3 + 9 4 ) 6 + 2 ( 一 q 1 D 玎 t1T q 2+q 3+q 4 ) Y ， m =1 ， 3 ， 5 ， = 1 ( g 一 g 2 +9 3 一g ) 6+2 ( -g 1 +q 2+g 3一q 4 ) Y ， ， 孔=2 ， 4， 6 ， ( 1 7 ) 这样 ， 可以得到特解 ( Y ) ： ( ) ( g +q 4 ) b+2 ( 一q 1一q 2+q 3+g 4 ) Y ， m =1 ， 3 ， 5 ， = 7 ( g 1一q 2+g 3一q 4 、 b+2q 4 ) b g 1一q z+g 。一+ ( 一q 1+q 2+口 3一q 4 ) Y ， ， n=2 ， 4， 6 ， ( 1 8 ) 微分方程 ( 1 2 ) 的解为 y m ( ) ， )=( A +曰 y ) c h +( C +D y ) s h + ( ) ， ) ( 1 9 ) 从而 ， 板上任意点处的挠度 ( ， ， ， ) 为 ( ， ) =l ( A + B ra y ) c h + ( C + D y ) s h + ( ) s in ( 2 O ) 再利用边界条 件( 9 ) 式 中的后 4个式子 ， 对于 每一个 m得到一组 由4个方程组成的方程组 ， 决定 出上式 中的积分常数 B ， C ， D 。由于计算得 到的这些积分常数表达式较为复杂 ， 这里略去不写 ， 而通过具体算例给出数值结果。 3 数值算例 算例 ： 某厂房双向板楼盖结构平面布置如图 2所示 ， 楼面恒荷载 5 1 3 6 k N m ， 楼 面活荷载为 6 k N m ( 均为标准值 ) ， 采用 C 2 0混凝土， H P B 2 3 5级 钢筋 ， 纵向钢筋 8 1 5 0 ， 横 向钢筋 ( b 8 1 0 0 ， 板厚 1 2 0 mm。 计算时， 取该混凝土板 中的 B类区格计算。对 于 B类区格 ， 如果 图中板 的上边与墙一起现浇， 则 可认为这一边有足够的刚度以阻止其绕与墙交线的 转动 ， 因而这一边可以当成固支边 ， 而其余 3边均为 简支边 ， 与图 1所示 的边界条件完全一样。根据 文 四川建筑科学研究 第 3 6卷 B B A A g l 2 7 - 寻 。 J g 圣 I C 1 2 5 l 凸 A l l 2 I 一 盯 ，B i B 昌I 6 0o o 60 0 0 5 0 0 0 图 2 楼盖结构 平面布置 Fi g 2 Theflo o r pl a n 献 1 ， 沿 轴方向的板长0 = 6 m， 沿 y 轴方向的板 宽 b= 40 1 2 50 0 5+0 2 5 2+0 2 5 2=4 0 7 5 m。为了便于与文献 5 对 比， 这里将荷载取为均布 荷载 ， 即取 q 。 =q =q =q =q ， 这也是建筑结构设 计时常遇到的情况。 对于本算例 ， 通解( 2 0 ) 中的前 3组积分常数见 表 1 。 表 1 挠度项 的前 3组积分常数 T a b l e 1 Th e f v e s t t h r e e g r o u p s o f t h e i n t e g r a t e d c o n s t a n t s of the de fle c t i on s e r i e s 由表 1看出， w( x ， Y ) 所展成的级数( 2 0 ) 收敛很 快 ， A 5 不到 A 3的 1 ， A 3 不到 A 的 1 o ， 因此 ， 实质 上只要取第一项已足够。 根据已经计算得到的系数， 代 回( 2 O ) 即可计算 板上任意点处 的挠度 ； 板 中点 的挠度为 6 7 7 3 m m； 根据文献 5 ， B 。 = 3 6 7 2 0 0 ， 查表计算板中心处的挠 ， 4 度为 0 0 0 4 1 9 2 2 L _ = 4 0 7 2 I T I n l 。 D c 因边界条件不完全对称 ， 所以欲求最大挠度 ， 先 要将式 ( 1 9 ) 对 Y求导后得最大挠度点 ( 3 ， 2 1 0 3 ) ， 再计算最大挠度为 4 2 0 4 m m； 根据文献 5 查表的 最大挠度为 4 2 0 4 m m。 可以看出， 考虑了板的两个方向的不同刚度 ， 与 将板当成各向同性材料相比， 计算结果板的挠度值 有所增大， 从而说明了按照正交各向异性材料来计 算更为安全。 4 结语 ( 1 ) 采用正交各向异性 弹性理论 ， 分析 了钢筋 混凝土板的挠度 ， 对其进行 了更为合理的探讨。 ( 2 ) 按满足承载力极限状态和正常使用极限状 态要求设计的钢筋混凝土板 ， 其变形满足弹性理论 的小挠度假定要求。 ( 3 ) 在本文的边 界条件下 ， 按 正交各 向异性弹 性理论计算的结果 比按各向同性材料的理论计算结 果偏大， 从而采用本文的方法更安全。 ( 4 ) 本文采用的单三角级数收敛很快 ， 对于一 般的工程要求 ， 只取级数的第一项即可。 ( 5 ) 采用双 向线性变化的荷载模型 ， 可 以处理 许多实际的荷载作用 ， 例如三角形分布荷载、 梯形荷 载、 反对称荷载等 。 参 考 文 献： 1 G B 5 0 0 1 0 2 0 0 2 混凝土结构设计规范 S 北京： 中国计划出 版社 ， 2 0 0 1 2 曾昭豪 新编混凝土结构设计手册 M 北京 ： 中国建材工业 出版社 ， 2 0 0 4 3 王墨耕 新编多层及高层建筑钢筋混凝土结构设计手册 M 合肥 ： 安徽科学技术出版社， 2 0 0 0 4 建筑结 构静 力计算 手册 编写 组 建筑 结构 静力计 算手册 M 北京 ： 中国建筑工业出版社 ， 1 9 7 5 5 彭少 民 混凝土结构 ( 下册 ) M 武汉 ： 武汉理工大学出版社 ， 2 0 0 5： 3 0， 3 1， 3 7 6 徐芝纶 弹性力学( 下册) M 4版 北京： 高等教育出版社， 2 o o 8： 1 2 7